V matematice , na pětiúhelníkové číslo věty , v důsledku švýcarské matematik Euler , je věta, která stanoví formální série vývoj této funkce Euler :
.Jinými slovy :
Název věty pochází z formy exponentů na pravé straně rovnosti: tato čísla jsou zobecněná pětiúhelníková čísla .
Věta o pětiúhelníku je speciální případ identity trojitého produktu Jacobi .
Tato věta má kombinatorickou interpretaci, pokud jde o oddíly . Zejména na levé straně je funkce generátoru (z podobných důvodů pro funkce generátoru pro obecnější neomezené funkce sdílení ) počtu rozkladů n na sudý počet odlišných částí minus počet rozkladů n v lichém počet zřetelných částí: když vysvětlíme produkty levé strany rovnosti, exponent n výrazu x n získáme sečtením různých způsobů rozložení n na odlišné části. Znamení závisí na počtu dílů.
Například koeficient x 5 je 1, protože existují dva způsoby, jak rozdělit 5 na sudý počet odlišných částí (4 + 1 a 3 + 2), ale pouze jeden způsob, jak to udělat pro lichý počet odlišných částí ( 5).
Pravá strana , jakmile identita je prokázáno, říká, že existuje tolik oddílů celé číslo do sudého počtu odlišných částí, jako lichého počtu samostatných částí, pokud číslo je číslo generalizované pětiúhelníkové.
Například koeficient x 6 je 0 a oddíly jsou 6, 5 + 1, 4 + 2, 3 + 2 + 1: existuje tolik (2), které mají sudý počet částí a které mají lichý počet dílů.
Tato interpretace vede k novému důkazu identity involucí , který v roce 1881 našel Fabian Franklin.
Uvažujme Ferrersův diagram jakéhokoli rozkladu n na odlišné části (v níže uvedeném diagramu n = 20 a rozklad je 7 + 6 + 4 + 3).
Nechť k je počet prvků v nejmenším řádku našeho grafu. Nechť s je počet prvků v pravém 45 stupňovém řádku (ve výše uvedeném diagramu označeno červeně). V tomto druhém, to = 2 a K = 3.
Pokud k > s , vezmeme pravou 45 ° čáru a posuneme ji tak, aby vytvořila novou čáru, jako v níže uvedeném grafu.
Pokud ne (jak v nové grafu, kde k = 2, y = 5) obrátíme proces pohybem řádku pod tvořit novou linii při 45 stupních (přidání prvek pro každý z k první linky). V našem případě se tak dostáváme zpět k prvnímu grafu.
To ukazuje, že použití tohoto procesu dvakrát za sebou nás přivede zpět k původnímu grafu a že proces změní paritu počtu řádků. Takže tento proces (pokud jej lze provést) nám umožňuje distribuovat Ferrersovy diagramy oddílů přispívajících pro 1 a −1 ve stejném počtu v původním součtu. Vše je zrušeno, s výjimkou dvou případů, kdy naši operaci nebylo možné provést: když k = s nebo k = s - 1.
1) k = s , úhlopříčka zcela vpravo a čára níže se setkávají Například,
Pokus o provedení operace by nás vedl k:
který nemění paritu počtu řádků a není reverzibilní (v předchozím smyslu). Pokud je v posledním řádku původního grafu k prvků, pak
2) k = s - 1, úhlopříčka zcela vpravo a čára níže se setkávají. Například,
Naše operace vyžaduje, abychom přesunuli pravou úhlopříčku na řádek níže, ale to by nás vedlo ke dvěma řádkům 3 prvků, což je zakázáno, protože počítáme rozklady do samostatných částí. Toto je předchozí případ, ale s dalším prvkem v každém řádku, takže
.V souhrnu jsme ukázali, že rozklady na sudý počet odlišných částí a lichý počet odlišných částí se navzájem přesně ruší, s výjimkou pětiúhelníkových čísel , kde existuje přesně jeden případ, který není pochopen (což přispívá k faktoru (- 1) k ). Ale to je přesně to, co by měla dělat pravá strana předchozí identity, takže jsme hotovi.
Eulerova věta poskytuje indukční vzorec pro výpočet počtu p ( n ) oddílů n :
nebo více formálně: pro ,
kde je zobecněné pětiúhelníkové číslo .