Masreliezova věta

Masreliez věta je rekurzivní algoritmus, široce používán v technologii pro odhad robustní a Kalmanova filtru rozšířené, pojmenovaný po svém autorovi, fyzik švédské-Američan , C. Johan Masreliez .

Kontext

V inferenční statistice je odhadcem hodnota vypočítaná na vzorku a která doufá, že bude dobrým odhadem hodnoty, kterou by vypočítal na celkové populaci. Chceme, aby odhad byl nestranný, konvergentní, efektivní a robustní, zde s robustními statistikami odhady, které nejsou příliš ovlivněny malými odchylkami od předpokladů modelu. Práce of PhD Masreliez 1972 smlouvami „robustní odhad“, a to přišlo s odhadcem pro určitý druh středního robustní. Odhadovatel vždy ospravedlňuje maximální rozptyl pro symetrické rozdělení pravděpodobnosti, přičemž má známé procento pravděpodobnosti v každém „ocasu“, nezávisle na tom, jak jinak vypadal zákon pravděpodobnosti . Poté vyvinul tento výsledek a svého robustního rekurzivního filtru IIR Kalmanova typu (1975) jako „ Gaussovu nefiltrující aproximaci s lineární stavovou rovnicí a rovnicí„ stejně lineárního pozorování “ .

Aplikace

Masreliezova věta od té doby obdržela několik použití, například pro odhad podmíněné střední přesnosti v negaussovských pozorovacích situacích. Věta se také používá v celé řadě technologických oborů ( radar , elektronické vidění, komunikace ...). Toto je hlavní téma v automatizaci a zpracování signálu . Příkladem použití může být neustálé poskytování informací, jako je poloha nebo rychlost objektu, ze série pozorování vztahujících se k jeho poloze, případně včetně chyb měření. Outlier je zjištění, že je „daleko“ od jiných pozorování. Přítomnost odlehlé hodnoty může znamenat například případ, který není součástí studované populace, nebo vstup nebo chyba měření. Některé odlehlé hodnoty lze snadno identifikovat pomocí modifikované Masreliezovy věty. Ostatní jsou:

Robotika
Automatický pilot
Přímé neurální rozhraní
Asimilace dat v meteorologii a oceánografii
Satelitní poziční systém , jako např
- Globální Polohovací Systém

Výpočet

Masreliezova věta je rekurzivní odhad . To znamená, že k odhadu aktuálního stavu je potřeba pouze odhad předchozího stavu a aktuální měření. Historická pozorování a odhady proto nejsou nutné.

Objekty z matematického výpočtu jsou odhad (v tis. Funkci Skóre z) gradientu na logaritmu z funkce pravděpodobnosti : $\ psi$ ${\ displaystyle L (\ theta; X)}$

{\ displaystyle \ psi = {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} \ log L (\ theta; X) = {\ frac {1} {L (\ theta; X)}} {\ frac { \ částečná L (\ theta; X)} {\ částečná \ theta}}.}

funkce z (parametru je třeba vyhodnotit) e (pozorování). $\ theta$ $X$

Stav Masreliezovy věty je nejprve představován dvěma proměnnými:

${\ displaystyle {\ hat {\ textbf {x}}} _ {k | k}}$ , odhad stavu v čase k ;
${\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {k | k}}$ „ Chybová kovarianční matice (míra přesnosti odhadovaného stavu).

Věta má dvě odlišné fáze: Predikce a Aktualizace . Fáze predikce používá odhadovaný stav předchozího okamžiku k vytvoření odhadu aktuálního stavu. V kroku aktualizace se pozorování aktuálního času používají k opravě predikovaného stavu, aby se získal přesnější odhad. Evoluční a pozorovací modely nemusí být lineárními funkcemi státu, ale mohou to být ( diferencovatelné ) funkce.

{\ displaystyle {\ textbf {x}} _ {k} = f ({\ textbf {x}} _ {k-1}, {\ textbf {u}} _ {k}, {\ textbf {w}} _ {k})}

{\ displaystyle {\ textbf {z}} _ {k} = h ({\ textbf {x}} _ {k}, {\ textbf {v}} _ {k})}

Funkci f lze použít k výpočtu predikovaného stavu z předchozího odhadovaného stavu a podobně lze funkci h použít k výpočtu predikovaného pozorování predikovaného stavu. Avšak f a h nelze použít přímo na výpočet kovariance: vypočítá se částečná derivační matice, Jacobian .

V každém okamžiku je Jacobian vyhodnocen s aktuálními odhadovanými stavy. Tyto matice lze použít v rovnicích věty. Tento proces v podstatě linearizuje nelineární funkci kolem aktuálního odhadu. To dává rovnice:

Předpověď

{\ displaystyle {\ hat {\ textbf {x}}} _ {k | k-1} = f ({\ hat {\ textbf {x}}} _ {k-1 | k-1}, {\ textbf {u}} _ {k}, 0)}

(předpokládaný stav)

{\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {k | k-1} = {\ textbf {F}} _ {k} {\ textbf {P}} _ {k-1 | k-1} {\ textbf {F}} _ {k} ^ {T} + {\ textbf {Q}} _ {k}}

(předpokládaný odhad kovariance)

${\ displaystyle {\ textbf {F}} _ {k}}$ : matice, která spojuje předchozí stav s aktuálním stavem $k-1$ $k$
${\ displaystyle {\ textbf {u}} _ {k}}$ : zadání příkazu
${\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {k | k-1}}$ : matice pro apriorní odhad kovariance chyby
${\ displaystyle {\ textbf {Q}} _ {k}}$ : kovarianční matice šumu procesu

Aktualizace

{\ displaystyle {\ tilde {\ textbf {y}}} _ {k} = {\ textbf {z}} _ {k} -h ({\ hat {\ textbf {x}}} _ {k | k- 1}, 0)}

(inovace)

{\ displaystyle {\ textbf {S}} _ {k} = {\ textbf {H}} _ {k} {\ textbf {P}} _ {k | k-1} {\ textbf {H}} _ { k} ^ {T} + {\ textbf {R}} _ {k}}

(kovarianční inovace)

{\ displaystyle {\ textbf {K}} _ {k} = {\ textbf {P}} _ {k | k-1} {\ textbf {H}} _ {k} ^ {T} {\ textbf {S }} _ {k} ^ {- 1}}

( optimální zisk Kalman )

{\ displaystyle {\ hat {\ textbf {x}}} _ {k | k} = {\ hat {\ textbf {x}}} _ {k | k-1} + {\ textbf {K}} _ { k} {\ tilde {\ textbf {y}}} _ {k}}

(aktualizovaný stav)

{\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {k | k} = (I - {\ textbf {K}} _ {k} {\ textbf {H}} _ {k}) {\ textbf {P}} _ {k | k-1}}

(aktualizovaná kovariance)

${\ displaystyle {\ textbf {z}} _ {k}}$ : pozorování nebo měření procesu v čase k
${\ displaystyle {\ textbf {H}} _ {k}}$ : matice, která spojuje stav s mírou ${\ textbf {x}} _ {k}$ ${\ displaystyle {\ textbf {z}} _ {k}}$
${\ textbf {P}} _ {k | k}$ : a posteriori odhadovací matice kovariance chyby
${\ displaystyle {\ textbf {R}} _ {k}}$ : měření kovarianční matice šumu
${Já}$ : matice identity s odpovídajícími rozměry

kde přechodové a pozorovací matice jsou definovány jako následující Jacobians :

{\ displaystyle {\ textbf {F}} _ {k} = \ vlevo. {\ frac {\ částečné f} {\ částečné {\ textbf {x}}}} \ vpravo | _ {{\ hat {\ textbf { x}}} _ {k-1 | k-1}, {\ textbf {u}} _ {k}}}

{\ displaystyle {\ textbf {H}} _ {k} = \ vlevo. {\ frac {\ částečné h} {\ částečné {\ textbf {x}}}} \ vpravo | _ {{\ hat {\ textbf { x}}} _ {k | k-1}}}

Konvergence této věty není v žádném případě zaručena, protože se jedná o lokální konvergenci.

Poznámky a odkazy

(in) T. Cipra a A. Rubio, „Kalmanov filtr s nelineárním negaussovským pozorovacím vztahem“ , Trabajos de Estadística , sv. 6, n O 2, 1991, str. 111-119, DOI : 10,1007 / BF02873526 .
(in) CJ Masreliez, Robustní odhad a rekurzivní filtrování , Ph.D. disertační práce , University of Washington , Seattle , v roce 1972.
(in) CJ Masreliez, „Přibližné negaussovské filtrování s lineárními stavovými a pozorovacími vztahy“, IEEE Trans. Auto. Control , sv. 20, 1975, s. 107-110.
Akademické vyhledávání ,> 150 příslušných citací.
Mehmet Ertu Rul Çelebi a Ludwik Kurz, „robustní lokálně optimální filtry: Kalman a Bayesian teorie odhad“, informační věda , vol 92, n o 1-4, červenec 1996, str. 1-32.
Jo-anne Ting, Evangelos Theodorou a Stefan Schaal, „Kalmanov filtr pro robustní detekci odlehlých hodnot“, na Mezinárodní konferenci o inteligentních robotech a systémech - IROS , 2007, s. 1514-1519.
Henri Pesonen; Robustní techniky odhadu pro určování polohy GNSS , NAV07-The Navigation Conference and Exhibition (2007), Londýn.
(en) Bernhard Spangl a kol. , Orientační podmíněné střední typ filtrování pro stavový popis , Universität für Bodenkultur, Wien, 2008.

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

(en) Ricardo A. Maronna, R. Douglas Martin a Victor J. Yohai, Robust Statistics - Theory and Methods , Wiley, 2006 ( ISBN 978-0-470-01092-1 ) (strany 273-4, 289)
(en) DR Cox a DV Hinkley, Theoretical Statistics , Chapman & Hall, 1974 ( ISBN 0-412-12420-3 )
(en) Mark J. Schervish, Theory of Statistics , New York, Springer, 1995 ( ISBN 0-387-94546-6 ) , oddíl 2.3.1 (skóre)

externí odkazy

(in) Brian Ripley , vyvážený závod v robustních statistikách
(en) Poznámky k kurzu Nicka Fiellera o statistickém modelování a výpočtech jsou engrese robustní.
( fr ) Kurz webu Davida Oliveho skóre v robustních statistikách.