Galoisova skupina

V matematiky , a konkrétněji v algebře v rámci teorie Osnova je Galois skupina o rozšíření z pole L na poli K je skupina ze automorphisms oborů L opouštějících K neměnný. Galoisova skupina je často známá jako Gal ( L / K ).

Pokud má rozšíření dobré vlastnosti, tj. Pokud je oddělitelné a normální , hovoříme o Galoisově rozšíření a jsou splněny předpoklady základní věty Galoisovy teorie . Pak existuje bijekce mezi podpolemi L a podskupinami skupiny Galois Gal ( L / K ).

Korespondence umožňuje hluboké pochopení struktury rozšíření. Důležitým příkladem je Ábelova věta , která poskytuje nezbytnou a dostatečnou podmínku pro řešení algebraické rovnice radikály .

Dějiny

Genesis

V případě, že historie teorie algebraických rovnic sahá až do nepaměti, nicméně zavedení konceptu skupiny datovaných XVIII -tého  století . Joseph-Louis Lagrange zdůrazňuje vztah mezi vlastnostmi permutací kořenů a možností řešení kubické nebo kvartické rovnice . Paolo Ruffini jako první pochopil, že obecná rovnice a zejména kvintická rovnice nepřipouští řešení. Jeho demonstrace zůstává neúplná. Demonstrace Nielse Henrika Abela ve dvou článcích napsaných v letech 1824 a 1826 přecházejí po letech nepochopení na potomky. Pojem abstraktní skupiny se však zatím neobjevuje a věta zůstává neúplná.

Évariste Galois

Évariste Galois definitivně řeší problém tím, že navrhuje nezbytnou a dostatečnou podmínku pouze pro rozpustnost rovnice radikály. Jeho přístup trpí stejným nedorozuměním jako jeho předchůdci. Jeho první spisy, které byly Akademii věd předloženy v roce 1829, jsou definitivně ztraceny. Článek autora napsaný v roce 1830 objevil Joseph Liouville, který jej v roce 1843 představil vědecké komunitě v těchto termínech: „  … Doufám, že zaujmu Akademii oznámením, že v novinách Évariste Galois jsem našel řešení tak přesný, jak hluboký je tento krásný problém: Vzhledem k neredukovatelné rovnici rozhodněte, zda je nebo není radikály řešitelný.  "

Příspěvek Galoise je zásadní, popisuje jej G. Verriest následovně: „Géniovým příchodem Galoise bylo  zjistit, že podstata problému nespočívá v přímém hledání přidaných veličin, ale ve studiu povaha skupiny rovnice. Tato skupina […] vyjadřuje stupeň nerozeznatelných kořenů […]). Proto již není mírou rovnice, která měří obtížnost jejího řešení, ale je to povaha její skupiny. "

Galois hluboce upravuje svoji analytickou osu ve srovnání se svými předchůdci. Poprvé v historii matematiky přináší na světlo abstraktní strukturu, kterou nazývá skupina rovnic . Je to studie o teorii abstraktních skupin, která mu umožňuje ukázat, že existují neřešitelné případy. Je tedy ukazuje, že střídavý skupina indexu pěti nemá vlastnosti nezbytné pro zajištění řešitelný . Píše tedy „  Nejmenší počet permutací, které může mít nerozložitelná skupina, když toto číslo není prvočíslo, je 5.4.3.  "

Tento přístup, spočívající v definování a analýze abstraktních struktur a již ne rovnic, je nejplodnější. Je předzvěstí toho, co se stalo s algebrou. Z tohoto důvodu je Galois často považován za otce moderní algebry.

Evoluce teorie

Dva matematici okamžitě pochopili rozsah práce Galoise, Liouvilla a Augustina Louise Cauchyho, kteří v roce 1845 publikovali článek demonstrující teorém o konečných grupách nesoucích jeho jméno . Poté Arthur Cayley dává první abstraktní definici skupinové struktury, nezávisle na pojmu permutace. Camille Jordan široce šíří Galoisovy myšlenky. Jeho kniha zpřístupnila teorii mnohem širšímu publiku v roce 1870.

Teorie je postupně hluboce modifikována matematiky, jako je Richard Dedekind, který jako první hovořil o „  Galoisově teorii  “, Otto Hölder, který v roce 1889 předvedl svou nyní slavnou větu, nebo Emil Artin, který dává moderní definici skupiny Galois. Skupina Galois je nyní skupina automorfismů a nikoli skupina permutací .

Motivace

Původní motivace

Zpočátku se skupina Galois objevila jako nástroj pro porozumění algebraickým rovnicím . Naivní přístup spočívající v provádění změn proměnných nebo transformací na polynomu neumožňuje najít kořeny algebraicky.

Abychom pochopili, v jakém případě takový přístup funguje, dobrý přístup spočívá ve studiu permutací kořenů, které ponechávají invariantní všechny algebraické výrazy těchto kořenů. Taková struktura tvoří skupinu, isomorfní ke skupině Galois.

Galoisova teorie pak umožňuje přesně určit, v kterém případě je možné vyjádřit kořeny ve funkcích algebraických výrazů koeficientů rovnice a radikálů. Radikál je číslo, jehož n-tou mocninou je číslo počátečního pole. Struktura skupiny Galois umožňuje toto přesné stanovení.

Takový přístup, spočívající ve studiu již ne transformací, ale samotné struktury nejmenšího rozšíření obsahujícího všechny kořeny, nazývaného rozkladné tělo , se ukazuje jako silný. Je to základ moderní algebry. Tento přístup spočívá v obecném studiu struktury konkrétní množiny, zde těla rozkladu. Zdá se, že tato sada má dvojitou strukturu, a to jak pole, tak i vektorového prostoru na poli koeficientů. Skupina Galois je nejjednodušší algebraická struktura umožňující hluboké porozumění.

Hotové rozšíření

Tento obecný přístup je plodný pro analýzu jakéhokoli konečného prodloužení v jakémkoli základním poli. Tato analýza je jednodušší, pokud má přípona dobré vlastnosti. Jsou užitečné dva předpoklady, rozšíření musí být oddělitelné a normální . Pak mluvíme o rozšíření Galois . Je nicméně nutné tyto pojmy zobecnit. Skupina se pak stane abstraktní strukturou, která se vzdálí od pojmu permutace. Skupina Galois již není definována pomocí kořenů polynomu, protože přípona je nyní definována obecně a již z algebraické rovnice. Skupina Galois se poté jeví jako skupina automorfismů rozšíření opouštějící základní pole neměnné.

Základní věta Galoisovy teorie stanoví, v případě, že konečným rozšířením je Galois, korespondenci mezi jeho mezilehlými poli a podskupinami jeho Galoisovy skupiny. Tato korespondence umožňuje podrobné porozumění rozšíření.

Obecný případ

Konečný charakter rozšíření není pro definici skupiny Galois nezbytný. Obecně platí, že skupina Galois zůstává základním nástrojem. Teorie se však stává natolik složitou, že ji lze rozebrat.

Případ, kdy je skupina Galois komutativní, je nyní dobře známý. Teorie třídy polí odpovídá klasifikaci abelovských rozšíření . Tato teorie je považován za jeden z největších úspěchů matematiky XX -tého  století.

Nekomutativní případ je v matematice stále do značné míry otevřenou otázkou. Skupina Galois zůstává základním nástrojem, jak ukazuje například práce Laurenta Lafforgue na programu Langlands , která mu v roce 2002 vynesla medaili Fields .

Definice

Nechť K tělo, L algebraické rozšíření o K a P polynom s koeficienty v K .

Příklady

Další příklady jsou uvedeny v článcích „  Ábelova věta (algebra)  “ a „  Teorie inverzní Galois  “. Poukážeme také na existenci polynomu stupně 7, který má pro Galoisovu skupinu jednoduchou skupinu řádu 168 .

Stupeň 2

Zvažte dostatečně jednoduchý příklad, aby byl v tomto případě použitelný historický přístup. Nechť P je polynom s racionálními koeficienty definovanými:

Jeho dva kořeny jsou:

Uvažujme pak množinu E polynomů se dvěma proměnnými, jejichž pár ( x 1 , x 2 ) je root. Tuto vlastnost ověřují následující tři příklady polynomů:

Všimli jsme si tedy, že ( x 2 , x 1 ) je také kořenem polynomu této povahy. To ukazuje, že dvě permutace kořenů, které k páru ( x 1 , x 2 ) sdružují, jedna ( x 1 , x 2 ) a druhá, ( x 2 , x 1 ), ponechávají E stabilní (obecněji: Galoisova skupina neredukovatelného polynomu přechodně působí na množinu kořenů tohoto polynomu).

Skupina dvou permutací je isomorfní se skupinou Galois. Zpočátku to tak bylo definováno. Je zde izomorfní s ℤ / 2ℤ.

Stupeň 5

Podle Galoisova doplňku k Ábelově teorému není Galoisova skupina neredukovatelného polynomu P přes dokonalé pole K , jako pole ℚ racionálních čísel , řešitelná , pak kořeny polynomu nejsou vyjádřeny pomocí radikálů z prvky K . Nejjednodušší příklady jsou polynomy stupně 5, jejichž Galoisova skupina na ℚ je symetrická skupina S 5 , která není řešitelná.

Příkladem je polynom P ( X ) = X 5 - 3 X - 1. Jedním ze způsobů, jak to ověřit - v další části uvidíme rychlejší - je ukázat, že z jeho pěti komplexních kořenů jsou přesně tři skutečné a pouze jeden má modul přísně menší než 1. Tento polynom je znázorněn na obrázek vpravo; přesněji tento obrázek ilustruje web, který při komplexním počtu z sdružuje modul P ( z ) pro body kladné imaginární souřadnice. Tři skutečné kořeny jsou přibližně –1,21, –0,33 a 1,39, a dva konjugované komplexy, 0,08 ± 1,33 i . Existence jediného páru konjugovaných komplexních kořenů ukazuje existenci transpozice ve skupině. Skutečnost, že na disku jednotky je pouze jeden kořen, který je na obrázku zobrazen zeleně, je jedním z možných argumentů, které ukazují, že polynom je na ℚ nesnížitelný. Dedukujeme, že skupina obsahuje prvek řádu 5. Existence těchto dvou prvků (řádů 2 a 5) stanoví, že skupina Galois je izomorfní k S 5 .

Podrobnosti příkladu X 5 - 3 X - 1

Modulo p redukce

Pro jednotný polynom P s celočíselnými koeficienty a prvočíslem p poskytuje Galoisova skupina (na konečném poli F p ) polynomu P odvozeného z P redukcí modulo p informaci o tom (na ℚ ) P  :

Nechť G je Galoisova skupina P a D (resp. D p ) kruh generovaný kořeny P (resp. P ), v poli rozkladu . Pokud je P oddělitelné, pak:

  1. Galois skupina P identifikuje (ne canonically ) s podskupiny z G  ;
  2. (Věta Dedekind ) G obsahuje permutace, jehož cykly v rozkladu do disjunktní cykly , mají délky stupňů ireducibilní faktory P .
Demonstrace

Podle předpokladu je discriminant z P není nula, to znamená, že z P není dělitelný od p . Pokud n je stupeň P , pak tyto dva polynomy mají n jednoduchých kořenů v libovolném poli rozkladu.

Důkaz věty.

Důkaz dvou důsledků.

  1. Morfismus φ D v D p je pevně daný, mapa, která ke každému prvku σ skupiny Galois skupiny P spojuje prvek σ z G (nutně jedinečný) tak, že σ φ = φσ, je injektivní morfismus .
  2. Následuje Dedekindova věta, která využívá, že Galoisova skupina P je cyklická (generovaná Frobeniovým automorfismem ).

Příklad. To poskytuje další metodu k prokázání, že Galoisova skupina na ℚ polynomu P ( X ) = X 5 - 3 X - 1 (studovaná v předchozí části) je izomorfní k S 5 (zjistíme tedy, že P je neredukovatelná), berouce na vědomí, že P je shodný s ( X 3 + X 2 + 1) ( X 2 + X + 1) modulo 2 a ( X - 1) ( X 4 + X 3 + X 2 + X + 1) modulo 3.

Podrobnosti příkladu X 5 - 3 X - 1

Ve F 2 [ X ] jsou dva faktory X 3 + X 2 + 1 a X 2 + X + 1 neredukovatelné, protože jsou ve stupních 3 a 2 a nemají kořen ve F 2 .

Ve F 3 [ X ] jsou dva faktory X - 1 a X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 také neredukovatelné (pro druhý, kterým je cyklotomický polynom Φ 5, F 3 , můžeme použít ten l multiplikativní pořadí 3 modulo 5 se rovná cp (5) , nebo méně, šikovně důvodu identifikací jako na začátku předcházející rozevíracího).

To dokazuje, že Galoisova skupina P , podskupina S 5 , obsahuje 4-kruh a produkt 2-kruhu disjunktním 3-kruhem. Rovná se tedy celé skupině.

Aplikace

Pokud se Galoisovy skupiny historicky objevily prostřednictvím teorie algebraických rovnic, síla tohoto konceptu rychle překročila tento rámec.

Algebraické rovnice

Algebraická rovnice je rovnice, která se píše čtyřmi operacemi +, - ,. a /. Je možné přidat radikály, to znamená výrazy odpovídající n-té odmocnině čísla. Jakákoli rovnice této povahy se rovná polynomiální rovnici. Pokud je v nejčastějších případech, tj. Skutečný nebo složitý , vyřešen problém existence a počtu řešení, na druhé straně zůstal problém výslovného řešení po dlouhou dobu otevřenou otázkou. Řešení této otázky přinášejí určité analytické metody, například Newtonova konvergentní sekvence nebo Abelova eliptická funkce. Pro takovou otázku však stále existuje čistě algebraická metoda.

V případě polynomů stupně méně než pět je tato otázka řešena změnami dobře vybraných proměnných. Obecně není takový přístup uspokojivý. V obecném případě skutečně neexistuje řešení. Skupina Galois umožňuje poskytnout nezbytnou a dostatečnou podmínku i explicitní metodu řešení. Touto otázkou se zabývá Ábelova věta .

Teorie těl

Přístup algebraické rovnice její skupinou Galois zdůrazňuje strukturu pole K spojeného s rovnicí. Studium těl je tedy zcela spojeno se studiem Galoisových skupin.

Jako často v matematice, mocný nástroj pro analýzu struktury K spočívá ve studiu souboru podoborů. Vždy existuje menší, které se nazývá hlavní podpole K  : je to podpole generované jednotou násobení. V případě, že K má nulovou charakteristiku , je její primární podpole izomorfní k poli racionálních . Jinak se charakteristika rovná prvočíslu p a podpole prvočísla K je izomorfní s polem ℤ / p ℤ . V teorii Galois je malá otázka podpolí, ale hlavně rozšíření . Pole K je ve skutečnosti považováno za rozšíření svého hlavního podpole a jakékoli podpole K za přechodné rozšíření.

Základní teorém teorie Osnova znamená, že pro jakékoli konečné prodloužení Osnova existuje bijekce mezi podskupin skupiny Galois a mezilehlých rozšíření. To je důvod, proč jsou Galoisovy skupiny základním nástrojem v teorii těl.

Algebraická teorie čísel

V teorii čísel existuje klasifikace, celá čísla, racionální, konstruovatelná, algebraická a transcendentní. O čísle se říká, že je algebraické, pokud jde o řešení algebraické rovnice. Je tedy přirozené, že skupina Galois je v této souvislosti zásadním nástrojem.

Příklad je uveden konstruovatelnými čísly . Z hlediska Galoisovy teorie se tato čísla objevují jako součást kvadratické rozšiřující věže . Galoisova skupina spojená s tímto rozšířením je abelianská, což umožňuje dokázat Gauss-Wantzelovu větu a najít všechny pravidelné konstruovatelné polygony. Tento přístup také umožňuje demonstrovat staré domněnky, jako je nemožnost v obecném případě provést trisekci úhlu nebo duplikování krychle .

Kromě toho v rámci rozšíření Galois rozvětvování v určitém smyslu připouští Galoisovu interpretaci: skupiny důsledků  (in) , z nichž skupina rozkladu a setrvačná skupina , jsou podskupinami skupiny Galois, které odpovídají prostřednictvím Galoisova korespondence s dílčími rozšířeními, které mají vlastnosti maximálního rozkladu nebo minimálního rozvětvení.

Důležitou otázkou je studie absolutní skupiny Galois těla, zejména těla racionálních lidí, to znamená skupiny Galois jejího oddělitelného uzavření .

Algebraická geometrie

A konečně, v geometrii je důležitá třída potrubí tvořena algebraickými potrubími . Jedná se o potrubí definované jako průnik konečného počtu vícerozměrných polynomů. Analýza těles spojených s těmito polynomy, a tedy i Galoisových skupin, je zásadním způsobem pro pochopení těchto geometrií.

Galoisova korespondence, která s každou subextenzí sdružuje Galoisovu podskupinu, se pak stává korespondencí mezi uzavřenými podskupinami základní skupiny algebraického potrubí a étalovými kryty potrubí.

Poznámky a odkazy

  1. J.-L. Lagrange, Úvahy o algebraickém rozlišení rovnic , 1770.
  2. (It) P. Ruffini, Teoria Generale delle Equazioni, v cui si dimostra nemožná la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto , 1799.
  3. NH Abel, Monografie o algebraických rovnicích, kde demonstrujeme nemožnost řešení obecné rovnice pátého stupně , 1824.
  4. É. Galois, Memoár o podmínkách resolubility radikálních rovnic , ručně psaný text z roku 1830, publikovaný v roce 1846 v časopise Journal of Pure and Applied Mathematics , online na webu bibnum s analýzou Caroline Ehrhardt.
  5. G. Verriest, Mathematical Works of Évariste Galois , 1951, Gauthier-Villars, Paříž.
  6. É. Galois, Mathematical Writings and Memories of Évariste Galois , 1962, Gauthier-Villars, Paříž.
  7. AL Cauchy, O počtu stejných nebo nerovných hodnot, které může funkce n nezávislých proměnných získat, když jsou tyto proměnné jakýmkoli způsobem permutovány , 1845.
  8. (in) A. Cayley , „  Na teorii grup, V závislosti na symbolické rovnici θ n = 1  “ , Philos. Mag. , sv.  7, n O  4,1854, str.  40–47.
  9. C. Jordan, Pojednání o substitucích a algebraických rovnicích , 1870.
  10. (in) E. Artin, Galois Theory , Notre Dame Press, London 1942 (repr.1971).
  11. Aviva Szpirglas , Algebra L3: Kompletní kurz se 400 opravenými testy a cvičeními [ detail vydání ], Definice 12.59 .
  12. Tento příklad pochází od Régine a Adrien Douady , Algèbre et theories galoisiennes [ detail vydání ], 2005, s.  322 .
  13. Ve skutečnosti je polynom tvaru X n + aX ± 1 neredukovatelný na ℚ, jakmile je absolutní hodnota celého čísla a větší nebo rovna 3: (de) O. Perron , „Neue Kriterien für die Irreduzibilität algebraischer Gleichungen “, J. Reine angew. Matematika. , let. 132, 1907, str.  288-307 .
  14. Dalším argumentem je Cohnovo kritérium neredukovatelnosti ve variantě poskytnuté panem Ramem Murtym: zde je prvočíslo H = 3 a celé číslo P (5) = 3109 .
  15. (in) Nathan Jacobson , Basic Algebra , sv.  Já, Dover ,2012, 2 nd  ed. , 528  s. ( ISBN  978-0-486-13522-9 , číst online ) , s.  302-303, Věta 4.38 .
  16. (en) David S. Dummit a Richard M. Foote , abstraktní algebra ,2004, 3 e  ed. ( číst online ) , „14, § 8“ , s.  640-641.
  17. Jacobson 2012 , s.  302, Věta 4.37 .
  18. Jacobson 2012 dokazuje teorém a přímo odvozuje druhý důsledek. Dummit a Foote 2004 uvádějí pouze první důsledek a z toho odvozují druhý.

Podívejte se také

Bibliografie

externí odkazy