Asociativní algebra

V matematice je asociativní algebra (na komutativním kruhu A ) jednou z algebraických struktur používaných v obecné algebře . Je to prsten (nebo jednoduše pseudokroužek ) B opatřený další strukturou modulu na A a takovým, že multiplikační zákon kruhu B je A - bilineární . Jedná se tedy o speciální případ algebry nad prstencem .

Formální definice

Nechť A je komutativní prsten. Říkáme, že ( B , +,., ×) je asociativní A- algebra, když:

( B , + ,. ) Je A- modul,
( B , +, ×) je pseudokroužek ,
${\ Displaystyle \ forall \ lambda \ v A, ~ \ forall x, y \ v B, \ qquad \ lambda \ cdot (x \ times y) = x \ times (\ lambda \ cdot y) = (\ lambda \ cdot x) \ krát y ~.}$

Prvky A se nazývají skaláry .

V konkrétním případě, kdy prsten A je pole, pak mluvíme o asociativní algebře nad polem .

Mluvíme o unitární (nebo sjednocené) algebře, když má B neutrál pro násobení.

Příklady

Každý kroužek ( M , +, x) (a ani žádný pseudo-kroužek) je také asociativní algebra pro vnější právo definovanou: pro jakékoliv celé číslo a jakéhokoliv prvku z M , $\ mathbb {Z}$ $ne$ $X$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ text {si}} n> 0 {\ text {then}} & n \ cdot x = \ underbrace {x + x + \ ldots + x} _ { n \ \ mathrm {times}} ~, \\ {\ text {si}} n <0 {\ text {then}} & n \ cdot x = \ underbrace {-xx- \ ldots -x} _ {| n | \ \ mathrm {times}} ~, \\ {\ text {si}} n = 0 {\ text {then}} & n \ cdot x = 0 ~. \ end {matrix}} \ right.}$
Každý prsten je asociativní algebra ve svém středu , tedy na každém dílčím prstenci A tohoto středu.
Nechť A je komutativní prsten.
- Algebra monoid L přes A je asociativní a uniferous algebra. Toto je speciální případ předchozího příkladu. (Pokud je monoid L, je to algebra polynomů v k neurčitých nad A. ) ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, +) ^ {k}}$
- Množina endomorphisms o o A -module je asociativní algebra.

Ekvivalentní definice

Existuje ekvivalentní definice, když je algebra B uniferous:

Nechť být komutativní prsten, B prsten, a morfismus kroužků tak, že f ( ) ve středu části B . Můžeme pak definovat vnější zákon, který dává B strukturu A- asociativní (a jednotné) algebry. ${\ displaystyle f \ ,: \, A \ až B}$ ${\ displaystyle (a, b) \ mapsto f (a) b}$

Naopak, pokud B je asociativní a sjednocená A- algebra, je kruhový morfismus takový ${\ displaystyle f \ ,: \, a \ mapsto a.1_ {B}}$

{\ displaystyle (a.1_ {B}) \ krát x = 1_ {B} \ krát (sekera) = (sekera) \ krát 1_ {B} = x \ krát (a.1_ {B}) ~ {\ text {so}} ~ f (a) \ krát x = x \ krát f (a) ~;}

Image je obsažen v centru B .

Podívejte se také

Hodnocení a reference

Definice použitá například v Serge Langovi , Algebre [ detail vydání ]