Zplodil kmen

Vzhledem k tomu, sadu dílů stejného souboru $X$ , na kmen vygenerovaný pomocí nebo Borel jeho rozšíření o je nejmenší kmen (ve smyslu inkluze), který obsahuje . Zaznamenáváme to nebo . $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$ ${\ displaystyle B {\ mathcal {C}}}$

Definice

Kmen generovaný sadou dílů

Návrh a definice - buď $X$ sada a sada podmnožin $X$ . Tam je menší kmen na $X$ (pro začleňování), který obsahuje . Nazýváme to kmen zplodil pomocí a píšeme ho . $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$

Jeden snadno prokáže existenci tím, že jej definuje jako průsečík všech kmenů na $X,$ které obsahují (tento průnik má význam, protože existuje alespoň jeden takový kmen, a to takzvaný diskrétní kmen vytvořený ze všech částí $X$ ) . ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$ $\ mathcal C.$

Kmen generovaný rodinou aplikací

Definice - Nechť $X$ je množina, $já$ množina indexů a nechť každý je měřitelný prostor a mapa . $já \ v I$ ${\ displaystyle (X_ {i}, {\ mathcal {A}} _ {i})}$ ${\ displaystyle f_ {i} \, \ dvojtečka \, X \ až X_ {i}}$

Kmen generovaný sloučením kmenů vzájemných obrazů se nazývá kmen generovaný rodinou . Bereme to na vědomí . $(f_ {i}) _ {{i \ v I}}$ ${\ displaystyle f_ {i} ^ {- 1} ({\ mathcal {A}} _ {i})}$ ${\ displaystyle \ sigma (f_ {i}, i \ v I)}$

Je snadné ověřit, že:

generovaný kmen je nejmenší kmen, který současně umožňuje měřit všechny mapy $f i$ .
poznamenává , že pro jakoukoli mapu měřitelného prostoru do je $g$ měřitelné právě tehdy, když je každá . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ sigma (f_ {i}, i \ v I)}$ $G$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}})}$ $(X, {\ mathcal A})$ ${\ displaystyle f_ {i} \ cirkus}$

Příklady

Buď a pak . $A \ in {\ mathcal P} (X), A \ neq X$ ${\ displaystyle A \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ sigma (\ {A \}) = \ {\ varnothing, A, {} ^ {c} A, X \}}$
Dovolme být množinou singletonů vesmíru . Kmen je stejný nebo spočetný . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ {\ {x \}, x \ v X \}}$ ${\ displaystyle X \,}$ $\ sigma ({\ mathcal L})$ $\ {A \ in {\ mathcal P} (X), A$ ${} ^ {c} A \,$ $\} \,$
V topologickém prostoru se kmen generovaný otevřenými (nebo, co přijde na stejnou věc, uzavřenými ) nazývá kmen Borelianů .
Vzhledem k tomu, měřený prostor , kmen vytvořený prvky a zanedbatelné sad pro $u Stabilizátory$ se nazývá vyplněný kmen z . Je to zmíněno v článku „ Dokončení opatření “. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal A}$

Transfinovaná konstrukce

Transfinitní metoda opakování konstrukce obecně umožňuje popis kmene generovaného částí . To bylo aplikováno v roce 1898 Émile Borel definovat rodinu, která se nyní nazývá Borelian kmen . $\ mathcal C.$

Abychom to popsali, nejprve použijeme notaci: pro množinu částí množiny $X$ označíme množinu spočetných shledání prvků a množinu počitatelných průsečíků. ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ sigma}}$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ delta}}$

První neprůkazný nápad by mohl být následující: vycházíme ze sady složené z prvků a jejich doplňků. Abychom vytvořili nové prvky generovaného kmene, aplikujeme na části, které se ve třídě objevují, operace spočítatelné shledání a spočítatelné křižovatky: získáme tak novou třídu . Operaci zahajujeme opět pózováním a tak dále opakováním. Mohli bychom doufat, že se setkání rostoucího pořadí odpovědí na otázku: je to samozřejmě není prázdný, z nichž každá je stabilní doplňkovými, operace sloučení nebo nekonečné průniku send v . Ale tento poslední bod neznamená, že posílají shledání do sebe: že myslíme na možnou posloupnost množin, kde každá je prvkem . Neexistuje žádná záruka, že jeho schůze nebo křižovatka bude také v jedné z . ${\ mathcal {F}} _ {0}$ $\ mathcal C.$ ${\ mathcal {F}} _ {0}$ ${\ mathcal {F}} _ {1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {2} = ({\ mathcal {F}} _ {1}) _ {\ sigma} \ cup ({\ mathcal {F}} _ {1}) _ { \ delta}}$ ${\ mathcal {F}} _ {n}$ ${\ mathcal {F}} _ {n}$ ${\ mathcal {F}} _ {n}$ ${\ mathcal {F}} _ {n + 1}$ ${\ mathcal {F}} _ {n}$ ${\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ $Mít}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {i} \ setminus {\ mathcal {F}} _ {i-1}}$ ${\ mathcal {F}} _ {n}$

Tuto myšlenku lze však využít, ale za podmínky, že se konstrukce posune dále provedením transfinitního opakování . Definujeme zdrojovou aplikaci tak, že s každým pořadovým číslem aplikace přidruží sadu částí $X$ , podle následujícího postupu: ${\ displaystyle \ aleph _ {1} +1}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ aleph _ {1} +1}$

${\ mathcal {F}} _ {0}$ je sada složená z prvků a jejich doplňků. ; $\ mathcal C.$
pro každý pořadového $alfa$ , ; ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alpha +1} = ({\ mathcal {F}} _ {\ alpha}) _ {\ sigma} \ cup ({\ mathcal {F}} _ {\ alpha}) _ {\ delta}}$
pro všechny hranice pořadový $p$ , . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ beta} = \ bigcup _ {\ alpha <\ beta} {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$

Nechť $ω 1$ značí prvním uncountable pořadové ; pak můžeme snadno zkontrolovat, že:

{\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}) = \ bigcup _ {\ alpha <\ omega _ {1}} {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}.}

Zahrnutí v tom smyslu, je jednoduchá - pomocí transfinitní indukcí můžeme snadno vidět, že pro každou řadovou $alfa$ , je součástí . Proto je také celek . $\ supset$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha <\ omega _ {1}} {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$
Z hlediska významu si toho všimneme a že proto stačí zajistit, aby tato poslední sada byla sama kmen, který zaručí, že ji bude obsahovat . Je však zjevně neprázdný, stabilní komplementaritou, protože každý je (snadné transfinitní opakování, použití De Morganových zákonů pro přechod k následnému pořadovému číslu ), jen stabilita spočetným spojením vyžaduje trochu pozornosti. Dovolme tedy být posloupnost prvků ; pro každý označit nejmenší pořadové číslo jako , a nakonec nastavit . Jako spočetné sjednocení počitatelných ordinálů je $β$ sám o sobě počitatelným ordinálem - pak je snadné to ověřit . Je prokázána stabilita na početné spojení. $\ podmnožina$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ podmnožina {\ mathcal {F}} _ {0} \ podmnožina \ bigcup _ {\ alpha <\ omega _ {1}} {\ mathcal {F}} _ {\ alfa }}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$ $(A_i) _ {i \ in \ N}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha <\ omega _ {1}} {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$ $i$ $\ alpha_i$ ${\ displaystyle A_ {i} \ in {\ mathcal {F}} _ {\ alpha _ {i}}}$ ${\ displaystyle \ beta = \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} \ alpha _ {i}}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i} \ in {\ mathcal {F}} _ {\ beta +1} \ podmnožina \ bigcup _ {\ alpha <\ omega _ {1 }} {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$

Když $X$ je měřitelný topologický prostor a topologie na $X$ , tato konstrukce připouští varianty. Zde není nutné inicializovat opakování smícháním otevřené a uzavřené, jako by tomu bylo v případě, že by se postupovalo podle výše uvedených pokynů . Měřitelnost ve skutečnosti zaručuje, že každé uzavřené je G δ (a každé otevřené F σ ), takže pokud inicializaci opakujeme převzetím , najdeme uzavřené z ; lze samozřejmě symetricky zvolit inicializaci počínaje sadou uzavřených. Společné zvážení těchto dvou paralelních iterací vede k zavedení standardizovaných notací, přičemž tyto rostoucí rodiny tříd hrají důležitou roli v deskriptivní teorii množin : tomu se říká Borelova hierarchie . $\ mathcal C.$ ${\ mathcal {F}} _ {0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {0} = {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {F}} _ {1}$

Výsledek mohutnosti

Věta - Nechť je měřeným prostorem. Pokud existuje nekonečná spočetná část kmene, která generuje tuto, má sílu spojitosti . $(X, {\ mathcal A})$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal A}$

Důkaz : Označme spočetnou nekonečnou část prohlášení. $\ mathcal C.$

Všechny nekonečné kmeny mají přinejmenším sílu spojitosti (viz část „Kardinalita kmenů“ článku „ Kmen “). obsahující nekonečnou množinu , je nekonečná a její kardinál je tedy větší nebo roven kardinálu kontinua. ${\ mathcal A}$ $\ mathcal C.$ ${\ mathfrak {c}}$

Ukažme inverzní nerovnost. S notacemi z předchozí části je třída, která inicializuje indukci, počítatelná nekonečná. Z každé posloupnosti prvků zkonstruujeme spočítatelné sjednocení částí (pochopitelně je pochopitelné, že mnoho sad poskytuje stejnou schůzku). Kardinál z je tedy menší nebo roven tomu , který je . Totéž platí pro křižovatky a dospěli jsme k závěru, že kardinál z je menší nebo roven . ${\ mathcal {F}} _ {0}$ ${\ mathcal {F}} _ {0}$ ${\ mathcal {F}} _ {0}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {0}) _ {\ sigma}}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {0}) ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} ^ {\ aleph _ {0}} = {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathcal {F}} _ {1}$ ${\ mathfrak {c}}$

Při použití stejného uvažování je kardinál z zase menší nebo roven . ${\ mathcal {F}} _ {2}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}} ^ {\ aleph _ {0}} = {\ mathfrak {c}}}$

Transfinitní indukcí pak ukážeme, že pro všechny $α < ω 1$ :

{\ displaystyle \ mathrm {karta} \, {\ mathcal {F}} _ {\ alpha} \ leq {\ mathfrak {c}}.}

Když $α$ je nástupce pořadový, to je stejné metody jako je popsáno na přechodu z k ; když $α$ je limitní ordinál, je to podle definice spočetné sjednocení množin kardinálů menších nebo rovných , tedy samotného kardinála menšího nebo rovného . ${\ mathcal {F}} _ {1}$ ${\ mathcal {F}} _ {2}$ ${\ mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} \, {\ mathfrak {c}} = {\ mathfrak {c}}}$

Nakonec je kmen zapsán jako svazek množin, které jsou celé formy , pomocí sady základních indexů . Došli jsme k závěru, že . ${\ mathcal A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$ $\ aleph _ {1}$ ${\ displaystyle \ mathrm {karta} \, {\ mathcal {A}} \ leq \ aleph _ {1} \, {\ mathfrak {c}} = {\ mathfrak {c}}}$

CQFD

Tato věta platí zejména pro kmen Borelianů v prostoru ℝ n , který je generován bloky s racionálními souřadnicemi . Obecněji platí, že jeho závěr platí také pro jakýkoli nekonečný prostor Lusin .

Nastavit rozšíření funkcí

V problémech zmíněných v této části máme informace o funkci $μ$ definované na třídě částí množiny $X$ a chceme je šířit na celý generovaný kmen . $\ mathcal C.$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$

Problémy s jedinečností

V této problematice víme, že $μ$ je omezení míry; chceme s tímto omezením zajistit dostatek informací o subjektu, abychom mohli plně charakterizovat $μ$ .

Ukazuje se, že znalost měření na generující části kmene obecně neumožňuje jeho rekonstituci: dvě měření se mohou shodovat ve třídě, aniž by se však shodovala na celém kmeni . $\ mathcal C.$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$

Příklady:

Na singleton dáváme . Kmen zplozený je celý; jsou možná alespoň dvě rozšíření $μ$ : možná je to nula, nebo možná je to jediná míra pravděpodobnosti . ${\ displaystyle \ Omega = \ {a \}}$ ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}$ ${\ displaystyle \ {\ varnothing \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ {1 \})}$ $\ Omega$
I když víme, že míra, která má být rekonstruována, je mírou pravděpodobnosti generovaného kmene, její rekonstrukce není nutně možná. Zvažte sadu čtyř prvků. Sada dílů jasně generuje diskrétní kmen. Pokud však víme, že míra pravděpodobnosti splňuje tyto dvě podmínky a jsou možné alespoň dvě rekonstrukce: snad jsou všechny remízy stejně pravděpodobné, nebo snad pouze remízy aa a bb jsou možné s ekvipravděpodobností. ${\ displaystyle \ Omega = \ {aa, ab, ba, bb \}}$ ${\ displaystyle \ {\ {aa, ab \}, \ {aa, ba \} \}}$ ${\ displaystyle P (\ {aa, ab \}) = 1/2}$ ${\ displaystyle P (\ {aa, ba \}) = 1/2}$

Pro míru pravděpodobnosti však existuje jednoduchá dostatečná podmínka zaručující, že ji její hodnoty charakterizují: stačí, aby byla stabilní konečným průsečíkem (v žargonu teorie měření říkáme, že jde o π-systém). Přesně máme: $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$

Lemmatu jedinečnost pravděpodobnostní opatření - dvě opatření pravděpodobnostní a definované na pravděpodobnostní prostor a totožnou o různých událostí stabilní průsečíku (konečná) také shodují na pole generované : ${\ displaystyle \ mathbb {P} \}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ podmnožina {\ mathcal {A}}}$ $\ mathcal C.$

{\ displaystyle \ {\ forall A \ in {\ mathcal {C}}, \ quad \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {Q} (A) \} \ quad \ Rightarrow \ quad \ {\ forall A \ in \ sigma ({\ mathcal {C}}), \ quad \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {Q} (A) \}.}

Důkaz je okamžitý z lematu zvaného „monotónní třídní lema“ nebo „ Dynkinova věta lambda-pi “:

Monotónní lemma třídy - Nechť $X$ je množina a podmnožina, o níž se předpokládá, že je stabilní konečným průnikem. Potom lze kmen, který se objevil, popsat jako jeho nejmenší část : $\ mathcal C.$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$ $\ mathcal C.$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$

obsahuje $X$ ;
buď stabilní rozdílem vnořených částí: pokud se tam objeví obě, musí se tam také objevit; $A \ podmnožina B$ $B \ setminus A$
být stabilní zvyšováním počitatelného spojení.

Pozitivním příkladem využití výsledků této části je charakterizace pravděpodobnostních opatření jejich distribuční funkcí , množina intervalů tvaru $] -\infty, x ], x \in \in$ je generátorem kmene Borelianů a stabilní průsečíkem .

Existující problémy

Zde je problém zobecnit v abstraktním rámci myšlenky, které vedly k definici Lebesgueovy míry na reálné linii: vzhledem k třídě množin, u nichž se definice míry zdá být velmi přirozená ( obdélníky v rámci Lebesgueovy měříme v rovině), máme na této třídě rozumnou množinu funkcí $μ$ ( plocha ). Jaké podmínky budou dostačující, aby bylo možné tuto funkci množin rozšířit na celý kmen generovaný , včetně nepředvídatelných množin, které může obsahovat? $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$

Odpověď dává věta o rozšíření Carathéodory . Zde je možný výrok (v tomto výroku pod pojmem „míra“ na kruhu množin rozumíme mapu tohoto kruhu na $[0, + \infty]$ , σ-aditivní a vezmeme alespoň jednu konečnou hodnotu):

Věta - Jakákoli míra na kruhu množin připouští alespoň jedno rozšíření do míry definované na kmeni generovaném tímto kruhem.

Reference

Toto označení a související notace, i když jsou dnes zastaralé, se používají zejména v (en) Andreï Nikolaïevich Kolmogorov ( přeložil z němčiny Nathan Morrison), Základy teorie pravděpodobnosti [“ Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ”], New York , Vydavatelství Chelsea,1933, 84 s. ( OCLC 185529381 , číst online )
Marc Briane a Gilles Pagès, Theory of Integration , Paříž, Vuibert , kol. "Velké kurzy Vuibert",Říjen 2000, 302 s. ( ISBN 2-7117-8946-2 ) , str. 47.
Viz například Manuel Samuelides, Pravděpodobnosti pro technické vědy , Dunod ,2014( číst online ) , s. 115a v případě jediné žádosti Philippe Barbe a Michel Ledoux , Probabilité ( L3 M1 ) , EDP Sciences ,2007( číst online ) , s. 5.
Briane a Pagès 2000 , s. 59.
Jean-Paul Pier, Historie integrace. Dvacet pět století matematiky , Massone,1996, 306 s. ( ISBN 978-2-225-85324-1 ) , str. 115.
Podle Daniela Revuze, Měření a integrace , Paříž, Hermann ,1997, 212 s. ( ISBN 2-7056-6350-9 ) , str. 110-111.
informace o Borelově hierarchii viz Srivastava 1998 , str. 115-117.
(en) Sashi Mohan Srivastava , Kurz o Borelových sadách , Springer,1998, 264 s. ( ISBN 978-0-387-98412-4 , číst online ) , s. 100, Věta 3-3-18.
Celá část viz Briane a Pagès 2000 , s. 66-68.
Existuje poměrně jednoduché tvrzení, které způsobí, že jedno zde uvedené (in) Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability , Springer,2002, 638 s. ( ISBN 978-0-387-95313-7 , číst online ) , s. 26.
Tuto definici najdete méně stručně v článku „ Měření “, část „Zobecnění“.