Věta o Chebotariovově hustotě

V algebraické teorie čísel je věta z Tchebotariov kvůli Nikolaj Chebotaryov a obvykle psaný teorém Chebotarev vysvětluje teorém aritmetické progrese do Dirichlet o nekonečnosti prvočísel v aritmetické posloupnosti : říká, že pokud se , q ≥ 1 jsou dvě celá čísla prime ke každému Jiný je přírodní hustota množiny prvočísel kongruentní s modulo q je 1 / φ ( q ) .

Státy

Pod Tchebotariov Věty je následující: zvažuje Galoisova rozšíření z pole čísla , ze skupiny Galois . Pro nějaké celé číslo ideálu z označíme na normu o . ${\ displaystyle L / K}$ $G$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ $K.$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} ({\ mathfrak {a}}) = \ left | {\ mathcal {O}} _ {K} / {\ mathfrak {a}} \ right |}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$

Vezměme si první ideál of není rozvětvený v a je primární ideál výše . ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ $K.$ $L$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {P}} \ střední {\ mathfrak {p}}}$ $L$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

Ukážeme, že existuje jedinečný prvek charakterizovaný následujícím vztahem: pro jakýkoli prvek máme ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {P}} \ v G}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in {\ mathcal {O}} _ {L}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {P}} (\ alpha) \ equiv \ alpha ^ {{\ mathcal {N}} ({\ mathfrak {p}})}} {\ pmod {\ mathfrak {P}} }.}

Pokud není abelian, záleží na volbě : ve skutečnosti, pokud je další primární ideál výše , existuje prvek tak, že , a pak a jsou konjugované na . $G$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {P '}}}$ ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle \ sigma \ v G}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {P '}} = \ sigma ({\ mathfrak {P}})}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {P '}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {P}}}$ $G$

Pak uvažujeme třídu konjugace , který nazýváme Frobenius symbol v oblasti , stále si poznamenali (zneužitím) . Všimněte si, že pokud je abelian , je tato třída redukována na jeden prvek. ${\ displaystyle \ {\ sigma _ {\ mathfrak {P}}, \, {\ mathfrak {P}} \ mid {\ mathfrak {p}} \}}$ ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle L / K}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {p}}}$ $G$

Můžeme pak uvést větu, kterou Chebotariov předvedl ve své práci v roce 1922:

Chebotariovova věta - Nechť je třída konjugace . Pak množina primárních ideálů o nerozvětvenou inu , a tak, že má za „přirozenou hustotu“ . $VS$ $G$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ $K.$ $L$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {p}} = C}$ ${\ displaystyle | C | / | G |}$

Následuje kvantitativní verze Dirichletovy věty o aritmetické progresi na prvočíslech v aritmetické progresi použitím předchozí věty na cyklotomickou příponu ℚ.

Poznámky a odkazy

Špatně, vlivem angličtiny: viz Přepis z ruštiny do francouzštiny .
Jean-Pierre Serre , „ Některé aplikace Chebotarevovy věty o hustotě “, Publ. Matematika. IHES , sv. 54,devatenáct osmdesát jedna, str. 123-201 ( číst online ).
Konkrétní význam tohoto pojmu v této souvislosti viz Serre 1981 , s. 1. 131.