V algebře jsou formální řady zobecněním polynomů, které umožňují nekonečné součty, stejně jako v analýze , celočíselné řady zobecňují polynomické funkce , kromě toho, že v algebraickém rámci se problémy konvergence vyhýbají definicemi ad hoc . Tyto objekty jsou užitečné pro výstižný popis sekvencí a pro hledání vzorců sekvencí definovaných indukcí pomocí takzvaných generujících řad .
Nechť R je komutativní ( sjednocený ) kruh . Prstenec R [[ X ]] formální série přes R v neurčitou X je skupina abelian ( R N , +) ze sekvencí s hodnotami v R , vybaven určitým vnitřním násobení práva . Přesněji :
(je to druh diskrétního konvolučního produktu ).
Tyto dvě operace činí z R [[ X ]] komutativní kruh.
Topologie na R [[ X ]] nejjemnější proč, bez ohledu na koeficienty n v R , je topologie vytvořená na R N, kde R je vybavena diskrétní topologií .
Podle konstrukce je tento prostor:
Jsme si vědomi vzdálenost z topologie I -adic , kde I = ( X ), je ideální násobky X . Dělá R [[ X ]] topologický kruh (pokud K je komutativní pole, je K (( X )) také vybaveno strukturou topologického pole ).
V důsledku toho je vlastnost, která motivovala volbu této topologie, zobecněna: řada obecného termínu f n konverguje v R [[ X ]] právě tehdy, když pro jakékoli přirozené číslo N , téměř všechny formální řady f n (au znamená: všechny, ale omezené množství ) jsou násobky X N . Kromě toho, jakýkoliv přeskupení ze série pak konverguje ke stejnému limitu.
V analýze konvergentní celá řada definuje funkci se skutečnými nebo komplexními hodnotami . Formální řady lze také chápat jako funkce, jejichž počáteční a koncové sady je třeba zacházet opatrně. Jestliže f = ∑ a n X n je prvek R [[ X ]], S komutativní a asociativní algebra na R , I je ideál S takový, že I -adická topologie na S je úplná, a x prvek Já , pak je možné definovat:
Tato řada konverguje k S díky předpokladu na x . Dále:
a
Tyto vzorce však nejsou definicemi a musí být prokázány.
Protože topologie přes R [[ X ]] je ( X ) -adická topologie a R [[ X ]] je úplná, je možné použít formální řadu na jinou formální řadu za předpokladu, že argumenty n 'nemají žádnou konstantu koeficient: f (0), f ( X 2 - X ) a f ((1 - X ) -1 - 1) jsou dobře definovány pro jakoukoli formální řadu f ∈ R [[ X ]].
S tímto formalismem můžeme dát explicitní vzorec pro inverzi (v multiplikativním smyslu) formální řady f, jejíž konstantní koeficient a = f (0) je v R invertibilní :
Pokud je formální řada g s g (0) = 0 dána implicitně rovnicí
kde f je známá celá řada vyhovující f (0) = 0, pak lze koeficienty g vypočítat explicitně pomocí Lagrangeovy věty o inverzi .
Pokud f = ∑ a n X n je prvek R [[ X ]], definujeme jeho formální derivaci pomocí operátoru D definovaného
Tato operace je R - lineární :
pro a , b v R a f , g v R [[ X ]].
Mnoho vlastností klasické derivace funkcí je platné pro odvození formální řady. Platí například pravidlo odvození pro produkt :
stejně jako pravidlo odvození sloučeniny:
V jistém smyslu jsou všechny formální řady Taylorovy řady , protože pokud f = ∑ a n X n , když D k zapíšeme jako k- tu formální derivaci, zjistíme, že
Můžeme také definovat derivaci pro formální Laurentovu řadu přirozeným způsobem a v tomto případě bude pravidlo kvocientu kromě výše uvedených pravidel také platné.
Nejrychlejší způsob, jak definovat prsten R [[ X 1 , ..., X r ]] o dosažené série na R v r začíná proměnných s kruhu S = R [ X 1 , ..., X r ] z polynomů na R . Nechť jsem ideál S generovaný X 1 , ..., X r ; zvažte tedy I -adickou topologii na S a dokončete ji (en) . Výsledkem tohoto dokončení je úplný topologický kruh obsahující S a který je označen R [[ X 1 ,…, X r ]].
Pro n = ( n 1 ,…, n r ) ∈ N r zapíšeme X n = X 1 n 1 … X r n r . Pak je každý prvek R [[ X 1 , ..., X r ]] zapsán jednoznačně jako součet takto:
Tyto součty konvergují pro jakoukoli volbu koeficientů a n ∈ R a na pořadí, ve kterém jsou prvky sečteny, nezáleží.
Topologie na R [[ X 1 ,…, X r ]] je J -adická topologie , kde J je ideál R [[ X 1 ,…, X r ]] generovaný X 1 ,…, X r ( tj. J je tvořeno řadami, jejichž konstantní koeficient je nula).
Protože R [[ X 1 ,…, X r ]] je komutativní kruh, můžeme definovat jeho kruh formální řady, označený R [[ X 1 ,…, X r ]]. Tento kruh je přirozeně izomorfní s dříve definovaným kruhem R [[ X 1 ,…, X r ]], ale tyto kruhy jsou topologicky odlišné.
Pokud R je hlavní, pak R [[ X 1 , ..., X r ]] je faktoriální .
Pokud jde o formální řadu s jednou proměnnou, lze „použít“ formální řadu s několika proměnnými na jinou formální řadu za předpokladu, že její konstantní koeficient a (0, ..., 0) je nula. Je také možné definovat parciální derivace těchto formálních řad. Částečné deriváty dojíždějí stejně jako pro průběžně diferencovatelné funkce.
Můžeme použít formální řady k prokázání čistě algebraické části některých klasických identit analýzy. Například formální série (s racionálními koeficienty ) ověřte (poslední výraz je definován v kruhu Q [[ X, Y ]].
Několik metod ( viz podrobný článek) umožňuje reprezentovat posloupnost formální řadou a vysvětlit pojmy posloupnosti (nebo alespoň informace o jejím chování) z výpočtů přidružené řady.
Prsten formální řady R [[ X 1 ,…, X r ]] má následující univerzální vlastnost :
pak existuje jedinečná mapa Φ: R [[ X 1 ,…, X r ]] → S ověřování
Nechť G je zcela uspořádaná abelianská skupina .
Pak můžeme sestrojit množinu R (( G )) součtů
na podmnožin řádném I z G , a kde i jsou prvky R . Takový součet je nula, pokud jsou všechna a i nula. Formálnější jsou to mapy G v R s dobře uspořádanou podporou .
Pak R (( G )) je komutativní prsten s názvem ring formálních série na generalizované G . Podmínka, že se součty vztahují k dobře uspořádaným podmnožinám I, zajišťuje, že produkt je dobře definován.
Pokud R je pole a pokud G je skupina relativních celých čísel, najdeme Laurentovu formální řadu.
Různé vlastnosti R se mohou přenést na R (( G )).
Pokud R je pole, tak je to i R (( G )). Pokud R je nařízeno pole , můžeme definovat na R (( G )) příkaz vztahu přiřazením ke každé sérii znamení dominantního koeficient koeficient spojený s nejmenším i tak, že i nenulová. Jestliže G je dělitelné skupina a R je uzavřený skutečné pole, pak je stejný pro R (( G )) Konečně, jestliže G je dělitelné skupina a R je algebraicky uzavřené pole, pak je stejný pro R (( G ))Tuto teorii vytvořil rakouský matematik Hans Hahn