Vektor pozice
Řazení
Poloha je posunutí, jehož počátek je počátečním bodem.
V geometrii , k poloze vektoru , nebo poloměr vektoru , je vektor používá k indikaci polohy bodu vzhledem k souřadnicovému systému . Původ vektoru je v pevné počátku souřadného systému a svým druhým koncem na poloze bodu. Pokud tuto polohu označíme M a počátek O , bude označen vektor polohy . Je také uvedeno, nebo .
ÓM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}ℓ→{\ displaystyle {\ vec {\ ell}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
Ve fyzice je vektorem posunu hmotného bodu nebo objektu vektor spojující starou polohu s novou, proto vektor konečné polohy minus vektor počáteční polohy. Například práce síly se rovná součinu síly krát posunutí jejího bodu aplikace . Označíme-li A a B pozice dvou bodech, posunutí vektor z A do B je označen .
NAB→=ÓB→-ÓNA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {AB}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OB}}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {OA}}}}
Fyzická velikost
Zdvihový objem a délka
Posun a délka jsou vyjádřeny v metrech , ale tyto dvě veličiny nejsou ekvivalentní. Termín „ délka “ je spíše vyhrazen pro geometrické měření objektu, vzdálenosti nebo dráhy, je výsledkem křivočarého integrálu . Taková délka je pak rozsáhlým skalárem (celková délka vlaku je součtem délek jeho složek). „Posun“ je na druhé straně vektorová veličina (charakterizovaná směrem a normou) a intenzivní (je definována v každém bodě a nelze ji přidat z jednoho bodu do druhého).
Z rozměrová analýza hlediska , jsou tyto dvě veličiny jsou oba délky, ale množství orientace je jiná: délka je skalární v L · 1 0 , zatímco posunutí je vektor v L · 1 x .
Podél křivky je elementární posunutí veličinou, jejíž integrál v celém segmentu může vést k:
dℓ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {d} \ ell}}}
L=∫NABdℓ=∫NAB‖∂ÓM→du‖du{\ displaystyle L = \ int _ {\ mathrm {A}} ^ {\ mathrm {B}} \ mathrm {d} \ ell = \ int _ {\ mathrm {A}} ^ {\ mathrm {B}} \ vlevo \ | {\ frac {\ částečné \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ mathrm {d} u}} \ vpravo \ | \ mathrm {d} u}, kde
u je
parametrizace křivky ;
- posun mezi jeho dvěma konci (jehož modulem je délka lana AB ):
NAB→=∫NABdℓ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {AB}}} = \ int _ {\ mathrm {A}} ^ {\ mathrm {B}} {\ overrightarrow {\ mathrm {d} \ ell}}}.
Zdvihový objem a poloha
Na rozdíl od polohového vektoru se vektor posunutí nevztahuje na počátek, ale na počáteční bod. Rozdíl mezi polohou a posunem závisí pouze na stavu počátečního bodu: posunutí vektoru se rovná poloze vektoru, když je počátek vzat ve vztahu k výchozímu bodu; a naopak, polohový vektor je posunutí, které musí být provedeno, aby bylo možné přejít z počátku do uvažovaného bodu.
Tyto dva pojmy jsou spojeny v kinematice bodu : rychlost je definována jako derivace vektoru polohy s ohledem na čas, ale primitivum rychlosti (definované až do libovolného počátku) není zajímavé, na rozdíl od integrálu této rychlosti v časovém intervalu, který udává vektor posunutí tohoto bodu.
Psaní vektoru
Kartézské souřadnice
V kartézských souřadnicích (počátek O a základní vektory ):
EX→,Ey→,Ez→{\ displaystyle {\ vec {e_ {x}}}, {\ vec {e_ {y}}}, {\ vec {e_ {z}}}}
ÓM→=(Xyz)=XEX→+yEy→+zEz→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = x \, {\ vec {e_ {x}}} + y \, {\ vec {e_ {y}}} + z \, {\ vec {e_ {z}}}}kde x , y a z jsou souřadnice bodu M v systému kartézských souřadnic.
Válcové souřadnice
Ve válcových souřadnicích (počátek O a základní vektory ):
Er→,Eθ→,Ez→{\ displaystyle {\ vec {e_ {r}}}, {\ vec {e _ {\ theta}}}, {\ vec {e_ {z}}}}
ÓM→=(r0z)=rEr→+zEz→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ begin {pmatrix} r \\ 0 \\ z \ end {pmatrix}} = r \, {\ vec {e_ {r}}} + z \, {\ vec {e_ {z}}}}Vztah s kartézskými souřadnicemi (ortonormální)
Mezi polární souřadnice r a θ z bodu M jsou připojeny ke své rovině kartézských souřadnic x a y podle:
X=rcos(θ){\ displaystyle x = r \ cos (\ theta)}
y=rhřích(θ){\ displaystyle y = r \ sin (\ theta)}
Základní vektory a závisí na θ :
Er→{\ displaystyle {\ vec {e_ {r}}}}Eθ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}}}
Er→=EX→cos(θ)+Ey→hřích(θ){\ displaystyle {\ vec {e_ {r}}} = {\ vec {e_ {x}}} \ cos (\ theta) + {\ vec {e_ {y}}} \ sin (\ theta)}
Eθ→=-EX→hřích(θ)+Ey→cos(θ){\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}} = - {\ vec {e_ {x}}} \ sin (\ theta) + {\ vec {e_ {y}}} \ cos (\ theta) }
Sférické souřadnice
Ve sférických souřadnicích (počátek O a základní vektory ):
Eρ→,Eθ→,Eφ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ rho}}}, {\ vec {e _ {\ theta}}}, {\ vec {e _ {\ varphi}}}}
ÓM→=(ρ00)=ρEρ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ begin {pmatrix} \ rho \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} = \ rho \, {\ vec {e _ {\ rho} }}}Vztah s kartézskými souřadnicemi (ortonormální)
Tyto sférické souřadnice p , θ a φ bodu M jsou připojeny ke své rovině kartézských souřadnic x , y a z podle:
X=ρhřích(θ)cos(φ){\ displaystyle x = \ rho \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi)}
y=ρhřích(θ)hřích(φ){\ displaystyle y = \ rho \ sin (\ theta) \ sin (\ varphi)}
z=ρcos(θ){\ displaystyle z = \ rho \ cos (\ theta)}
Na základ vektorů , a jsou závislé na t Vstup a cp :
Eρ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ rho}}}}Eθ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}}}Eφ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ varphi}}}}
Eρ→=EX→hřích(θ)cos(φ)+Ey→hřích(θ)hřích(φ)+Ez→cos(θ){\ displaystyle {\ vec {e _ {\ rho}}} = {\ vec {e_ {x}}} \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi) + {\ vec {e_ {y}}} \ sin (\ theta) \ sin (\ varphi) + {\ vec {e_ {z}}} \ cos (\ theta)}
Eθ→=EX→cos(θ)cos(φ)+Ey→cos(θ)hřích(φ)-Ez→hřích(θ){\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}} = {\ vec {e_ {x}}} \ cos (\ theta) \ cos (\ varphi) + {\ vec {e_ {y}}} \ cos (\ theta) \ sin (\ varphi) - {\ vec {e_ {z}}} \ sin (\ theta)}
Eφ→=-EX→hřích(θ)hřích(φ)+Ey→hřích(θ)cos(φ){\ displaystyle {\ vec {e _ {\ varphi}}} = - {\ vec {e_ {x}}} \ sin (\ theta) \ sin (\ varphi) + {\ vec {e_ {y}}} \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi)}
Související pojmy
Vektor posunutí je definován jako rozdíl mezi vektory polohy bodu ve dvou různých časech.
Derivát v poloze vektoru s ohledem na čas dává vektoru rychlosti .
Poznámky a odkazy
-
Vstupní „poziční vektor“ v Richard Taillet Loïc Villain a Pascal Febvre, Fyzikální slovník , Brusel, Oxford University Press ,2008( ISBN 978-2-8041-5688-6 , upozornění BnF n o FRBNF41256105 ) , s. 519( online v Knihách Google ).
Podívejte se také
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">