Duální základna

V lineární algebře je dvojí báze je báze na duální prostor E * jednoho vektorového prostoru E o rozměru konečný, zkonstruované ze základnové E . Připomíná se, že E * je prostor lineárních forem na E . Snížení kvadratických forem je příklad, ve kterém je dvojitá báze zasáhnout. Rovněž zasahují do přenosu geometrických struktur skutečného nebo komplexního vektorového prostoru v jeho duálním prostoru, který zasahuje zejména do diferenciální geometrie .

Definice

Nebo E vektorový prostor konečné dimenze n přes pole K . Nechť B = ( e 1 , ..., e n ) musí být základ z E , tj. Jakýkoliv vektor, v z E může být napsán jednoznačně jako lineární kombinace vektorů e i  :

v=∑i=1nei∗(v)ei,{\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{*}(v)e_{i}\,,}

kde je skalár (prvek pole K ). Aplikace je lineární forma na E . Mapu lze také definovat jako jedinečný lineární tvar na E uspokojující pro celé číslo j mezi 1 a n , kde je Kroneckerův symbol (který má hodnotu 1 nebo 0 v závislosti na tom, zda jsou i a j stejné nebo ne). ei∗(v){\displaystyle e_{i}^{*}(v)}v↦ei∗(v){\displaystyle v\mapsto e_{i}^{*}(v)}ei∗{\displaystyle e_{i}^{*}}ei∗(ej)=δij{\displaystyle e_{i}^{*}(e_{j})=\delta _{ij}}δij{\displaystyle \delta _{ij}}

Rodina ( e 1 *,…, e n *) tvoří základ dvojího prostoru E *, který se nazývá dvojitý základ B a je označen jako B *.

Kromě toho je napsána libovolná lineární forma u na E :

u=∑i=1nu(ei)ei∗.{\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}u(e_{i})e_{i}^{*}.}       (1)

Tato konstrukce stačí k tomu, aby ukázala, že konečný dimenzionální vektorový prostor a jeho duální mají stejnou dimenzi.

Dvojitá základna dvojí základny

Existuje kanonickou injekční I, na z E do jeho bidual E ** (dvojí z dvojí E ), dané vyhodnocení lineárních forem v vektorů: ι(v)(λ)=λ(v).{\displaystyle \iota (v)(\lambda )=\lambda (v).} Protože E , E * a E ** mají stejnou konečnou dimenzi, je tato injektivní lineární mapa izomorfismem . Další způsob, jak prokázat svou surjektivitu, je následující. Nechť ( e 1 **,…, e n **) je dvojí základ ( e 1 *,…, e n *) . Výsledkem rovnice (1) je:

ι(ei)=ei∗∗{\displaystyle \iota (e_{i})=e_{i}^{**}}.

Mluvíme také o přirozené injekci v návaznosti na zakládající článek teorie kategorií od Samuela Eilenberga a Saunderse MacLana  : autoři skutečně vycházejí z pozorování, že mezi vektorovým prostorem a jeho duálním prostorem jistě existuje izomorfismus, ale že tento izomorfismus nelze formulovat nezávisle na konkrétní základně, kterou si člověk zvolí; i když existuje, ve vektorovém prostoru v jeho dvojním pojmu „přirozená“ lineární injekce v tom smyslu, že je nezávislý na adoptované základně.

Změna základen

Nechť B a C jsou dvě báze E a B * a C * jejich dvojité báze. Pokud P je přechodová matice z B do C , pak z B * do C * je t P -1 .

Skutečně, tím, že zaznamenáme C = ( f 1 , ..., f n ) a C * = ( f 1 *, ..., f n *) , rovnice (1) dává

ej∗=∑i=1nej∗(fi)fi∗=∑i=1nPj,ifi∗,{\displaystyle e_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}e_{j}^{*}(f_{i})f_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{n}P_{j,i}f_{i}^{*},}

což znamená, že přechod matice C * do B * je přemístit z P . U B * až C * je to naopak . r

Aplikace

Gaussova redukce

Je Q kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru E . Pak existuje základ ( e 1 , ..., e n ) o E , tak, že Q=l12+⋯+lp2−lp+12−⋯−lp+q2{\displaystyle Q=l_{1}^{2}+\dots +l_{p}^{2}-l_{p+1}^{2}-\dots -l_{p+q}^{2}} kde ( l 1 ,…, l n ) je dvojí základ ( e 1 ,…, e n ) .

Vektorový prostor definovaný p + q rovnice l i = 0, pro i ≤ p + q je jádro Q . Celá čísla p a q není závislá na volbě základ e , a dvojice ( p , q ), se nazývá podpis Q .

Odesílatelé Ménard

Nechť B = ( x 1 , ..., x n ) je základem vektorového prostoru E dimenze n a nechť ( x 1 *, ..., x n *) je jeho duálním základem. Definujeme rodinu endomorfismů zvaných Ménardovy vysílače od: (eij)1≤i,j≤n{\displaystyle (e_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}

eij:E→Ex↦xj∗(x)xi{\displaystyle e_{ij}:{\begin{array}{lcl}E&\rightarrow &E\\x&\mapsto &x_{j}^{*}(x)x_{i}\end{array}}}

Tato rodina tvoří základ prostoru L ( E ) lineárních map z E do E a matice e i j v bázi B je jednotka matice  (v) E i , j, která má 1 až průsečík i - tý řádek s j- tého sloupce a 0 všude jinde.

Obecněji ( srov. Tenzorový součin dvou lineárních map ), ze základny duálu vektorového prostoru E konečné dimenze a základny prostoru F libovolné dimenze, podobně postavíme základní prostor lineárních map E do F .

Poznámky a odkazy

1. (in) Serge Lang , Algebra , 1965 [ detailní vydání ] , s. 89, Věta 5.
2. (in) „Obecná teorie přirozených ekvivalencí“, Trans. Hořký. Matematika. Soc. , let. 58, 1945, str.  231-294 [ číst online ] , s. 23  234 .
3. Jean-Marie Monier, Algebra a Geometry PC-PSI-PT , Dunod ,2008( číst online ) , s.  18.