Hodnocení | |
---|---|
Reciproční | |
Derivát | |
Primitiv |
Sada definic | |
---|---|
Sada obrázků |
Nulová hodnota | 1 |
---|---|
Limit v + ∞ | + ∞ |
Limit v −∞ | 0 |
Asymptoty |
---|
V matematiky je exponenciální funkce je funkce poznamenat, exp , která se rovná jeho vlastní derivát , a má hodnotu 1 v 0 . Používá se k modelování jevů, u nichž konstantní rozdíl na proměnné vede ke stálému poměru na obrázcích . Tyto jevy jsou v takzvaném „exponenciálním“ růstu.
Označíme e hodnotu této funkce v 1 . Toto číslo e, které se rovná přibližně 2,71828, se nazývá základ exponenciální funkce a umožňuje další zápis exponenciální funkce:
.Exponenciální funkce je jediná spojitá funkce na ℝ, která transformuje součet na součin a která nabývá hodnoty e v 1 . Toto je speciální případ funkcí tohoto typu, který se nazývá base a exponenciály .
Lze jej určit jako limit běhu nebo pomocí celé série .
Jedná se o reciproční bijection z funkce přirozeného logaritmu .
Tyto různé definice umožňují rozšířit definici exponenciální funkce na funkce od ℂ do ℂ * nebo dokonce do složitějších prostorů a poté se používají v Riemannově geometrii , v teorii Lieových grup nebo dokonce při studiu Banachových algeber .
Elementární aplikace reálných nebo komplexních exponenciálních funkcí se týkají řešení diferenciálních rovnic , implementace Fourierovy teorie ... ale oblasti aplikací exponenciálních funkcí jsou extrémně rozsáhlé: studium růstu skupin atd.
Exponenciální funkcí někdy také říkáme jakoukoli funkci, jejíž výraz má tvar f ( x ) = A e λ x .
Existuje několik možných vstupních bodů pro definici exponenciální funkce: podle vlastnosti jejího derivátu (derivace se rovná funkci), podle jeho algebraických vlastností (transformuje součet na produkt) nebo jeho rozšířením do řady .
U diferenciální rovniceDefinice - Exponenciální funkci nazýváme jedinečné řešení odvozitelné funkce následujícího Cauchyova problému :
.Tato vlastnost bytí jeho vlastní derivace má za následek vlastnost v dílčí tangentě křivky představující exp . Sub-tangenta, to znamená vzdálenost, která odděluje skutečné x od úsečky průsečíku tečny ke křivce v bodě úsečky x s osou x , je konstantní a rovná se 1. My dále ukazují, že f nikdy nezmizí.
DemonstraceDefinice - Funkce exp , od ℝ do ℝ*
+, je reciproční bijekce funkce přirozeného logaritmu .
Funkce přirozeného logaritmu, která neustále striktně roste na své sadě definic a nekonečných limitů na hranici, definuje bijekci ℝ*
+na ℝ. Jeho konverzace je funkce f definovaná na ℝ splňující f (0) = 1, protože ln (1) = 0 . Funkce ln je diferencovatelná a nenulová derivace, její reciproční je diferencovatelná funkce a pro každé skutečné x ,
Algebraická vlastnost exponenciální funkce (nenulová spojitá funkce transformující součet na produkt) je sdílena sadou funkcí, které také nesou název exponenciálních funkcí. Jsou zcela určeny, jakmile bude uvedena jejich hodnota na 1, což musí být přísně pozitivní reálná hodnota. Funkce, která nabývá hodnoty a v 1, se pak nazývá základní exponenciální funkce a . Můžeme tedy uvažovat, že exponenciální funkce je základní e exponenciální funkce .
Definice - Funkce exp je jedinečná spojitá funkce ℝ v ℝ * transformující součet na produkt, tj. Ověřující funkční rovnici
a převzetí hodnoty e v 1.
Určíme exp ( x ) na celá čísla a poté na racionálních a poté na irrationals kontinuita. Z této definice (viz podrobný článek) dokazujeme, že funkce exp je nejen spojitá, ale diferencovatelná a rovná se její vlastní derivaci. Zjistili jsme tedy výše uvedenou definici exponenciálu pomocí diferenciální rovnice .
Je možné překonat potřebu znát e předem následující charakteristiky:
Charakterizace - Funkce exp je jedinečná funkce odvozitelná od ℝ v ℝ * transformující součet na produkt, tj. Ověřující funkční rovnici
a jehož derivát má hodnotu 1 ku 0.
Inspiruje nás rovnost pro všechna celá čísla q > 0 a p zavést nový zápis pro funkci exp : pro všechna reálná x .
Všechny základní exponenciální funkce a jsou vyjádřeny pomocí funkce exp a funkce přirozeného logaritmu :
SérieA konečně, za použití metody hledání řešení analytické lineární diferenciální rovnice, jeden může definovat exponenciální exp nebo x ↦ e x jako součet z celé řady o poloměru konvergence nekonečna:
,kde n ! je faktoriál z n .
DemonstraceJakákoli formální série kontrolovány Formální řešení je tedy to znamená Test poměru ukazuje, že přidružená výkonová řada má poloměr nekonečna konvergence. Funkci celého tedy definován tak stanoví, o omezení , v reálné funkce řešení problému Cauchyho. Jediným řešením tohoto problému je tedy reálná analytická a koeficienty své Taylorovy řady na 0 ° C se 1 / n !
Je to také tato řada, kterou získáme aplikací důkazu Cauchyho-Lipschitzovy věty , tj. Konstrukcí řešení exp diferenciální rovnice jako limitu posloupnosti funkcí ( u n ) definované u 0 = 1 a
Z celé této řady odvodíme jedno z mnoha zobecněných expanzí spojitých zlomků exponenciální funkce:
Podrobná analýza výrazů této povahy je uvedena v článku „ Padé aproximant exponenciální funkce “.
Funkce exp nabere v 1 hodnotu e , která se rovná přibližně 2,718 a je transcendentním číslem .
První ze čtyř ekvivalentních definic výše ukazuje, že funkce exp je třídy C ∞ . Poslední ukazuje, že je dokonce analytický.
Každá z prvních tří ukazuje, že funkce exp se přísně zvyšuje z ℝ na ℝ * + a to
Přesněji - viz článek „ Neurčení tvaru ∞ / ∞ “ - funkce exp má tendenci k + ∞ rychleji než jakákoli polynomiální funkce, má- li její proměnná tendenci k + ∞ , to znamená, že
bez ohledu na přirozené číslo n . Změnou proměnné odvodíme
Růst exp lze odvodit z pozitivity jeho derivátového exp . Stejně tak, protože jeho druhá derivace exp je přísně pozitivní, funkce exp je přísně konvexní .
Exponenciální funkce of na ℝ * + je reciproční bijekce funkce přirozeného logaritmu : pro všechny reálné y > 0 a x ,
ln (e x ) = x , e ln ( y ) = y a e x = y ⇔ x = ln ( y ) .Exponenciální funkce transformuje součty na produkty , tj. Pro všechna reálná čísla x a y , e x + y = e x e y .
Dedukujeme to pro všechna reálná xa všechna racionální b , (e x ) b = e bx .
Pro iracionální b může tato rovnice zaujmout místo definice, tj. Jedním ze způsobů, jak definovat základní exponenciál a, je nastavit pro všechny oblasti a > 0 a b : a b = e b ln ( a ) .
Můžeme definovat komplexní funkci exp dvěma způsoby:
Exponenciální funkce pak splňuje následující důležité vlastnosti:
Tyto vzorce jsou zobrazeny pomocí trigonometrických vzorců nebo pomocí pojmu Cauchyho součin dvou řad, v závislosti na definici exponenciálu.
Je to periodická funkce , periody čistého imaginárního čísla 2iπ . Tato periodicita, která má za následek neinjekčnost , rozšiřuje přirozený logaritmus na množinu komplexních čísel a přirozeně dává mnohoformátovou funkci z ↦ ln ( z ) , která se nazývá komplexní logaritmus .
Obecnější exponenciál: pro všechna komplexní čísla z a w , je pak také mnohostranná funkce. Výše uvedené vlastnosti exponenciálů zůstávají pravdivé za podmínky, že jsou správně interpretovány jako vztahy mezi multiformními funkcemi.
Komplexní exponenciální funkce transformuje čistou imaginární osu na jednotkový kruh . To je funkce, kterou používáme, abychom ukázali, že skutečná čára je zakrytím jednotkového kruhu.
ZastoupeníJestli můžeme reprezentovat graficky, v prostoru, funkce , , a
Definice exponenciálu jako celočíselné řady umožňuje definovat exponenciál čtvercové matice M jako
.Maticové exponenciály jsou užitečné při řešení lineárních diferenciálních rovnic .
Exponenciál diferenciálního operátoruMůžeme také definovat exponenciál diferenciálního operátoru D pomocí:
.Například když kde a je konstanta:
,takže pro jakoukoli analytickou funkci f ( x ) máme
,avatar Taylorova vzorce .
Exponenciální ve skupině aditivDefinice exponenciálu jako spojitého morfismu z aditivní skupiny do multiplikativní skupiny umožňuje definovat exponenciální funkci od ℝ do jakékoli topologické skupiny . Obecněji, pro topologické skupiny G se nazývá podskupinu nastavení žádný morfismus kontinuální ℝ → G . Některá díla mohou nahradit předpoklad kontinuity měřitelností.
Exponenciální v diferenciálním potrubíDefinice exponenciální funkce jako řešení diferenciální rovnice zobecňuje pro Lieovy skupiny a geodetiku v Riemannovských varietách
Exponenciální v Banachově algebřeDefinice exponenciálu jako celočíselné řady umožňuje definovat jej na Banachových algebrách (viz článek Funkční počet ).
Hlavní význam exponenciálních funkcí ve vědě vychází ze skutečnosti, že jsou úměrné jejich vlastní derivaci. být skutečný nebo komplexní číslo, my máme:
nebo přesněji, funkce je jediným řešením funkční rovnice
Pokud se veličina zvyšuje nebo snižuje, v závislosti na čase a rychlosti „jejího průběhu“ je úměrná „její velikosti“, jako je to v případě populačního růstu, kontinuálního úroku sloučeniny nebo radioaktivního rozpadu, pak lze tuto velikost vyjádřit jako konstanta krát exponenciální funkce času.
Základní exponenciální funkcí e je řešení elementární diferenciální rovnice:
a často se s ním setkáváme při řešení diferenciálních rovnic. Zejména lze řešení lineární diferenciální rovnice psát pomocí exponenciálních funkcí. Nacházejí se také v řešeních diferenciálních rovnic Schrödingera, Laplaceova nebo v diferenciální rovnici jednoduchého harmonického pohybu .
Exponenciální funkce má v trigonometrii velké využití. Tyto vzorce Euler (který ukazuje z definice exp (i z ) = cos z + i sin Z ) nám dává přímé spojení mezi kosinu a sinusových funkcí reálné či nikoli, a komplexní exponenciální funkce.
Tyto vzorce, aby bylo možné nalézt většinu trigonometrických identit , zejména
z nichž můžeme najít téměř všechny ostatní.
Exponenciální funkce je také snadný způsob, jak linearizovat výrazy ve tvaru cos p x sin q x : viz článek „Linearizace“ článku o trigonometrických identitách .
Exponenciální funkce také najde své použití, když chceme dokázat Moivreův vzorec .
Z exponenciální funkce můžeme definovat hyperbolické trigonometrické funkce, které definují hyperbolické funkce hyperbolický kosinus , cosh a hyperbolický sinus , sinh , které se částečně používají v rozlišení diferenciálních rovnic druhého řádu.
Exponenciální funkce, kde t je reálné číslo a k relativní celé číslo, se používají ve Fourierově teorii. Umožňují vyjádřit jakoukoli periodickou funkci jako součet trigonometrických funkcí, jedná se o Fourierovu řadu . Umožňují také definovat Fourierovu transformaci funkce sčítatelného čtverce.
Funkce sigmoid pro jakýkoli reálný je zvláště užitečná v neuronových sítích pro výpočet gradientu chyby.