Teorie toků potenciálu rychlosti

V mechaniky tekutin je rychlost potenciál teorie proudění je teorie proudění tekutiny, kde se viskozita opomíjeny. Je široce používán v hydrodynamice .

Teorie navrhuje vyřešit Navier-Stokesovy rovnice za následujících podmínek:

• tok je stacionární
• kapalina není viskózní
• nedochází k žádnému vnějšímu působení (tepelný tok, elektromagnetismus, gravitace ...)

Rovnice

Diferenciální formulace Navier-Stokesových rovnic v kartézských souřadnicích je:

• Rovnice kontinuity (nebo rovnice hmotnostní bilance)∂ρ∂t+div⁡(ρproti→)=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ rho} {\ částečné t}} + \ operatorname {div} (\ rho {\ vec {v}}) = 0}

• Rovnice rovnováhy hybnosti∂(ρproti→)∂t+div⁡(ρproti→⊗proti→)=-Grnad→(p)+div⁡(τ¯¯)+ρF→{\ displaystyle {\ frac {\ částečný \ levý (\ rho {\ vec {v}} \ pravý)} {\ částečný t}} + \ operatorname {div} \ levý (\ rho {\ vec {v}} \ otimes {\ vec {v}} \ right) = - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (p) + \ operatorname {div} ({\ overline {\ overline {\ tau}}}) + \ rho {\ vec {f}}}

• Rovnice energetické bilance∂(ρE)∂t+div⁡[(ρE+p)proti→]=div⁡(τ¯¯⋅proti→)+ρF→⋅proti→-div⁡(q˙→)+r{\ displaystyle {\ frac {\ částečný \ levý (\ rho e \ pravý)} {\ částečný t}} + \ operatorname {div} \ levý [\; \ levý (\ rho e + p \ pravý) {\ vec {v}} \; \ right] = \ operatorname {div} \ left ({\ overline {\ overline {\ tau}}} \ cdot {\ vec {v}} \ right) + \ rho {\ vec {f }} \ cdot {\ vec {v}} - \ operatorname {div} ({\ vec {\ dot {q}}}) + r}

V těchto rovnicích:

• t{\ displaystyle t}představuje čas (jednotka SI :) ;s{\ displaystyle {\ rm {s}}}
• ρ{\ displaystyle \ rho}označuje hustotu kapaliny (jednotka SI :) ;kG⋅m-3{\ displaystyle {\ rm {kg \ cdot m ^ {- 3}}}}
• proti→=(proti1,proti2,proti3){\ displaystyle {\ vec {v}} = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}označuje Eulerianovu rychlost částice tekutiny (jednotka SI :) ;m⋅s-1{\ displaystyle {\ rm {m \ cdot s ^ {- 1}}}}
• p{\ displaystyle p}označuje tlak (jednotka SI :) ;Pna{\ displaystyle {\ rm {Pa}}}
• τ¯¯=(τi,j)i,j{\ displaystyle {\ overline {\ overline {\ tau}}} = \ left (\ tau _ {i, j} \ right) _ {i, j}}je tenzor viskózních napětí (jednotka SI :) ;Pna{\ displaystyle {\ rm {Pa}}}
• F→{\ displaystyle {\ vec {f}}}označuje výslednice hmotných sil působících v tekutině (jednotka SI :) ;NE⋅kG-1{\ displaystyle {\ rm {N \ cdot kg ^ {- 1}}}}
• E{\ displaystyle e}je celková energie na jednotku hmotnosti (jednotka SI :) ;J⋅kG-1{\ displaystyle {\ rm {J \ cdot kg ^ {- 1}}}}
• q˙→{\ displaystyle {\ vec {\ dot {q}}}}je tepelný tok ztracený vedením tepla (jednotka SI :) ;J⋅m-2⋅s-1{\ displaystyle {\ rm {J \ cdot m ^ {- 2} \ cdot s ^ {- 1}}}}
• r{\ displaystyle r}představuje objemovou tepelnou ztrátu v důsledku záření (jednotka SI :) .J⋅m-3⋅s-1{\ displaystyle {\ rm {J \ cdot m ^ {- 3} \ cdot s ^ {- 1}}}}

Nestlačitelná kapalina

K předchozím rovnicím musíme přidat podmínky našeho případu:

• kapalina je nestlačitelná

∂ρ∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ rho} {\ částečné t}} = 0}

• tekutina je také stacionární

∂(ρE)∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ levé (\ rho e \ pravé)} {\ částečné t}} = 0}` `∂(ρproti→)∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ doleva (\ rho {\ vec {v}} \ doprava)} {\ částečné t}} = 0}

• kapalina není viskózní

 τ¯¯=0{\ displaystyle \ {\ overline {\ overline {\ tau}}} = 0},

• nedochází k žádnému vnějšímu působení (tepelný tok, elektromagnetismus, gravitace ...)

 F=0{\ displaystyle \ f = 0}, , ... r=0{\ displaystyle \ r = 0} q=0{\ displaystyle \ q = 0}

proto jsou rovnice velmi zjednodušené:

• div⁡(ρproti→)=0{\ displaystyle \ operatorname {div} (\ rho {\ vec {v}}) = 0}
• div⁡(ρproti→⊗proti→)=-Grnad→(p){\ displaystyle \ operatorname {div} \ left (\ rho {\ vec {v}} \ otimes {\ vec {v}} \ right) = - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (p)}
• div⁡[(ρE+p)proti→]=0{\ displaystyle \ operatorname {div} \ left [\; \ left (\ rho e + p \ right) {\ vec {v}} \; \ right] = 0}

S okrajovými podmínkami je systém rovnic solventní. První rovnice je nezávislá na ostatních dvou, stačí najít řešení této rovnice a určit další dvě. div⁡(ρproti→)=0{\ displaystyle \ operatorname {div} (\ rho {\ vec {v}}) = 0}

Jak je konstantní, pak rovnice je: .  ρ{\ displaystyle \ \ rho}div⁡(ρproti→)=0⇔div⁡(proti→)=0{\ displaystyle \ operatorname {div} (\ rho {\ vec {v}}) = 0 \ Leftrightarrow \ operatorname {div} ({\ vec {v}}) = 0}

Existuje tedy funkce jako:  φ{\ displaystyle \ \ varphi}

proti→=Grnad→ φ{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ~ \ varphi}

kde je vektor rychlosti tekutiny v bodě v prostoru Navier-Stokesových rovnic .  proti→{\ displaystyle \ {\ vec {vb}}}

Rovnice má následující podobu:

 div⁡(Grnad→ φ)=0{\ displaystyle \ \ operatorname {div} ({\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ~ \ varphi) = 0}

je

d2φ/dX2+d2φ/dy2+d2φ/dz2=0 .{\ displaystyle d ^ {2} \ varphi / dx ^ {2} + d ^ {2} \ varphi / dy ^ {2} + d ^ {2} \ varphi / dz ^ {2} = 0 ~.}

aniž bychom zapomněli na okrajové podmínky.

Nebo v jiném zápisu: .  ∇×∇φ=0{\ displaystyle \ \ nabla \ times \ nabla \ varphi = \ mathbf {0}}

Řešení

Řešení rovnice s jejími okrajovými podmínkami dal George Green a je napsáno:  ∇×∇φ=0{\ displaystyle \ \ nabla \ times \ nabla \ varphi = \ mathbf {0}}

4πφ(M)=-∫∫Sne→.Grnad→(φ)rds+∫∫Sφne→.r→r3ds{\ displaystyle 4 \ pi \ varphi (M) = - \ int \ int _ {S} ^ {} {\ frac {{\ overrightarrow {n}}. {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ varphi )} {r}} ds + \ int \ int _ {S} ^ {} {\ frac {\ varphi {\ overrightarrow {n}}. {\ overrightarrow {r}}} {r ^ {3}}} ds }

s:

• S je povrch, který je okrajem oblasti, do které je profil ponořen (křídlo letadla, plachta lodi atd.). Doména musí být dostatečně velká, aby se tekutina „tiše“ rušila kolem profilu, aniž by se objevily nějaké výrazné hranové efekty. Minimální je plocha troj- až čtyřnásobku rozměru profilu.
• M (x, y, z) bod uvnitř objemu omezený uzavřenou plochou S (která může zasahovat do nekonečna);
• φ{\ displaystyle \ varphi}a být nula mimo povrch S;Grnad→(φ){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ varphi)}
• ne→{\ displaystyle {\ overrightarrow {n}}} jednotkový vektor kolmý na S orientovaný dovnitř;
• r = PM vektor spojující aktuální bod P povrchu S s bodem M, kde je vyjádřen potenciál .φ{\ displaystyle \ varphi}

Řešení

Kromě jednoduchých tvarů profilu je řešení rovnice pouze číselné. Protože je tok považován za stacionární, nejsou výsledky výpočtu turbulentní. Tento model je tedy realistický pouze při malém výskytu. Při vysokém výskytu se teorie ostře liší od reality, kde profil generuje velké turbulence.

Stlačitelná kapalina

Obecný případ

Podobně lze tuto teorii rozšířit na stlačitelný irrotační model.

(1-MX2)∂2Φ∂X2+(1-My2)∂2Φ∂y2+(1-Mz2)∂2Φ∂z2-2MXMy∂2Φ∂X∂y-2MyMz∂2Φ∂y∂z-2MzMX∂2Φ∂z∂X=0,{\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ left (1-M_ {x} ^ {2} \ right) {\ frac {\ částečné ^ {2} \ Phi} {\ částečné x ^ {2}}} + \ left (1-M_ {y} ^ {2} \ right) {\ frac {\ částečné ^ {2} \ Phi} {\ částečné y ^ {2}}} + \ left (1-M_ {z} ^ {2} \ right) {\ frac {\ částečné ^ {2} \ Phi} {\ částečné z ^ {2}}} \\ & \ quad -2M_ {x} M_ {y} {\ frac {\ částečné ^ {2} \ Phi} {\ částečné x \, \ částečné y}} - 2M_ {y} M_ {z} {\ frac {\ částečné ^ {2} \ Phi} {\ částečné y \, \ částečné z}} -2M_ {z} M_ {x} {\ frac {\ částečné ^ {2} \ Phi} {\ částečné z \, \ částečné x}} = 0, \ konec {zarovnáno}}}

s Machovým číslem

MX=1na∂Φ∂X,{\ displaystyle M_ {x} = {\ frac {1} {a}} {\ frac {\ částečný \ Phi} {\ částečný x}},}   My=1na∂Φ∂y{\ displaystyle M_ {y} = {\ frac {1} {a}} {\ frac {\ částečný \ Phi} {\ částečný y}}}   a   Mz=1na∂Φ∂z,{\ displaystyle M_ {z} = {\ frac {1} {a}} {\ frac {\ částečný \ Phi} {\ částečný z}},}

kde a je místní rychlost zvuku . je vektor rychlosti kapaliny a je rovna: . Rovnice platí pro sub- , trans- a nadzvukovou rychlost a pro libovolný dopad , pokud tok zůstává irrotační.  proti→{\ displaystyle \ {\ vec {vb}}}proti→=Grnad→ ϕ{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ~ \ phi}

V podzvukovém nebo nadzvukovém případě, ale ne transsonickém nebo hypersonickém, s nízkým výskytem a tenkým profilem, můžeme rychlost rozdělit na dvě části: nerušenou rychlost V ∞ ve směru x a zbytek v ∇ φ buď:

∇Φ=PROTI∞X+∇φ.{\ displaystyle \ nabla \ Phi = V _ {\ infty} x + \ nabla \ varphi.}

Pro malé odchylky od uplatňování teorie perturbace teorií je proveden linearizace pro malé odchylky. Rovnice jsou zjednodušeny a stávají se:

(1-M∞2)∂2φ∂X2+∂2φ∂y2+∂2φ∂z2=0,{\ displaystyle \ left (1-M _ {\ infty} ^ {2} \ right) {\ frac {\ částečné ^ {2} \ varphi} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} \ varphi} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} \ varphi} {\ částečné z ^ {2}}} = 0,}

s M ∞  =  V ∞  /  a ∞ Machovo číslo nerušeného přítoku. Tyto lineární rovnice jsou mnohem snadněji řešitelné než počáteční rovnice.

Akustický

K základním rovnicím je třeba přidat následující podmínky:

• tekutina je také stacionární

∂(ρE)∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ levé (\ rho e \ pravé)} {\ částečné t}} = 0}` `∂(ρproti→)∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ doleva (\ rho {\ vec {v}} \ doprava)} {\ částečné t}} = 0}

• kapalina není viskózní

 τ¯¯=0{\ displaystyle \ {\ overline {\ overline {\ tau}}} = 0},

• nedochází k žádnému vnějšímu působení (tepelný tok, elektromagnetismus, gravitace ...)

 F=0{\ displaystyle \ f = 0}, , ... r=0{\ displaystyle \ r = 0} q=0{\ displaystyle \ q = 0}

proto jsou rovnice velmi zjednodušené:

• ∂ρ∂t+div⁡(ρproti→)=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ rho} {\ částečné t}} + \ operatorname {div} (\ rho {\ vec {v}}) = 0}
• ∂(ρproti→)∂t+div⁡(ρproti→⊗proti→)=-Grnad→(p){\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ levé (\ rho {\ vec {v}} \ pravé)} {\ částečné t}} + \ operatorname {div} \ levé (\ rho {\ vec {v}} \ otimes {\ vec {v}} \ right) = - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (p)}
• ∂(ρE)∂t+div⁡[(ρE+p)proti→]=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ levé (\ rho e \ pravé)} {\ částečné t}} + \ operatorname {div} \ levé [\; \ levé (\ rho e + p \ pravé) {\ vec {v}} \; \ right] = 0}

Hustota se rozloží následujícím způsobem s rovnovážnou hustotou definovanou následujícím způsobem . ρ{\ displaystyle \ rho}ρ=ρ′+ρ0{\ displaystyle \ rho = \ rho '+ \ rho _ {0}}ρ0{\ displaystyle \ rho _ {0}}ρ0=limT→∞1T∫t0t0+Tρdt{\ displaystyle \ rho _ {0} = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} \ rho \, dt}

Všimli jsme si: dm=ρ0dPROTI{\ displaystyle \ mathrm {d} m = \ rho _ {0} \, \ mathrm {d} V}

Masivním využitím vět o vektorové analýze se získá:

ρ0∂proti∂t=-∇p{\ displaystyle \ rho _ {0} {\ frac {\ částečné \ mathbf {v}} {\ částečné t}} = - \ nabla p}

Rychlost se rozkládá následovně s průměrnou rychlostí definovanou následovně . proti{\ displaystyle v}proti=proti′+proti¯{\ displaystyle v = v '+ {\ overline {v}}}proti¯{\ displaystyle {\ overline {vb}}}proti¯=limT→∞1T∫t0t0+Tprotidt.{\ displaystyle {\ overline {v}} = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} v \, dt.}

Podobným způsobem postupujeme tak, že se soustředíme pouze na , zanedbáváme jevy druhého řádu (nazývané akustická aproximace) a bereme v úvahu tlakové variace jako čistě adiabatické, abychom modelovali akustické vlny následovně: proti′{\ displaystyle v '}

∂2φ∂t2=na¯2Δφ,{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} \ varphi} {\ částečné t ^ {2}}} = {\ overline {a}} ^ {2} \ Delta \ varphi,}

s rychlostí v '  = ∇ φ a průměrnou rychlostí zvuku v homogenním materiálu . je definována následujícím způsobem: s v adiabatické stlačitelnosti koeficientu ( ). na¯{\ displaystyle {\ overline {a}}}na¯{\ displaystyle {\ overline {a}}}na¯=1ρχS{\ displaystyle {\ overline {a}} = {\ sqrt {\ frac {1} {\ rho \ chi _ {S}}}}}χS{\ displaystyle \ chi _ {S}}χs=-(∂PROTI/∂p)S/PROTI{\ displaystyle \ chi _ {s} = - \ vlevo (\ částečné V / \ částečné p \ pravé) _ {S} / V}

Buďte opatrní, rychlost v je vidět v euleriánském smyslu , není to rychlost určené částice, ale rychlost částic procházející přesným bodem v prostoru.

Podívejte se také

Související článek

• Laplaceova rovnice
• Teorie tenkého profilu

externí odkazy

• Obecná teorie toků potenciálu rychlosti na air-et-terre.info
• ( fr ) Teorie potenciálního toku od AH Techet z MIT
• (en) Teorie potenciálního toku Nuno Fonseca z Instituto Superior Técnico
• (en) Chanson Hubert , Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:191112 , Boca Raton, CRC Press, Taylor & Francis Group,2009, vázaná kniha ( ISBN  978-0-415-49271-3 , LCCN  2008051277 )

Reference

1. J. D. Anderson , moderní stlačitelný tok , McGraw-Hill,2002( ISBN  0-07-242443-5 ), str. 358–359.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">