Pochhammer symbol
V matematice se Pochhammer symbol je speciální funkce použít v kombinatorika a teorie hypergeometrické funkcí . Tuto notaci představil Leo Pochhammer . Používá se k označení rostoucího faktoriálu nebo klesajícího faktoriálu.
Hodnocení
Symbol, který představuje tuto funkci, se používá v několika variantách:
X(ne){\ displaystyle x ^ {(n)}}![{\ displaystyle x ^ {(n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f786f71705973fb4b071d82dc444fd817379d43)
(mimo jiné v kombinatorice)
(X)ne{\ displaystyle (x) _ {n}}![{\ displaystyle (x) _ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667ec9c60835aa2b84a8d017562b4294ad6dcaef)
nebo (v analýze)
(X,ne){\ displaystyle (x, n)}
(Xne){\ displaystyle (x ^ {n})}![(x ^ {n})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdb1c7f854a078d737965da7cbd16b7342fdcee)
(jiná použití)
V teorii speciálních funkcí označujeme rostoucí faktoriál
(X)ne{\ displaystyle (x) _ {n} \,}![{\ displaystyle (x) _ {n} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58208029604dc739ed9de013219ccb2210c543ab)
(X)ne=X(X+1)(X+2)⋯(X+ne-1){\ displaystyle (x) _ {n} = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1)}![{\ displaystyle (x) _ {n} = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1d968ee414b192615138c54546aef8424fd685)
,
zatímco stejný symbol se používá v kombinatorice k reprezentaci klesajícího faktoriálu
(X)ne=X(X-1)(X-2)⋯(X-ne+1)=NAXne{\ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = A_ {x} ^ {n}}![{\ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = A_ {x} ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda3619b0a9c4e69881b4dc89634d712960527f5)
.
Abychom předešli nejasnostem, často používáme - a bude to provedeno zde - symbol pro rostoucí faktoriál a
pro klesající faktoriál.
X(ne){\ displaystyle x ^ {(n)}}
(X)ne{\ displaystyle (x) _ {n}}![{\ displaystyle (x) _ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667ec9c60835aa2b84a8d017562b4294ad6dcaef)
Nakonec existují další dva zápisy, které uvedli Ronald L. Graham , Donald Knuth a Oren Patashnik ve své knize Concrete Mathematics , notace, které sahají k A. Capelli (1893) a L. Toscano (1939). Oni píší
Xne¯=(X+ne-1)!(X-1)!{\ displaystyle x ^ {\ overline {n}} = {\ frac {(x + n-1)!} {(x-1)!}}}![{\ displaystyle x ^ {\ overline {n}} = {\ frac {(x + n-1)!} {(x-1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02fce6532ee6f2de18b705e16ffcb2fdc0f0f0bb)
,
pro rostoucí faktoriál a
Xne_=X!(X-ne)!{\ displaystyle x ^ {\ underline {n}} = {\ frac {x!} {(xn)!}}}![{\ displaystyle x ^ {\ underline {n}} = {\ frac {x!} {(xn)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6615e69d17c7e0aa7e76f9dea1fddc47d65f1f31)
pro klesající faktoriál.
Příklady (se zápisy používanými v kombinatorice):
- (9)4=94_=9×8×7×6=NA94{\ displaystyle (9) _ {4} = 9 ^ {\ podtržení {4}} = 9 \ krát 8 \ krát 7 \ krát 6 = A_ {9} ^ {4}}
![{\ displaystyle (9) _ {4} = 9 ^ {\ podtržení {4}} = 9 \ krát 8 \ krát 7 \ krát 6 = A_ {9} ^ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf0667a6680427e10de441c19e8f6e2b35b3f0c)
- 9(4)=94¯=9×10×11×12{\ displaystyle 9 ^ {(4)} = 9 ^ {\ overline {4}} = 9 \ krát 10 \ krát 11 \ krát 12}
![{\ displaystyle 9 ^ {(4)} = 9 ^ {\ overline {4}} = 9 \ krát 10 \ krát 11 \ krát 12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa70db894f4212a5a8b93b86a79d4647f172b782)
Definice a použití (zápisy používané v kombinatorice)
Všimli jsme si
X(ne)=X(X+1)(X+2)⋯(X+ne-1){\ displaystyle x ^ {(n)} = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1)}![{\ displaystyle x ^ {(n)} = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d690fa80684dcfb57c90909d9ef750781992fa)
rostoucí faktoriál a
(X)ne=X(X-1)(X-2)⋯(X-ne+1){\ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1)}![{\ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6342c004cefacfef11716c6a2608f093dfc2018)
klesající faktoriál.
Pokud a jsou celá čísla, máme:
X{\ displaystyle x}
ne{\ displaystyle n}![ne](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
X(ne)=(X+ne-1)!(X-1)!{\ displaystyle x ^ {(n)} = {(x + n-1)! \ nad (x-1)!}}![{\ displaystyle x ^ {(n)} = {(x + n-1)! \ nad (x-1)!}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8238e27402db41d2e15c8d3b0fc64965787a526)
pro rostoucí faktoriál a
(X)ne=X!(X-ne)!{\ displaystyle (x) _ {n} = {x! \ nad (xn)!}}![{\ displaystyle (x) _ {n} = {x! \ nad (xn)!}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a961010c2c215c597afd4b9788c51dfffd3eba3f)
pro klesající faktoriál.
Prázdné produkt nebo je definován jako je roven 1 v obou případech. Můžeme rozšířit definici na neceločíselné hodnoty n o
X(0){\ displaystyle x ^ {(0)}}
(X)0{\ displaystyle (x) _ {0}}![{\ displaystyle (x) _ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb332ccdac1b9659739c22b06f6780ad771298e6)
X(ne)=Γ(X+ne)Γ(X){\ displaystyle x ^ {(n)} = {\ Gamma (x + n) \ nad \ Gamma (x)}}![{\ displaystyle x ^ {(n)} = {\ Gamma (x + n) \ nad \ Gamma (x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab0aab9b4df0b0e54bec38a0ff3f058ddd5c266)
pro rostoucí faktoriál,
(X)ne=Γ(X+1)Γ(X-ne+1){\ displaystyle (x) _ {n} = {\ gama (x + 1) \ nad \ gama (x-n + 1)}}![{\ displaystyle (x) _ {n} = {\ gama (x + 1) \ nad \ gama (x-n + 1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dfe0a28773b55f2068f8d9aaead886554e8463)
pro klesající faktoriál.
Podle vlastností funkce gama je tato definice v souladu s definicí pro celočíselné hodnoty n .
Vlastnosti
Rostoucí a klesající faktoriály souvisí s binomickými koeficienty následujícími vztahy:
X(ne)ne!=(X+ne-1ne)=ΓneXa(X)nene!=(Xne)=VSXne.{\ displaystyle {\ frac {x ^ {(n)}} {n!}} = {x + n-1 \ zvolit n} = \ gama _ {n} ^ {x} \ quad {\ mbox {a} } \ quad {\ frac {(x) _ {n}} {n!}} = {x \ zvolit n} = C_ {x} ^ {n}.}![{\ displaystyle {\ frac {x ^ {(n)}} {n!}} = {x + n-1 \ zvolit n} = \ gama _ {n} ^ {x} \ quad {\ mbox {a} } \ quad {\ frac {(x) _ {n}} {n!}} = {x \ zvolit n} = C_ {x} ^ {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b6b297fdafbdaf3aaa2a17a19dc1856cc88cdc)
Mnoho identit na binomických koeficientech proto vede ke zvyšování nebo snižování faktoriálů.
Rostoucí faktoriál je vyjádřen jako klesající faktoriál z druhého konce:
X(ne)=(X+ne-1)ne.{\ displaystyle x ^ {(n)} = {(x + n-1)} _ {n}.}![{\ displaystyle x ^ {(n)} = {(x + n-1)} _ {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da464f3c7fda4917963e8d737f9445e6cead26a0)
Toto je zvláštní případ vztahu:
(-X)(ne)=(-1)ne(X)ne.{\ displaystyle {(-x)} ^ {(n)} = {(- 1)} ^ {n} {(x)} _ {n}.}![{\ displaystyle {(-x)} ^ {(n)} = {(- 1)} ^ {n} {(x)} _ {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659bc6de6d3fd45d5357c1fef11bbdab06f13f61)
mezi zvětšováním a zmenšováním faktoriálů.
Všimněte si, že rostoucí a klesající faktoriály jsou definovány v libovolném kruhu , takže prvkem může být například komplexní číslo, polynom nebo jakákoli funkce se komplexní hodnotou.
X{\ displaystyle x}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Souvislost s mozkovým počtem
Klesající faktoriál se objeví ve vzorci, který umožňuje reprezentaci polynomu pomocí operátoru rozdílu , který je podobný Taylorovu vzorci v analýze . V tomto vzorci hraje klesající faktoriál roli při výpočtu konečných rozdílů monomia v diferenciálním počtu. Všimněte si například podobnosti mezi
Δ{\ displaystyle \ Delta}
(X)k{\ displaystyle (x) _ {k}}
Xk{\ displaystyle x ^ {k}}![x ^ {k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525e1133440e1565055dec6243aaf0f27d4d4e9b)
Δ((X)k)=k⋅(X)(k-1){\ displaystyle \ Delta ((x) _ {k}) = k \ cdot (x) _ {(k-1)}}![{\ displaystyle \ Delta ((x) _ {k}) = k \ cdot (x) _ {(k-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21320ed67ee468c58b2961375a0b3d0fbe1ee715)
a
D(Xk)=k⋅Xk-1{\ displaystyle D (x ^ {k}) = k \ cdot x ^ {k-1}}![{\ displaystyle D (x ^ {k}) = k \ cdot x ^ {k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659a2289c186704a7134655891e9a26832d53255)
kde označuje derivační operátor polynomů . Studium analogií tohoto typu je známé jako ombralální počet . Obecná teorie, která pokrývá takové vztahy, je dána Shefferovou sekvenční teorií . Rostoucí a klesající faktoriály jsou takové posloupnosti a ověřují:
D{\ displaystyle D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
(na+b)(ne)=∑j=0ne(nej)(na)(ne-j)(b)(j){\ displaystyle (a + b) ^ {(n)} = \ součet _ {j = 0} ^ {n} {n \ zvolit j} (a) ^ {(nj)} (b) ^ {(j) }}
(na+b)ne=∑j=0ne(nej)(na)ne-j(b)j{\ displaystyle (a + b) _ {n} = \ součet _ {j = 0} ^ {n} {n \ vybrat j} (a) _ {nj} (b) _ {j}}
Koeficienty připojení
Protože klesající faktoriály tvoří základ prstence polynomů, můžeme součin dvou faktoriálů vyjádřit jako lineární kombinaci faktoriálů. Vzorec je:
(X)m(X)ne=∑k=0m(mk)(nek)k!(X)m+ne-k.{\ displaystyle (x) _ {m} (x) _ {n} = \ součet _ {k = 0} ^ {m} {m \ zvolit k} {n \ zvolit k} k! \, (x) _ {m + nk}.}![{\ displaystyle (x) _ {m} (x) _ {n} = \ součet _ {k = 0} ^ {m} {m \ zvolit k} {n \ zvolit k} k! \, (x) _ {m + nk}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7355d0cc83a444c5e3605d041b192df4f326f9b1)
Koeficienty se nazývají koeficienty připojení . Mají kombinatorickou interpretaci: je to řada způsobů sloučení prvků přijatých v sadě prvků a prvků přijatých v sadě prvků.
(X)m+ne-k{\ displaystyle (x) _ {m + nk}}
k{\ displaystyle k}
m{\ displaystyle m}
k{\ displaystyle k}
ne{\ displaystyle n}![ne](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
q - Pochhammerův symbol
K dispozici je ekvivalentní symbolu v Pochhammer q -series : ZAŘÍZENÍ q -Symbol Pochhammer , definovány následovně.
(na;q)ne=∏k=0ne-1(1-naqk)=(1-na)(1-naq)(1-naq2)⋯(1-naqne-1){\ displaystyle (a; q) _ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1- aq ^ {2}) \ cdots (1-aq ^ {n-1})}
s
(na;q)0=1{\ displaystyle (a; q) _ {0} = 1}
.
Reference
-
Ronald L. Graham , Donald Knuth a Oren Patashnik ( překlad Alain Denise), Concrete Mathematics: Foundations for Computer Science , Vuibert , kol. "Vuibert informatique",2003, 2 nd ed. , 687 s. ( ISBN 978-2-7117-4824-2 ).
-
Donald E. Knuth , Umění počítačového programování (sv. 1) , s. 50.
-
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Pochhammerův symbol “ ( viz seznam autorů ) .
-
(en) Larry C. Andrews a Ronald L. Phillips, Mathematical Techniques for Engineers and Scientists , 2003
Externí odkaz
(en) Eric W. Weisstein , „ Pochhammerův symbol “ , na MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">