Projektor (statistická fyzika)

Ve statistické fyzice je projektor operátor, který z apriorního oddělení proměnných stochastické funkce do několika podprostorů umožňuje vytvořit nový fyzický vztah zahrnující pouze vybrané proměnné. Tento oddíl je založen například na charakteristických časech asociovaných s každou ze sad proměnných v klasické statistické fyzice.

Projektor v klasické statistické fyzice

Dovolme být množinou N částic popsaných zobecněnými souřadnicemi 3N, jejichž vývoj je řízen stochastickým Markovianským procesem charakterizovaným distribuční funkcí . Tato funkce se řídí hlavní rovnicí ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {i}}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {q} _ {i}, t)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} f (\ mathbf {q} _ {i}, t) = \ gama f}

kde je lineární operátor, kterým může být například operátor Liouville . $\ Gama$

Chceme rozdělit všechny tyto proměnné do sad „pomalých“ a „rychlých“ proměnných , přičemž tento pojem je podřízen apriorní znalosti systému. Pomalé proměnné lze například definovat jako ty, které odpovídají dlouhým vlnovým délkám vývoje ve Fourierově řadě časové realizace studovaného procesu. ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {L} = (\ mathbf {q} _ {1} ... \ mathbf {q} _ {m})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {R} = (\ mathbf {q} _ {m + 1} ... \ mathbf {q} _ {N})}$

Použitý operátor, uvedený , je formálně dán . V praxi to napíšeme $\ mathcal {P}$ ${\ displaystyle g (\ mathbf {q} _ {L}, \ mathbf {q} _ {R}, t) = {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q}, t)}$

{\ displaystyle g (\ mathbf {q} _ {L}, \ mathbf {q} _ {R}, t) = g_ {L} (\ mathbf {q} _ {L}, t) \ phi (\ mathbf {q} _ {R})}

nebo

${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {q} _ {R})}$ je rozdělení dané a priori a relevantní pro uvažovaný problém, s nulovým průměrem, například bílý šum ,
${\ displaystyle g_ {L} (\ mathbf {q} _ {L}, t) = \ int \ psi (\ mathbf {q} _ {R}) f (\ mathbf {q} _ {L}, \ mathbf {q} _ {R}, t) \ mathrm {d} \ mathbf {q} _ {R}}$ je daná funkce, která splňuje následující rovnost (bodový součin)

{\ displaystyle \ int \ psi (\ mathbf {q} _ {R}) \ phi (\ mathbf {q} _ {R}) \ mathrm {d} \ mathbf {q} _ {R} = 1}

Pokud můžeme oddělit dvě kategorie proměnných z hlediska charakteristických časů, ukážeme, že jde o projektor v matematickém smyslu a že můžeme promítnout hlavní rovnici v pomalé doméně. Získáváme dlouho (když je zapomenuta počáteční podmínka) $\ mathcal {P}$

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} \, g (\ mathbf {q} _ {L}, t) = \ gama _ {L} \, g}

Demonstrace

Je snadné ověřit, že operátor kontroluje vlastnost idempotence

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {2} f = {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} f) = {\ mathcal {P}} f}

Jedná se tedy o projektor .

Vezměme si nyní doplňkovou operátora tak, že ${\ mathcal {Q}}$

{\ displaystyle f = {\ mathcal {P}} f + {\ mathcal {Q}} f}

Předběžným vynášením zleva potom doprava to vidíme $\ mathcal {P}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} {\ mathcal {Q}} = {\ mathcal {Q}} {\ mathcal {P}} = 0}$
Vynásobením nalevo a zohledněním předchozích vztahů vidíme, že : jak by si člověk dokázal představit, je to projektor. ${\ mathcal {Q}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} ^ {2} f = {\ mathcal {Q}} f}$ ${\ mathcal {Q}}$

Použijeme-li tyto projektory na hlavní rovnici, přijde to

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} \ mathbf {q} _ {i} f = \ mathbf {P} \ gama \ mathbf {P} f + \ mathbf {P} \ gama \ mathbf {Q} f}

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} \ mathbf {Q} f = \ mathbf {Q} \ gama \ mathbf {Q} f + \ mathbf {Q} \ gama \ mathbf {P} f }

Tuto druhou rovnici integrujeme s přihlédnutím k počáteční podmínce

{\ displaystyle f (\ mathbf {q} _ {i}, t_ {0}) = f_ {0} (\ mathbf {q} _ {i}) = {\ mathcal {P}} f_ {0} + { \ mathcal {Q}} f_ {0}}

on přichází

{\ displaystyle {\ mathcal {Q}} f (\ mathbf {q} _ {i}, t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ {i}, \ tau) \ mathrm {d} \ tau + e ^ {( t-t_ {0}) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} f_ {0}}

Poté extrahujeme řešení první rovnice

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ {i}, t) = {\ mathcal {P}} \ gama {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ { i}, t) + {\ mathcal {P}} \ Gamma \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma {\ mathcal {P}} f (\ mathbf {q} _ {i}, \ tau) \ mathrm {d} \ tau + {\ mathcal {P}} \ Gamma e ^ {(t -t_ {0}) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} f_ {0}}

Nahrazením s a dělením ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} f}$ $G$ $\ phi$

{\ displaystyle g (\ mathbf {q} _ {L}, t) = {\ mathcal {P}} \ gama g (\ mathbf {q} _ {L}, t) + \ podprsenka {{\ mathcal {P }} \ Gamma \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma g (\ mathbf { q} _ {L}, \ tau) \ mathrm {d} \ tau} _ {\ text {story term}} + \ underbrace {{\ mathcal {P}} \ Gamma e ^ {(t-t_ {0} ) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} f_ {0}} _ {\ text {počáteční podmínka}}}

Po dostatečně dlouhou dobu lze ignorovat poslední člen, kterým je tlumení počátečního stavu.

Pokud je charakteristický čas paměťového termínu dostatečně nízký ve srovnání s variací g, lze historický termín také nahradit

{\ displaystyle \ left [{\ mathcal {P}} \ Gamma \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {(t- \ tau) {\ mathcal {Q}} \ Gamma} {\ mathcal {Q}} \ Gamma \ mathrm {d} \ tau \ right] g (\ mathbf {q} _ {L}, t) = \ Lambda g (\ mathbf {q} _ {L}, t)}

Rovnice na g se stane

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné g} {\ částečné t}} = {\ mathcal {P}} (\ Gamma + \ Lambda) g = \ Gamma _ {L} \, g}

Příklad Brownova pohybu

Brownův pohyb je definován jako stochastické pohybu malou velikostí částic a hmotnosti m v tekutině. Je výsledkem pohybu molekul, které interagují navzájem a s částicemi. Může to být reprezentováno Langevinovou rovnicí, což je stochastická rovnice vztahující se k rychlosti náhodných proměnných u a poloze x, zjevně spojená s rychlostí par . Umístíme se do dimenze prostoru. ${\ displaystyle u = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} t}} = - \ gamma u + {\ frac {F} {m}}}

γ charakterizuje průměrné brzdění v důsledku otřesů s okolními molekulami a je náhodnou silou s nulovým průměrem, která je výsledkem největších otřesů, předpokládá se, že je reprezentována gaussovským bílým šumem, protože je výsledkem velkého počtu otřesů (důsledek centrální limitní věta ). Pokud navíc předpokládáme, že částice je v termodynamické rovnováze s její lázní $F$

{\ displaystyle m \ langle u ^ {2} \ rangle = kT}

Můžeme také reprezentovat Brownův pohyb distribuční funkcí f (x, u, t), která dává pravděpodobnost nalezení částice v intervalu [x, x + dx], [u, u + du] v okamžiku t. Pomocí Itōova lematu můžeme napsat rovnici f ve formě Fokker-Planckovy rovnice zvané Kramersova rovnice

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} f (x, u, t) = \ podprsenka {-u \, {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}}} _ {\ Lambda _ {1}} f + \ underbrace {\ gamma {\ frac {\ částečné} {\ částečné u}} \ vlevo (u + {\ frac {kT} {m}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné u}} \ vpravo)} _ {\ Lambda _ {0}} f = \ Lambda f}

Stacionárním řešením této rovnice je Maxwellovo rozdělení

{\ displaystyle f_ {eq} \, (x, u, t) = f_ {eq} \, (u) = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi kT}}} e ^ {- {\ frac {mu ^ {2}} {2kT}}}}

Definujeme projektor tak, že $\ mathcal {P}$

{\ displaystyle g (x, u, t) = {\ mathcal {P}} f (x, u, t) = f_ {eq} (u) \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f ( x, u, t) \ mathrm {d} u = f_ {eq} (u) \, {\ overline {g}} (x, t)}

Funkce se má ve středu pomalu měnit: pokusíme se ji oddělit . ${\ displaystyle {\ overline {g}} (x, t)}$ ${\ displaystyle f_ {eq} (u)}$

Projektor spokojen $\ mathcal {P}$

{\ displaystyle \ Lambda _ {0} {\ mathcal {P}} = 0 \ ,, \; \; \; \; \; {\ mathcal {P}} \ Lambda _ {0} = 0 \ ,, \ ; \; \; \; \; {\ mathcal {P}} \ Lambda _ {1} {\ mathcal {P}} f = 0}

Použitím obecné techniky popsané v rámečku výše získáme

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} {\ overline {g}} (x, t) = {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \ vlevo ({\ frac {kT } {m \ gamma}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \ pravé) {\ overline {g}} (x, t) + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Lambda _ {1} e ^ {{\ mathcal {P}} \ Lambda (t-t_ {0})} {\ mathcal {P}} f_ {0} \ mathrm {d} u}

Druhý člen tohoto výrazu, vycházející z počáteční podmínky f 0 , zmizí po dlouhou dobu a pro prostorově-časovou variaci média zůstane jednoduchá difúzní rovnice.

Poznámky a odkazy

Poznámky

Reference

(in) Hazime Mori , „ Transport, Collective Motion and Brownian Motion “ , Progress of Theoretical Physics , sv. 33, n o 3,1965, str. 423-454 ( číst online )
(in) HA Kramers , „ Brownův pohyb v poli síly a distribuční model chemických reakcí “ , Physica , sv. 7, n O 4,1940, str. 284-304

Referenční knihy

Monique Jeanblanc a Thomas Simon, „ Prvky stochastického počtu “
Noëlle Pottier , Statistická fyzika mimo rovnováhu: lineární nevratné procesy , Les Ulis / Paříž, EDP Sciences / CNRS Éditions ,2007, 524 s. ( ISBN 978-2-86883-934-3 , číst online )
(en) Ryōgo Kubo , Morikazu Toda a Natsuki Hashitsume, Statistická fyzika II: Nerovnovážná statistická mechanika , Springer Verlag ,1991, 279 s. ( ISBN 978-3-642-58244-8 , číst online )
Jérôme Beugnon, „ Kvantová statistická fyzika “ ,2016
(en) Dimitrii Zubarev , Vladimir Morozov a Gerd Röpke , Statistická mechanika nerovnovážných procesů: Relaxační a hydrodynamické procesy , Academie Verlag,1997