Norm (teorie těl)

V (komutativním) teorie pole je normou prvku alfa části konečného prodloužení L části pole K je determinant z lineárního endomorfismů části K - vektorový prostor L , která k x , spolupracovníci αx . Je to multiplikativní homomorfismus . Pojem se používá v Galoisově teorii a v algebraické teorii čísel .

V aritmetice zásadně zasahuje do teorie třídních polí : abelianská dílčí rozšíření daného rozšíření jsou v zásadě v souladu se skupinami norem, tj. Obrazem v K , normou, určitých skupin L.

Tato představa sahá do představy o normě ideálu prstence celých čísel číselného pole (tj. O konečném rozšíření pole ℚ racionálních čísel ), takže norma hlavního ideálu se rovná relativní normě na ℚ generátoru tohoto ideálu. Dokazujeme, že norma nenulového ideálu se rovná mohutnosti kvocientového kruhu a že je multiplikativní. Demonstrace konečnosti skupiny tříd využívá pozvednuté vlastnosti normy ideálů v dané třídě.

Definice

Nechť K je komutativní pole, L konečné rozšíření.

Normou, která se týká rozšíření L / K prvku alfa z L , je determinant endomorphism cp alfa o K- vektorovém prostoru L , které se x , spojuje element αx . Obecně se označuje N L / K ( α ).
Jedná se tedy o prvek K , který se rovná součinu kořenů charakteristiky polynomiálních × alfa o cp alfa , počítá s jejich multiplicity , a v prodloužení, kde × alfa je dělené .

Je běžné, že v ústních komunikacích nebo na fórech, kde je povolena určitá laxnost, se mluví o normě algebraického prvku na K bez odkazu na datum prodloužení L ; v tomto případě se rozumí, že norma algebraického prvku α nad polem K (nebo dokonce jednoduše „norma α “, pokud bylo pole K již dříve specifikováno), je normou α relativně k jednomu rozšíření K ( α ) / K . Někdy se označuje jako N ( α ). Ve formálnějších písemných dokumentech se však tomuto použití vyhýbá a používá se notace N K ( α ) / K ( α ) .

Všimněte si také, že N K ( α ) / K ( α ) je produktem kořenů minimální polynomu P z alfa nad K ; skutečně, pro L = K [ α ] ze studia d , (1, alfa , alfa 2 , ..., α d - 1 ), je základem, ve kterém matrice cp α je společník matice z P , tedy × α = P .

Algebraické celé číslo dané prodloužení má samozřejmě normu vzhledem k tomuto prodloužení, ale to je také celé číslo. Toto pozorování vedlo k zobecnit pojem přirozeně standardních (viz § teorie algebraického čísla ) na ideálu těchto kroužek O L algebraických celá čísla z řady pole L . Potom dokážeme, že normou nenulového ideálu J z O L je (konečná) mohutnost kvocientového kruhu O L / J.

Vlastnosti

Oddělitelné pouzdro

Z vazby mezi normou prvku a jeho minimálním polynomem okamžitě odvodíme:

Norma oddělitelného algebraického prvku nad K se rovná součinu jeho konjugovaných prvků .

Obecněji :

Pokud je L oddělitelné na K a pokud S označuje množinu K- vložení L v normálním prodloužení, pak pro jakýkoli prvek α L,

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = \ prod _ {\ sigma \ in S} \ sigma (\ alpha).}

Demonstrace

Podle věty o primitivním prvku má L pro nějaký prvek m tvar K [ m ] . Pro α = m není vzorec nic jiného než předchozí speciální případ. Rozšiřuje se na jakýkoli prvek α z L , protože α má tvar Q ( m ) pro určitý polynom Q s koeficienty v K , takže φ α = Q (φ m ), takže kořeny χ α jsou obrazy Q z χ m a tedy:

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = \ prod _ {\ sigma \ v S} Q (\ sigma (m)) = \ prod _ {\ sigma \ v S} \ sigma (Q (m)) = \ prod _ {\ sigma \ v S} \ sigma (\ alpha).}

Vztahy mezi normami

Relativní norma dědí z multiplikativity determinantu:

Relativní norma součinu dvou prvků L se rovná součinu relativních norem těchto dvou prvků:

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha _ {1}) ~ {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha _ {2}) = {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha _ {1} \ alpha _ {2})}

Pokud L má stupeň n nad K [ α ], pak N L / K ( α ) = N ( α ) n . Obecněji řečeno, výpočet determinantu části diagonální bloku matici dává:

Pokud L má stupeň n na přechodném prodloužení F, pak pro jakýkoli prvek β F :

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ beta) = {\ mathcal {N}} _ {F / K} (\ beta) ^ {n} = {\ mathcal {N}} _ {F / K} (\ beta ^ {n})}

Tím, že na F na oddělitelný uzávěr z K na L , to umožňuje, aby zobecnit oddělitelný případě výše:

Pokud n je stupeň inseparability z L přes K a je-li S označuje soubor K -bondings o L v normálním nadměrnému roztažení pak, pro jakýkoli prvek alfa z L ,

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = \ prod _ {\ sigma \ in S} \ sigma (\ alpha) ^ {n}}

Pro libovolné mezilehlé rozšíření F , použitím tohoto vzorce na L / K , L / F a F / K současně , můžeme popsat relativní normu libovolného prvku L pomocí kompozičního vzorce norem:

Pro jakékoli mezilehlé prodloužení F a jakýkoli prvek α L :

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = {\ mathcal {N}} _ {F / K} ({\ mathcal {N}} _ {L / F} (\ alfa))}

Je také možné demonstrovat tento vzorec bez procházení produkty indexovanými S , díky složení složení pro determinanty .

Algebraická teorie čísel

V této části je K pole ℚ racionálních čísel, takže konečná přípona L je pole čísel. Vezměme si kroužek O L algebraických celých čísel z L . Jednoduchý konkrétní případ je studován v článku „ Kvadratické celé číslo “.

Norma algebraického celého čísla a jeho relativní norma pro jakékoli pole čísel L, které ji obsahuje, jsou relativní celá čísla.
Ve skutečnosti se až do znaménka norma α rovná konstantnímu koeficientu jeho minimálního polynomu - který má pro algebraické celé číslo celočíselné koeficienty - a relativní norma je jeho mocností.

V této situaci, a je-li α není nula, je relativní směrodatná je (podle definice) rozhodující, v základní B z ℤ modulu O L základního alfa B z dílčího modulu alfa O L . Tyto základní změna matice těchto moduli bytí v lineárním souboru z ℤ, jejich determinanty jsou rovny ± 1. Je proto přirozené rozšířit definici normy týkající se ideálů takto:

Norma z nenulové ideální J o O L je absolutní hodnota determinant, na základě ℤ-modulu O L , na základě submodulu J.

Jedná se tedy o přirozené celé číslo, a pokud J je hlavní, toto celé číslo se rovná absolutní hodnotě relativní normy generátoru.

Poté předvedeme oznámenou charakteristiku:

Pro jakýkoli nenulový ideální J z O L je kvocient O L / J konečný, s mohutností rovnou normě J.

Odůvodnění definice a důkaz charakterizace

Nechť d je stupeň prodloužení. Nejprve si všimněte, že the-modul O L je prostý hodnosti d (srov. § „Noetherovské vlastnosti“ článku „Algebraické celé číslo“ ). Podle věty o invariantním faktoru tedy existuje generující rodina J formy ( p 1 e 1 ,…, p d e d ) s p k přirozenými čísly a ( e 1 ,…, e d ) základ O L . Kromě toho, všechny p k jsou nenulové, protože J obsahuje submodul alfa O L hodnosti d , pro všechny nenulové α v J . Definice tedy má význam (tj. O L a J jsou dva volné ℤ-moduly stejné konečné pozice), ( p 1 e 1 , ..., p d e d ) je základem J a normou J se rovná p 1 … p d . Nyní tento produkt je přesně hlavní kvocientu O L / J = (ℤ e 1 ⊕ ... ⊕ ℤ e d ) / (ℤ p 1 e 1 ⊕ ... ⊕ ℤ p d e d ) ≃ (ℤ / p 1 ℤ) ×… × (ℤ / p d ℤ).

(Tuto vlastnost lze interpretovat geometricky tím, že počet bodů sítě O L, které patří do základní domény podsítě J, se rovná relativnímu objemu této základní domény: srov. § „Covolume“ článek „Mřížka (geometrie) . “ Zvláštní případ kvadratických celých čísel, který je jednodušší, je studován v článku „ Ideální pro kruh celých čísel kvadratického pole “.)

Zejména pokud P je nenulový prvočíslo ideální, pak O L / P je konečný integrální kruh, proto konečné pole F q , N ( P ) = q je síla prvočísla a Lagrangeova věta o skupinách okamžitě dává:

Fermatova malá věta o kruhu celých čísel číselného pole - Pro jakýkoli nenulový primární ideál P z O L a jakýkoli prvek α z O L ,

{\ displaystyle \ alpha ^ {| N (P) |} \ equiv \ alpha \ mod P}

protože pokud α nepatří do P, pak α | N ( P ) | - 1 ≡ 1 mod p .

Obecněji také dokazujeme analogii Eulerovy věty .

Vlastnost multiplikativity je zachována:

Nechť J 1 a J 2 jsou dva nenulové ideály O L , platí následující rovnost: ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {1} \ cdot J_ {2}) = {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {1}) ~ {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {2})}$ .

Demonstrace

Následující důkaz je založen na skutečnosti, že prsten O L je od Dedekinda . Každý ideál je produktem prvotřídních ideálů a každý ideál ideálu je maximální (srov. Článek „ Frakční ideál “). Je tedy dostačující prokázat tvrzení, pokud J 2 je maximální, přičemž obecný případ se poté řeší postupným násobením maximálních ideálů.

Podle třetího teorému izomorfizmu je skupina abelian O L / J 1 je izomorfní s kvocientu z O L / ( J 1 J 2 ) podle podskupiny J 1 / ( J 1 J 2 ). Stačí tedy ukázat, že tato podskupina je izomorfní s O L / J 2 . Nechť α je prvek J 1, který není v J 1 J 2 . (Takový prvek existuje, protože zahrnutí J 2 do O L je proto přísné - invertibilitou zlomkového ideálu J 1 - také J 1 J 2 v J 1. ) Pak J 1 − 1 α je ideálem O L, který není zahrnut v J 2 , takže ideální J 1 −1 α + J 2 přísně obsahuje maximální ideální J 2 , je tedy roven O L , tj. Že existuje prvek β J 1 -1 takový, že 1 - αβ patří do J 2 . Na závěr konstatujeme, že přirozený morfismus O L / J 2 v J 1 / ( J 1 J 2 ), který ke třídě libovolného prvku γ O L sdružuje, že αγ je pak izomorfismus, přičemž reciproční morfismus je ten, z J 1 / ( J 1 J 2 ) v O L / J 2 , který ke třídě libovolného prvku δ z J 1 asociuje s βδ.

Aplikace

Normy někdy umožňují stanovit euklidovský charakter určitých kruhů celých čísel. To je například případ celých čísel Gauss , Eisenstein a celých čísel ℚ ( √ 5 ) .

V obecnějším případě kvadratických polí pomáhá norma objasnit strukturu prstence, aby bylo možné například vyřešit rovnici x 2 + 5 y 2 = p, kde p je prvočíslo .

Ještě obecněji se norma používá ke stanovení klíčových výsledků algebraické teorie čísel, jako je konečnost skupiny ideálních tříd prstence celých čísel celého těla čísel.

Poznámky a odkazy

Viz například http://mathoverflow.net/questions/146000/structure-of-norm-one-group-for-quadratic-extension-of-p-adic-fields nebo http://mathoverflow.net/questions / 158686 / integer-numbers-of-the-form-m-xn-yn / 158689 # 158689
(in) Lorenz Falko (de) , Algebra , sv. I: Fields and Galois Theory , Birkhäuser ,2005, 296 s. ( ISBN 978-0-387-28930-4 , číst online ) , s. 136.
Lorenz 2005 , s. 137.
Lorenz 2005 , s. 138.
(en) N. Bourbaki , Elements of Mathematics : Algebra I, Chapters 1-3 , Springer ,1990, 710 s. ( ISBN 978-3-540-64243-5 , číst online ) , s. 546.
Definici v obecnějším kontextu najdete v článku anglické Wikipedie „ Ideální norma “ .
(en) Helmut Koch (de) , Teorie čísel: Algebraická čísla a funkce , AMS , kol. " GSM " ( n o 24)2000, 368 s. ( ISBN 978-0-8218-2054-4 , číst online ) , s. 78.
(in) Tatsuaki Okamoto, „public-key cryptosystems Quantum“ in Mihir Bellare (de) , Advances in Cryptology - CRYPTO 2000 , Springer , al. "Lecture Notes in Computer Science" ( n O 1880),2000( číst online ) , s. 147-165( str. 154 ).
(in) David A. Cox , prvočísla formy $x 2 + ny 2$ , John Wiley & Sons ,2011( 1 st ed. 1989) ( ISBN 978-1-11803100-1 , číst on-line ) , str. 165.
Více přímých důkazů viz Koch 2000 , str. 75.

Podívejte se také

Související článek

Stopový tvar

Bibliografie

Pierre Samuel , Algebraická teorie čísel [ detail vydání ]
Jean-Pierre Serre , aritmetický kurz ,1970[ detail vydání ]

Externí odkaz

Bas Edixhoven a Laurent Moret-Bailly , algebraická teorie čísel, magisterský kurz z matematiky , University of Rennes 1 ,2004( číst online )