Číslo hyperkomplexu

V matematice se termín hyperkomplexní číslo používá k označení prvků algebry, které jsou rozšířené nebo jdou nad rámec aritmetiky komplexních čísel . Čísla v hyperkomplexu měla velký počet příznivců, včetně Hermanna Hankela , Georga Frobeniuse , Eduard Study a Élie Cartana . Studium konkrétních hyperkomplexních systémů vede k jejich reprezentaci pomocí lineární algebry .

Čísla hyperkomplexů se používají v kvantové fyzice k výpočtu pravděpodobnosti události s přihlédnutím k rotaci částice. Při zanedbání rotace postačuje „normální“ komplexní číslo .

Tento článek poskytuje přehled různých systémů, včetně některých typů, které průkopníci před moderním vnímáním z lineární algebry neuvažovali. Podrobnosti, odkazy a zdroje najdete na odkazu spojeném s konkrétním číslem.

Nejběžnější použití termínu hyperkomplexní číslo pravděpodobně odkazuje na algebraické systémy s „dimenzionálností“ (osami), jako jsou ty, které jsou obsaženy v následujícím seznamu. Pro ostatní (stejně jako počty transfinite jsou čísla superréels na čísla hyperreal , podle čísla surrealistické ), viz „  číslo  “.

Distribuční čísla se skutečnou osou n nereálnými osami

Přístupnou a moderní definici čísla hyperkomplexu uvádějí Kantor a Solodovnikov (viz úplný odkaz níže). Jsou to prvky skutečné jednotné algebry (ne nutně asociativní ) dimenze n + 1> 0.

Z geometrického hlediska proto tato algebra obsahuje skutečnou osu a alespoň jednu nerealistickou osu. Jeho prvky jsou lineární kombinace , s reálnými koeficienty , z kanonického základu ( ). (na0,...,nane){\ displaystyle (a_ {0}, ..., a_ {n}) \,} {1,i1,...,ine}{\ displaystyle \ {1, i_ {1}, ..., i_ {n} \} \,}ne∈{1,2,3 ...}{\ displaystyle n \ in \ {1,2,3 ... \} \,}

Pokud je to možné, základna jako . Algebry níže mohou mít všechny takový základ. ik2∈{-1,0,+1}{\ displaystyle i_ {k} ^ {2} \ in \ {- 1,0, + 1 \} \,}

Quaternion, octonion a další: stavba Cayley-Dickson

Tyto čísla hyperkomplexní se získají zobecnit další výstavbu komplexních čísel z reálných čísel podle konstrukce Cayley-Dickson .

To umožňuje rozšířit komplexní čísla do algeber dimenze ( ). Nejznámější jsou algebra čtveřic (dimenze 4), algebra oktonionů (dimenze 8) a sedenionů (dimenze 16). 2ne{\ displaystyle 2 ^ {n} \,}ne∈{2,3,4,...}{\ displaystyle n \ in \ {2,3,4, ... \} \,}

Zvýšení rozměru představí algebraické komplikace: násobení čtveřic není komutativní , znásobením octonions je navíc non- asociativní a normou na sedenions není multiplikativní .

V definici Kantora a Solodovnikova tato čísla odpovídají antikomutativním základům typu (s ). im2=-1{\ displaystyle i_ {m} ^ {2} = - 1 \,}m∈{1,...,2ne-1}{\ displaystyle m \ in \ {1, ..., 2 ^ {n} -1 \} \,}

Vzhledem k tomu, že čtveřice a oktoniony nabízejí podobnou (multiplikativní) normu délkám čtyř- a osmrozměrných euklidovských vektorových prostorů , mohou být spojeny s body v některých euklidovských prostorech vyšších dimenzí. Na druhé straně mimo octoniony se tato analogie rozpadá, protože tyto konstrukce již nejsou standardizovány.

Můžeme vytvořit nekonečno algeber stejného typu aplikací konstrukce Cayley - Dickson na algebru nižšího řádu. Je třeba poznamenat některé zajímavé vlastnosti:

• v každé pozici se dimenze algebry zdvojnásobí;
• na každé pozici se ztratí další vlastnost.

ne	2 n	příjmení	omezit
0	1	nemovitý	-
1	2	komplex	ztráta srovnání
2	4	čtveřice	ztráta komutativity
3	8	octonions	ztráta asociativity
4	16	sedimenty	ztráta alternativity a integrity
n> 4	2ne{\ displaystyle 2 ^ {n}}	2neiÓnes{\ displaystyle 2 ^ {n} ionty}	stejné vlastnosti jako sedimenty

Po oktonionech obsahují algebry dělitele nuly ( x · y = 0 již neznamená x = 0 nebo y = 0), což znamená, že jejich násobení již neudržuje normy.

Duální číslo

Tyto duální čísla jsou báze s prvkem nilpotentní . {1,ε}{\ displaystyle \ {1, \ varepsilon \} \,} ε2=0{\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 0 \,}

Byla nasazena komplexní algebra

V nasazené komplexní čísla jsou databází s non-real kořene 1. Obsahují prvky idempotents a nulové dělitele . {1,i}{\ displaystyle \ {1, i \} \,}i2=+1{\ displaystyle i ^ {2} = + 1 \,} 12(1±i){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (1 \ pm i) \,} (1+i)(1-i)=0{\ displaystyle (1 + i) (1-i) = 0 \,}

Modifikovaná konstrukce Cayley-Dickson vede ke kokaternionům (rozmístěným čtveřicím, tj. Základnám s , ) a rozmístěným oktonionům (tj. Základnám s , ). Coaternions obsahují nilpotentní prvky a mají nekomutativní násobení. Nasazené octoniony jsou také neasociativní. {1,i1,i2,i3}{\ displaystyle \ {1, i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} \} \,}i12=i22=+1{\ displaystyle i_ {1} ^ {2} = i_ {2} ^ {2} = + 1 \,}i32=-1{\ displaystyle i_ {3} ^ {2} = - 1 \,}{1,i1,...,i7}{\ displaystyle \ {1, i_ {1}, ..., i_ {7} \} \,}i12=i22=i32=-1{\ displaystyle i_ {1} ^ {2} = i_ {2} ^ {2} = i_ {3} ^ {2} = - 1 \,}i42=...=i72=+1{\ displaystyle i_ {4} ^ {2} = ... = i_ {7} ^ {2} = + 1 \,}

Všechny nerealistické základny rozmístěných komplexních algeber jsou antimutativní.

Cliffordova algebra

Clifford algebra je jednotná, asociativní algebra přes reálné, komplexní nebo kvaternionové vektorových prostorů s kvadratické formy . Zatímco Cayley-Dickson a složité konstrukce nasazené s osmi nebo více dimenzemi již nejsou asociativní pro násobení, Cliffordovy algebry si zachovávají asociativitu pro jakoukoli dimenzi.

Tessarine, biquaternion a kónický sedenion

Zatímco pro Cayley-Dicksonovy konstrukty, rozšířenou komplexní algebru a Cliffordovu algebru jsou všechny nereálné základy antikomutativní, použití komutativní imaginární báze vede k čtyřrozměrným tessarines a biquaternions .

Tessarines nabízejí komutativní a asociativní násobení, biquaterniony jsou asociativní, ale ne komutativní, a kuželovité sedimenty jsou neasociativní a nekomutativní. Všechny obsahují idempotentní prvky a dělitele nuly, všechny jsou nestandardizované, ale nabízejí multiplikativní modul . Bikvaterniony obsahují nilpotentní prvky.

S výjimkou jejich idempotentních prvků, dělitelé nula a nilpotentní prvků, aritmetický z těchto čísel je uzavřena pro násobení, pro dělení, pro umocňování a logaritmy (viz kónické čtveřice , které jsou izomorfní s tessarines).

Hyperbolický čtveřice Macfarlane

Čtveřice hyperbolické of Alexander Macfarlane  (ne) mají non-asociativní a non-komutativní násobení. Přesto, že poskytují strukturu prstence bohatší než Minkowski prostoru ze speciální relativity . Všechny báze jsou kořeny 1, tedy pro . ine2=+1{\ displaystyle i_ {n} ^ {2} = + 1 \,}ne∈{1,2,3}{\ displaystyle n \ in \ {1,2,3 \} \,}

Multikomplexní číslo

Tyto čísla multicomplexes jsou algebry pro n komutativních rozměrů vytvořených prvkem , který splňuje . Tyto čísla bicomplexes jsou zvláštní případ, oni jsou isomorphic k tessarines a jsou také obsaženy v definici „čísla hyperkomplexní“ od Kantora a Solodovnikov. E{\ displaystyle e \,}Ene=-1{\ displaystyle e ^ {n} = - 1 \,}

Dějiny

Quaternions vynalezl Ir William Rowan Hamilton v roce 1843 . Hamilton hledal způsoby, jak rozšířit komplexní čísla (která lze považovat za body v rovině) na vyšší dimenze euklidovského prostoru (ℝ n ). Pro dimenzi tři to nedokázal, ale dimenze čtyři vytvořila čtveřice.

Tento objev vedl k upuštění od výlučného používání komutativních zákonů, což je radikální krok vpřed. Tyto vektory a matice bylo stále součástí budoucnosti, ale Hamilton nějak zavedení vektoru produkt a skalární součin vektorů.

Hamilton popsal čtveřici jako kvadruplet reálných čísel, přičemž první prvek je „skalární“ a zbývající tři prvky tvoří „vektor“ nebo „čistě imaginární“.

Na konci roku 1843 , John Graves a Arthur Cayley nezávisle objevili osm trojrozměrný algebry: se octonions . To není asociativní .

Reference

• (fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „  Hypercomplex number  “ ( viz seznam autorů ) .
• (en) IL Kantor a AS Solodovnikov, Hypercomplex Numbers: An Elementary Introduction to Algebras , c. 1989, New York: Springer-Verlag, přeložil do angličtiny A. Shenitzer (originál v ruštině).
• (ru) IL Kantor a AS Solodovnikov, Гиперкомплексные числа [„Hypercomplex numbers“], Moskva, Nauka ,1973, 144  s. ( číst online [DjVu] )

Podívejte se také

Související články

• nasazeno komplexní číslo
• Čtveřice
  • Tessarine
  • Coquaternion
  • Hyperbolický čtveřice
• Octonion
  • Biquaternion
  • Octonion nasazen
• Sedenion
• Zvědavým použitím hyperkomplexů je tvorba Mandelbulb .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">