Lineární aplikace

V matematice je lineární mapa (nazývaná také lineární operátor nebo lineární transformace ) mapa mezi dvěma vektorovými prostory na těle, která respektuje přidání vektorů a skalární násobení , a tak obecněji zachovává lineární kombinace . Výraz lze také použít pro morfismus mezi dvěma moduly na prstenu , s podobnou prezentací kromě základních pojmů a dimenze .

Tato představa rozšiřuje pojem lineární funkce v reálné analýze na obecnější vektorové prostory.

Definice

Obecný případ

Nechť $E$ a $F$ dva vektorové prostory přes pole $K$ . Mapa $f : E \to F$ se říká, že $K$ -lineární (nebo „ morfismus z $K$ -vector prostor“), pokud splňuje obě

aditivita

{\ displaystyle \ forall (x, y) \ v E ^ {2}, \ quad f (x + y) = f (x) + f (y)}

stejnorodost

{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ mathbb {K} \ quad \ forall x \ v E, \ quad f (\ lambda x) = \ lambda f (x)}

Tyto dvě vlastnosti lze ověřit současně pomocí následující charakterizace:

{\ displaystyle \ forall (x, y) \ v E ^ {2} \ quad \ forall \ lambda, \ mu \ in \ mathbf {K} \ quad f (\ lambda x + \ mu y) = \ lambda f ( x) + \ mu f (y)}

nebo jednodušeji:

{\ displaystyle \ forall (x, y) \ v E ^ {2} \ quad \ forall \ mu \ in \ mathbf {K} \ quad f (x + \ mu y) = f (x) + \ mu f ( y)}

Ekvivalentně aplikace $f : E \to F$ je lineární jestliže a pouze v případě, že graf je podprostor z $E x F$ .

Sada lineárních map od $E$ do $F$ se obecně označuje $L ( E , F )$ nebo $L K ( E ; F )$ nebo dokonce $Hom K ( E , F )$ , přičemž index je často vynechán a implicitní, když je snadné odvodit kontext.

Speciální případy

Izomorfismus vektorových prostorů je bijective morfismus . Označíme $Isomem ( E , F )$ množinu izomorfismů z $E$ nad $F$ ;
Endomorfizmus je morfismus mající stejnou počáteční a koncovou vektorový prostor. Označíme $L ( E )$ množinu $L ( E , E )$ endomorfismů E ;
Automorphism je bijective endomorphism. Označíme- $GL ( E )$ na skupiny automorphisms $E$ (také volal lineární skupina z $E$ );
Pokud je vektorovým prostorem příjezdu pole $K$ , mluvíme o lineárním tvaru . Označíme $E *$ množina lineárních forem na $E$ (nazývaný také duální prostor of $E$ ).

Příklady a protiklady

Vzhledem k tomu, vektorový prostor $S$ přes pole $K$ , jakékoliv rodina skaláry $( 1 , ..., n) \in K n$ definuje lineární mapování nastaveného $E$ $n$ o $n$ n-tic vektorů až $E$ . ${\ displaystyle (x_ {1}, \ tečky, x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} x_ {k}}$

Zejména jakýkoli vektor homothety $x \mapsto a . x$ je lineární.

Na sada z reálných funkcí diferencovatelná v intervalu $I$ , odvození představuje lineární aplikace do množiny reálných funkcí. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {1} (I, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle u \ mapsto u '}$

Časování v nastaveném $C$ z komplexních čísel je $R$ -Lineární map, ale ne $C$ -Lineární mapa. ${\ displaystyle z \ mapsto {\ overline {z}}}$

Kompozice na pravé straně $f \mapsto f \circ g$ definuje lineární map, ale obecně není prostředek na levé $f \mapsto h \circ f$ .

Integrace funkce , vyhodnocení v bodě, $f \mapsto f ( )$ a případné limity jsou také lineární na sadu funkcí, pro které jsou definovány tyto operace.

Na všech $K N$ o apartmány s hodnotami v těle $K$ přesazení $(u n) \mapsto (u n 1 )$ je mez potenciál a konstrukce série spojené jsou také lineární. ${\ displaystyle (u_ {n}) \ mapsto \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ right)}$

Na množině matic je levé a / nebo pravé násobení, transpozice a stopa lineární.

Očekávání definuje lineární mapu na množině reálných náhodných proměnných , které jeden připustit.

Jakákoli aplikace indukovaná v homologii na poli je na tomto poli lineární.

Vlastnosti

Jakékoliv lineární mapa konzervy lineární kombinace: pro jakýkoliv konečný rodiny $( x i ) i \in I$ vektorů a pro každou rodinu $(λ i ) i \in I$ z skaláry (tj prvky $K$ ), ${\ displaystyle f \ left (\ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} x_ {i} \ right) = \ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} f (x_ {i })}$ .

Nechť $E$ a $F$ dva vektorové prostory (resp. Dva moduly) vlevo na tělo (resp. Kroužek) $K$ . Sada $L ( E , F ),$ z lineárního zobrazení od $E$ až $F$ je vektorový prostor (resp. Modul) na středu města $K$ .

Demonstrace

Ukazují, že $L ( E , F ),$ je lineární podprostor (resp. Podmodul) vektorového prostoru (resp. Modul) aplikačního $E$ v $F$ na středovém $C$ z $K$ . Není prázdný, protože obsahuje nulovou aplikaci. Pokud $a$ a $b$ jsou dvě lineární mapy, jejich součet je stále lineární. Nakonec, pokud $λ$ je prvek $C$ , mapa $λ a$ je také lineární, protože je zjevně aditivní a pro všechna $α$ all $K$ a všechna $x \in E$ ,

{\ displaystyle (\ lambda a) (\ alpha x) = \ lambda \ alpha a (x) = \ alpha \ lambda (a (x) = \ alpha (\ lambda a) (x)}

Sloučenina dvou lineárních map je lineární. Přesněji : ${\ displaystyle \ forall f \ in \ operatorname {L} (E, F) \ quad \ forall g \ in \ operatorname {L} (F, G) \ quad g \ circ f \ in \ operatorname {L} (E , G)}$ .Zejména $\circ$ je zákon o vnitřním složení $L ( E )$ .
Hovořit o izomorfizmem je rovněž lineární.
Pokud $E$ je $K$ -vector prostor (resp. Na $K$ -module zdarma), lineární zobrazení $f \in L ( E , F ),$ je úplně určen obrazu pod $f$ části základny z $E$ . Přesněji: Pro každou základnovou $B$ až $E$ , jakékoliv aplikace $B$ v $F$ prochází tak pouze v lineární mapování $E$ v $F$ . Jakákoli volba základny $B$ z $E$ proto poskytuje bijekci . ${\ displaystyle \ operatorname {L} (E, F) \ až F ^ {B}, f \ mapsto f_ {| B}}$

Jádro a image

Pokud je $f$ lineární mapa od $E$ do $F$ , pak jeho jádro , označené $Ker ( f )$ , a jeho obrázek , označené $Im ( f )$ , jsou definovány:

{\ displaystyle \ operatorname {Ker} (f) = \ {x \ v E \ mid f (x) = 0 \} = f ^ {- 1} (\ {0 \})}

;

{\ displaystyle \ operatorname {Im} (f) = \ {f (x) \ střední x \ v E \} = f (E)}

$Ker$ pochází z Kerna , překlad „jádra“ do němčiny . $Jsem převzat$ z obrázku .

Lineární mapa je injektivní právě tehdy, je-li její jádro nulovým prostorem (jedná se o obecnou vlastnost skupinových morfismů ). Aplikace (lineární nebo ne) je surjektivní právě tehdy, pokud se její obraz rovná celé její cílové sadě .

Všechny $Ker ( f )$ je lineární podprostor $E$ , a množina $Im ( f )$ je lineární podprostor $F$ . Obecněji,

inverzní obraz o $f$ části vektoru podprostoru z $F$ je vektor podprostor $E$ ;
přímý obraz o $f$ vektorového podprostoru $E$ je podprostor $F$ .

Pro generování rodiny $( e i ) i \in I$ z $E$ , $Im ( f )$ je podprostor $F$ generované rodiny $( f ( E i )) i \in I$ .

Kvocientu vektorový prostor $F / Im ( f ), se$ nazývá cokernel o $f$ .

Tyto faktorizace věta uvádí, že $f$ indukuje izomorfizmus kvocientu $E / Ker ( f )$ na snímku $Im ( f )$ .

Všechno výše uvedené zůstává platné, pokud je „vektorový prostor“ nahrazen „modulem“ a „tělo“ výrazem „prsten“. Následující text je na druhé straně specifický pro vektorové prostory v těle:

V konečné dimenzi

Pokud $E$ je konečných rozměrů a v případě, že pole $K$ je komutativní, potom rozměr $L ( E , F ),$ je dána vztahem: ${\ displaystyle \ dim (\ operatorname {L} (E, F)) = \ dim (E) \ krát \ dim (F)}$ .Zejména pokud $F$ je také konečný rozměrný, pak $L ( E , F )$ je také konečný .
Pokud jsou $E$ a $F$ konečné prostorové vektorové prostory (resp. Volné moduly konečného typu) vpravo nad polem (resp. Prstencem) $K$ , lineární mapa $f$ od $E$ do $F$ je reprezentována maticí v bázích fixovaných v $E$ a $F$ . Tato matice reprezentace je vhodné pro výpočet jádro a obraz z $f$ .

Dva izomorfní prostory mající stejnou dimenzi , z výše uvedeného izomorfismu vyplývá následující vztah (platný pro $E$ a $F$ konečných nebo nekonečných dimenzí), nazývaný věta o hodnosti :

{\ displaystyle \ dim (\ operatorname {Ker} (f)) + \ dim (\ operatorname {Im} (f)) = \ dim (E)}

Rozměr $Im ( f )$ je také nazýván hodnost of $f$ a je označován $RG ( f )$ .

Poznámky

Termín operátor je preferován mezi funkčními prostory .
Lay 2004 , str. 77 a následující.
Mnoho autorů (např. Bourbaki, Histoire , s. 164) si vyhrazuje použití „ transformace “ na ty, které jsou bijektivní .
Bourbaki, Algebra , str. A-II-4, rovnice (5).
Artin, Algebra , str. 109, vzorec (1.2).
Artin, Algebra , kap. 4.
Bourbaki, Algebra , str. A-II-4, definice 4.
Bourbaki, Algebra , str. A-II-5.
Artin, Algebra , str. 87, definice (2.13).
Pro demonstraci viz například § „Obrázek základny“ lekce o lineárních aplikacích na Wikiversity .
Artin, Algebra , str. 110, vzorec (1.5).
(in) Jeff Miller „ Nejstarší známá použití některých slov matematiky “ : „ Použití jádra v algebře Zdá se, že nesouvisí s používáním Ict v integrálních rovnicích a Fourierově analýze. OED poskytuje následující citát z Pontrjaginových topologických skupin i. 11 (přeložil E. Lehmer 1946) „Soubor všech prvků skupiny G, které vstupují do identity skupiny G * za homomorfismu g, se nazývá jádro tohoto homomorfismu.“ " .
Bourbaki, Algebra , str. A-II-7.
Pro ukázku viz například § „Vlastnosti L ( E , F )“ lekce na lineárních mapách na Wikiversity .

Reference

(en) Michael Artin , Algebra ,: Prentice Hall Inc.,1991( ISBN 0-13-004763-5 ).
Nicolas Bourbaki , Algebra: kapitoly 1 až 3 , Springer,2007( ISBN 978-3-540-33849-9 ).
Nicolas Bourbaki , Prvky dějin matematiky , Springer,2007[ detail vydání ].
David C. Lay , Lineární algebra: Teorie, cvičení a aplikace , De Boeck,2004, 576 s. ( ISBN 978-2-8041-4408-1 , číst online ).