Langevinova rovnice

Langevinova rovnice (1908) je rovnice stochastické pro Brownova pohybu .

${\ displaystyle \ underbrace {m {\ frac {d ^ {2} x (t)} {d ^ {2} t}}} _ {\ text {setrvačná síla}} = \ underbrace {-6 \ pi \ eta R {\ frac {dx (t)} {dt}}} _ {\ text {Stokes force}} + \ underbrace {- {\ frac {F} {L}} x (t)} _ {\ text {externí force}} + \ underbrace {f_ {a} (t)} _ {\ text {random force}}}$

Langevinova teorie Brownova pohybu

V Langevinově teoretickém přístupu je velká Brownova částice o hmotnosti m , o které se předpokládá, že je v okamžiku t animována rychlostí , vystavena dvěma velmi odlišným silám: ${\ displaystyle {\ vec {v}} (t)}$

třecí síla kapaliny typu , kde k je kladná konstanta. V případě sférické částice o poloměru a je tato konstanta napsána výslovně: (Stokesův zákon). ${\ displaystyle {\ vec {f}} \, = \, - \, k \, {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle k = 6 \ pi \ eta a}$
zaznamenala se doplňková síla, která syntetizuje výslednice náhodných šoků molekul obklopující tekutiny. Langevin o této dodatečné síle píše, že „ je lhostejná a negativní lhostejně a její velikost je taková, že udržuje rozrušení částice, bez níž by se nakonec viskózní odpor zastavil “. Volal XXI th století takové vynutit bílý šum Gaussova. ${\ displaystyle {\ vec {\ eta}} (t)}$

Langevinova rovnice

Aplikujeme základní princip Newtonovy dynamiky, který vede k Langevinově stochastické rovnici:

${\ displaystyle m \, {\ frac {d {\ vec {v}} (t)} {dt}} \ = \ - \, k \, {\ vec {v}} (t) \ + \ {\ vec {\ eta}} (t)}$

Langevinovo řešení (1908)

Přepis Langevinovy rovnice

Zvažte bodový součin této rovnice s vektorem polohy (vynecháním časové závislosti zjednodušte notace): ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$

${\ displaystyle m \ {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d ^ {2} {\ vec {r}}} {dt ^ {2}}} \ = \ - \, k \ {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} \ + \ {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ eta}}}$

Na jedné straně si všimněme, že:

${\ displaystyle {\ frac {d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}} \ = \ {\ frac {d ({\ vec {r}} \ cdot {\ vec { r}})} {dt}} \ = \ 2 \ {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}}}$

${\ displaystyle \ Longrightarrow \ quad {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ {\ frac {d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}}}$

a na druhé straně, že:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ = \ {\ frac {d ~} {dt}} \ \ left [{\ frac {d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}} \ right] \ = \ {\ frac {d ~} {dt}} \ \ left [ \, 2 \ {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} \, \ doprava] \ = \ 2 \, || {\ vec {v}} || ^ {2} \ + \ 2 \ {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d ^ {2} {\ vec {r}}} {dt ^ {2}}}}$

${\ displaystyle \ Longrightarrow \ quad {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {d ^ {2} {\ vec {r}}} {dt ^ {2}}} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ {\ frac {d ^ {2} || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ - \ || {\ vec {v}} || ^ {2}}$

Nahrazením těchto výrazů v bodovém součinu získaném z Langevinovy rovnice získáme novou formu diferenciální rovnice:

${\ displaystyle m \ {\ frac {d ^ {2} || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ = \ - \, k \ {\ frac { d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}} \ + \ 2 \, m \ || {\ vec {v}} || ^ {2} \ + \ 2 \, {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ eta}}}$

Průměr nad bílým šumem Gaussian

Pak vezmeme průměr z předchozí rovnice nad všemi možnými realizacemi gaussovského bílého šumu. On přichází :

{\ displaystyle m \ \ left \ langle \ {\ frac {d ^ {2} || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ \ right \ rangle \ = \ - \, k \ \ left \ langle \ {\ frac {d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}} \ \ right \ rangle \ + \ 2 \, m \ \ left \ langle \ || {\ vec {v}} || ^ {2} \ \ right \ rangle \ + \ 2 \, \ left \ langle \ {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ eta }} \ \ doprava \ rangle}

U Langevina předpokládáme, že střední hodnota termínu šumu je nula:

{\ displaystyle \ left \ langle \ {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ eta}} \ \ right \ rangle \ = \ 0}

Kromě toho se proces průměrování šumu přepíná s časovou derivací:

{\ displaystyle \ left \ langle \ {\ frac {d || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt}} \ \ right \ rangle \ = \ {\ frac {d ~} {dt }} \ \ left \ langle \ || {\ vec {r}} || ^ {2} \ \ right \ rangle \ quad \ mathrm {a} \ quad \ left \ langle \ {\ frac {d ^ {2 } || {\ vec {r}} || ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ \ right \ rangle \ = \ {\ frac {d ^ {2} ~} {dt ^ {2} }} \ \ left \ langle \ || {\ vec {r}} || ^ {2} \ \ right \ rangle}

což vede k diferenciální rovnici pro prostředky:

{\ displaystyle m \ {\ frac {d ^ {2} ~} {dt ^ {2}}} \ \ left \ langle \ || {\ vec {r}} || ^ {2} \ \ right \ rangle \ = \ - \, k \ {\ frac {d ~} {dt}} \ \ left \ langle \ || {\ vec {r}} || ^ {2} \ \ right \ rangle \ + \ 2 \ , m \ \ left \ langle \ || {\ vec {v}} || ^ {2} \ \ right \ rangle}

Poté se zeptáme:

{\ displaystyle u (t) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ {\ frac {d ~} {dt}} \ \ left \ langle \ || {\ vec {r}} (t) || ^ {2} \ \ right \ rangle}

takže diferenciální rovnici lze přepsat jednoduchou formou:

{\ displaystyle m \ {\ frac {du (t)} {dt}} \ = \ - \, k \ u (t) \ + \ m \ \ vlevo \ langle \ || {\ vec {v}} | | ^ {2} \ \ pravý \ rangle}

Energetická část

To dává odhad posledního funkčního rychlosti efektivní použití Ekvipartiční teorém energie ze statistických fyziky klasických. Pro pohyb částice v d- dimenzionálním prostoru dostaneme:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ m \ \ langle \ || {\ vec {v}} || ^ {2} \ \ rangle \ = \ {\ frac {d} {2}} \ k_ {B} \ T}$

kde je Boltzmannova konstanta a absolutní teplota v Kelvinech . Průměrnou tepelnou energii na částici lze přepsat: $k_ {B}$ $T$ $k_ {B} T$

${\ displaystyle k_ {B} \ T \ = \ {\ frac {R \, T} {{\ mathcal {N}} _ {A}}}}$

kde je ideální plynová konstanta a číslo Avogadro. Diferenciální rovnice je tedy konečně uvedena ve tvaru: $R$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {A}}$

${\ displaystyle m \ {\ frac {du (t)} {dt}} \ + \ k \ u (t) \ = \ {\ frac {d \, RT} {{\ mathcal {N}} _ {A }}}}$

Tato lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty s druhým členem připouští přesné řešení:

${\ displaystyle u (t) \ = \ {\ frac {d \, RT} {k \, {\ mathcal {N}} _ {A}}} \ + \ \ lambda \ \ mathrm {e} ^ {- \, t / \ tau}}$

kde je konstanta a charakteristická relaxační doba, která se rovná: $\ lambda$ $\ tau$

${\ displaystyle \ tau \ = \ {\ frac {m} {k}} \ = \ {\ frac {m} {6 \ pi \ eta a}} \ \ simeq}$ 10 -8 sekund

za podmínek obvyklých experimentálních pozorování Brownova pohybu.

Einsteinův difúzní koeficient

Za obvyklých experimentálních podmínek jsme vždy v režimu, kde:, a pak pozorujeme: $t \ gg \ tau$

${\ displaystyle u (t) \ \ sim \ {\ frac {d \, RT} {k \, {\ mathcal {N}} _ {A}}} \ = \ {\ frac {d \, RT} { 6 \ pi \ eta a \, {\ mathcal {N}} _ {A}}}}$

S ohledem na definici máme: $u (t)$

${\ displaystyle u (t) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ {\ frac {d ~} {dt}} \ \ langle \ || {\ vec {r}} (t) || ^ {2} \ \ rangle \ \ sim \ {\ frac {d \, RT} {6 \ pi \ eta a \, {\ mathcal {N}} _ {A}}}}$

který dává integrací s ohledem na čas t klasický difúzní zákon:

${\ displaystyle \ langle \ || {\ vec {r}} (t) || ^ {2} \ \ rangle \ \ sim \ {\ frac {2d \, RT} {6 \ pi \ eta a \, { \ mathcal {N}} _ {A}}} \ t \ = \ 2d \ D \ t}$

kde je difuzní koeficient napsán výslovně: $D$

${\ displaystyle D \ = \ {\ frac {RT} {6 \ pi \ eta a \, {\ mathcal {N}} _ {A}}}}$

Najdeme výsledek Einsteina (1905).

Moderní řešení

Souvislost s distribucí společnosti Boltzmann

Zajímavým prvkem Langevinovy rovnice je, že umožňuje vytvořit souvislost mezi tepelným šumem částice tlumené v potenciálu a Boltzmannovou statistikou .

Demonstrace

Vezměme si jednoduchý případ částice pohybující se v jedné dimenzi s trajektorií v potenciálu . Pohyb se pak řídí Langevinovou rovnicí: $x (t)$ $V (x)$

{\ displaystyle \ gamma {\ frac {dx} {dt}} = - {\ frac {\ částečné V (x)} {\ částečné x}} + \ zeta (t),}

kde je tepelný bílý šum charakterizovaný a je konstanta tlumení. Chtěli bychom určit rozložení polohy částice pro stacionární režim, kde je uvedena pravděpodobnost nalezení částice v čase . Pro dosažení tohoto rozdělení, zavedeme žádný testovací funkce a my zájem průměr této funkce na jiném provedení cesty v ustáleném stavu, to znamená, že, na konečnou hodnotu: . ${\ displaystyle \ zeta (t)}$ ${\ displaystyle \ langle \ zeta (t) \ zeta (t ') \ rangle = 2 \ gamma kT \ delta (t-t')}$ $\ gama$ ${\ displaystyle p (x) = \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} p (x, t)}$ ${\ displaystyle p (x, t)}$ $X$ $t$ $f (x)$ ${\ displaystyle \ langle f (x) \ rangle (t) = \ int f (x) p (x, t) \, \ mathrm {d} x}$

Unášením s ohledem na čas získáváme:

{\ displaystyle {\ frac {d \ langle f (x (t)) \ rangle} {dt}} = \ levý \ langle {\ frac {dx} {dt}} f '(x (t)) \ pravý \ rangle = \ left \ langle - {\ frac {1} {\ gamma}} {\ frac {\ částečné V} {\ částečné x}} f '(x (t)) \ right \ rangle + \ left \ langle { \ frac {1} {\ gamma}} \ zeta (t) f '(x (t)) \ pravý \ rangle.}

Je zřejmé, že ve stacionárním režimu je časová derivace nulová. Kromě toho můžeme použít pravidlo Stratonovitch k odstranění závislosti v posledním semestru. Získáváme tak: $\ zeta$

{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ gamma}} \ levý \ langle {\ frac {\ částečný V} {\ částečný x}} f '(x) \ pravý \ rangle + {\ frac {kT} { \ gamma}} \ langle f '' (x) \ rangle = 0,}

Potom použijeme definici průměru u různých realizací, abychom odhalili rozdělení, které nás zajímá $p (x)$

{\ displaystyle \ int \ left (- {\ frac {\ částečné V} {\ částečné x}} f '(x) p (x) + {kT} f' '(x) p (x) \ vpravo) \ mathrm {d} x = \ int \ left (- {\ frac {\ částečné V} {\ částečné x}} f '(x) p (x) + {kT} f' (x) p '(x) \ vpravo) \ mathrm {d} x = 0,}

kde jsme použili integraci po částech . Protože tento vzorec platí pro všechny, musíme mít: $F$

{\ displaystyle - {\ frac {\ částečné V} {\ částečné x}} p (x) + {kT} p '(x) = 0.}

To nám umožňuje najít Boltzmannovu distribuci: ${\ displaystyle p (x) \ propto \ exp {\ frac {V (x)} {kT}}.}$

Související články

Bibliografie

Paul Langevin; Pokud jde o teorii Brownova pohybu , Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences 146 (1908), 530-532. Přečtěte si online na Gallica .
Bertrand Duplantier; Brownův pohyb , (2005), in: Poincaré Einstein Seminar , 1905-2005 , (Paříž,8. dubna 2005). Číst online .

Poznámky a odkazy

V moderních termínech je gaussovský bílý šum stochastický proces s nulovou střední hodnotou: ${\ displaystyle \ langle \, {\ vec {\ eta}} (t) \, \ rangle \ = \ {\ vec {0}}}$ a v průběhu času zcela dekorativní ; jeho dvoubodová korelační funkce skutečně stojí za to: ${\ displaystyle \ langle \, \ eta _ {i} (t_ {1}) \ \ eta _ {j} (t_ {2}) \, \ rangle \ = \ \ gama \ \ delta _ {ij} \ \ delta (t_ {1} -t_ {2})}$ V tomto vzorci je kladná konstanta, symbol Kronecker a distribuce Dirac , který je identicky nulová, když v těchto dvou vzorcích, průměr byl převzat všech možných realizací Gaussova bílého šumu . $\ Gama$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ delta (t)}$ ${\ displaystyle t_ {1} \ neq t_ {2}}$
Langevin píše:
"Průměrná hodnota tohoto termínu je zjevně nulová kvůli nesrovnalostem doplňkových akcí ." " ${\ displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {\ eta}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ eta}}}$

Ve skutečnosti to není tak zřejmé; přečtěte si například článek Bertranda Duplantiera, strana 176, poznámka 52. Tento autor o něco později ve stejném článku uvádí moderní odvození řešení stochastické rovnice Langevina (odst. 1.5.3, s. 177).
Energetická ekvipartiční věta klasické statistické mechaniky říká, že střední hodnota energie spojená s kvadratickým stupněm volnosti mechanického systému v tepelné rovnováze s termostatem při teplotě se rovná . Pro bodovou částici, která není vystavena žádné síle v d- dimenzionálním prostoru , existují přesně d kvadratické stupně volnosti , které odpovídají d příspěvkům k kinetické energii:, proto zde použitý výsledek. $T$ ${\ displaystyle k_ {B} T / 2}$ ${\ displaystyle mv_ {1} ^ {2} / 2, \, mv_ {2} ^ {2} / 2, \, \ tečky, mv_ {d} ^ {2} / 2}$