Mason-Weaverova rovnice
Mason-Weaver rovnice je rovnice popisující sedimentaci a šíření z rozpuštěných látek pod působením rovnoměrné síly , typicky gravitačním poli .
Matematické vyjádření
Za předpokladu, že gravitace je pole orientované ve směru z , lze napsat Mason-Weaverovu rovnici
∂vs.∂t=D∂2vs.∂z2+sG∂vs.∂z{\ displaystyle {\ frac {\ částečný c} {\ částečný t}} = D {\ frac {\ částečný ^ {2} c} {\ částečný z ^ {2}}} + sg {\ frac {\ částečný c } {\ částečné z}}}kde t je čas, C je lineární koncentrace rozpuštěné látky (mol na jednotku délky v z směru ) a parametry D , to a g příslušně představují difuzní koeficient pro rozpuštěné látky , koeficient sedimentace a zrychlení na závažnosti (předpokládaná konstanta).
Mason-Weaverova rovnice je doplněna okrajovými podmínkami . Pokud se předpokládá, že buňka je obdélníková a zarovnaná do kartézského souřadnicového systému; my máme
D∂vs.∂z+sGvs.=0{\ displaystyle D {\ frac {\ částečné c} {\ částečné z}} + sgc = 0}v horní části a v dolní části buňky označeny příslušně Z je a Z b . Tyto okrajové podmínky odpovídají skutečnosti, že je fyzicky nemožné, aby rozpuštěná látka procházela stěnami buňky, a proto by tam měl být tok nulový. Obdobně musí být průtok na bočních stěnách nulový. V důsledku toho celkové množství rozpuštěných látek obsažených v buňce
NEbrzy=∫zbznadz vs.(z,t){\ displaystyle N _ {\ text {tot}} = \ int _ {z_ {b}} ^ {z_ {a}} dz \ c (z, t)}je uchována, tzn .
dNEbrzy/dt=0{\ displaystyle dN _ {\ text {tot}} / dt = 0}
Získání Mason-Weaverovy rovnice
Míra sedimentace
Síla vyvíjená na částici v nestlačitelné tekutině je dána rovnicí Basset - Boussinesq - Oseen :
mpdPROTIdt=-3πμdpPROTI⏟táhnout (Stokes)-mF2dPROTIdt⏟přidaná hmota-32dp2πρFμ∫-∞t1t-τdPROTIdτdτ⏟Bassetova síla+(mp-mF)G⏟Archimédův tah{\ displaystyle m_ {p} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} = - \ underbrace {3 \ pi \ mu d_ {p} \ mathbf {V} } _ {\ text {drag (Stokes)}} - \ underbrace {{\ frac {m_ {f}} {2}} \, {\ frac {{\ text {d}} \ mathbf {V}} {{ \ text {d}} t}}} _ {\ text {added mass}} - \ underbrace {{\ frac {3} {2}} d_ {p} ^ {2} {\ sqrt {\ pi \ rho _ {f} \ mu}} \ int _ {- \ infty} ^ {t} {\ frac {1} {\ sqrt {t- \ tau}}} \, {\ frac {{\ text {d}} \ mathbf {V}} {{\ text {d}} \ tau}} \, {\ text {d}} \ tau} _ {\ text {Bassetova síla}} + \ underbrace {(m_ {p} -m_ { f}) \ mathbf {g}} _ {\ text {Archimédův tah}}}s
dp{\ displaystyle d_ {p}} |
průměr částic,
|
mF=ρFρpmp{\ displaystyle m_ {f} = {\ frac {\ rho _ {f}} {\ rho _ {p}}} m_ {p}} |
hmotnost vytlačené tekutiny,
|
ρF,ρp{\ displaystyle \ rho _ {f}, \ rho _ {p}} |
hustoty tekutin a částic
|
μ{\ displaystyle \ mu} |
dynamická viskozita kapaliny,
|
G{\ displaystyle \ mathbf {g}} |
zrychlovací pole, kterému je médium vystaveno.
|
Zde je charakteristický čas, který částice trvá, než dosáhne své mezní rychlosti dané rovnováhou sil na ni vyvíjených, velmi nízký (u molekulárních látek obvykle 10 ns). Budeme tedy předpokládat, že tato rovnováha je vždy pravdivá. Omezení rychlosti odvodíme takto :
dPROTIdt=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} = 0}
PROTIl=mp-mF3πμdpG{\ displaystyle \ mathbf {V} _ {l} = {\ frac {m_ {p} -m_ {f}} {3 \ pi \ mu d_ {p}}} \ mathbf {g}}Sedimentační koeficient je definován:
s=PROTIlG{\ displaystyle s = {\ frac {V_ {l}} {g}}}Tok je dán vztahem:
J=-D∇vs.-PROTIlvs.=-D∇vs.-svs.G{\ displaystyle \ mathbf {J} = -D \ nabla c- \ mathbf {V} _ {l} \, c = -D \ nabla cs \, c \, \ mathbf {g}}První člen popisuje tok v důsledku difúze hmoty pod vlivem koncentračního gradientu , zatímco druhý člen popisuje konvektivní tok v důsledku průměrné rychlosti částic.
PROTIl{\ displaystyle V_ {l}}
Konzervační rovnice
Můžeme definovat zákon zachování pro rozsáhlou proměnnou poháněnou rychlostí a zahrnující termín objemové produkce pomocí:
ϕ{\ displaystyle \ phi}PROTI{\ displaystyle \ mathbf {V}}S{\ displaystyle S}
∂ϕ∂t+∇⋅(ϕPROTI)=S{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné t}} + \ nabla \ cdot (\ phi \ mathbf {V}) = S}V našem případě , a .
ϕ=vs.{\ displaystyle \ phi = c}PROTI=Jvs.{\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ frac {\ mathbf {J}} {c}}}S=0{\ displaystyle S = 0}
Nahrazením toku jeho výrazem získáme Mason-Weaverovu rovnici:
∂vs.∂t=D∇2vs.+s∇⋅(vs.G){\ displaystyle {\ frac {\ částečné c} {\ částečné t}} = D \ nabla ^ {2} c + s \ nabla \ cdot (\ mathbf {c \, g})}Nechť v dimenzi prostoru z zarovnaného s g předpokládanou konstantu:
∂vs.∂t=D∂2vs.∂z2+sG∂vs.∂z{\ displaystyle {\ frac {\ částečné c} {\ částečné t}} = D {\ frac {\ částečné ^ {2} c} {\ částečné z ^ {2}}} + s \, g {\ frac { \ částečný c} {\ částečný z}}}
Bezrozměrná Mason-Weaverova rovnice
Parametry D , s a g určují charakteristickou délkuz0{\ displaystyle z_ {0}}
z0 =dEF DsG{\ displaystyle z_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {D} {sg}}}a charakteristický čas t0{\ displaystyle t_ {0}}
t0 =dEF Ds2G2{\ displaystyle t_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {D} {s ^ {2} g ^ {2}}}}Definováním bezrozměrných veličin a se Mason-Weaverova rovnice stává:
ζ =dEF z/z0{\ displaystyle \ zeta \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ z / z_ {0}}τ =dEF t/t0{\ displaystyle \ tau \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ t / t_ {0}}
∂vs.∂τ=∂2vs.∂ζ2+∂vs.∂ζ{\ displaystyle {\ frac {\ částečné c} {\ částečné \ tau}} = {\ frac {\ částečné ^ {2} c} {\ částečné \ zeta ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné c } {\ částečné \ zeta}}}s výhradou okrajových podmínek
∂vs.∂ζ+vs.=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné c} {\ částečné \ zeta}} + c = 0}v horní a dolní části buňky a
.
ζna{\ displaystyle \ zeta _ {a}}ζb{\ displaystyle \ zeta _ {b}}
Řešení Mason-Weaverovy rovnice
Tuto parciální diferenciální rovnici lze vyřešit metodou variabilní separace . Pózováním získáme dvě obyčejné diferenciální rovnice spojené konstantouvs.(ζ,τ) =dEF E-ζ/2T(τ)P(ζ){\ displaystyle c (\ zeta, \ tau) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ e ^ {- \ zeta / 2} T (\ tau) P (\ zeta)}β{\ displaystyle \ beta}
dTdτ+βT=0{\ displaystyle {\ frac {dT} {d \ tau}} + \ beta T = 0}d2Pdζ2+[β-14]P=0{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} P} {d \ zeta ^ {2}}} + \ left [\ beta - {\ frac {1} {4}} \ right] P = 0}kde možné hodnoty jsou definovány okrajovými podmínkami
β{\ displaystyle \ beta}
dPdζ+12P=0{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ zeta}} + {\ frac {1} {2}} P = 0}na horních a dolních hranic a v tomto pořadí. Protože rovnice v T připouští řešení, kde je konstanta, řešení rovnice Mason-Weaver se redukuje na nalezení funkce .
ζna{\ displaystyle \ zeta _ {a}}ζb{\ displaystyle \ zeta _ {b}}T(τ)=T0E-βτ{\ displaystyle T (\ tau) = T_ {0} e ^ {- \ beta \ tau}}T0{\ displaystyle T_ {0}}P(ζ){\ displaystyle P (\ zeta)}
Obyčejné diferenciální rovnice pro P a jeho podmínky splňují kritéria Sturm-Liouvilleovy teorie, která vede k několika závěrům. Především existuje ortonormální soubor z vlastních funkcí , což je řešení diferenciální rovnice a splňuje okrajové podmínky. Kromě toho jsou odpovídající vlastní hodnoty jsou reálné, omezen inferiorly podle vlastní hodnoty a zvýšení asymptoticky jako kde je přirozené číslo k je číslo o vlastní funkce. V tomto případě je nejmenší vlastní hodnota nula, což odpovídá rovnováze. Nakonec vlastní funkce tvoří úplnou sadu ; jakékoli řešení pro lze vyjádřit jako lineární kombinaci vlastních funkcí
Pk(ζ){\ displaystyle P_ {k} (\ zeta)}βk{\ displaystyle \ beta _ {k}}β0{\ displaystyle \ beta _ {0}}k2{\ displaystyle k ^ {2}}vs.(ζ,τ){\ displaystyle c (\ zeta, \ tau)}
vs.(ζ,τ)=∑k=0∞vs.kPk(ζ)E-βkτ{\ displaystyle c (\ zeta, \ tau) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {k} P_ {k} (\ zeta) e ^ {- \ beta _ {k} \ tau} }kde jsou konstantní koeficienty určené z počátečního rozdělenívs.k{\ displaystyle c_ {k}}vs.(ζ,τ=0){\ displaystyle c (\ zeta, \ tau = 0)}
vs.k=∫ζnaζbdζ vs.(ζ,τ=0)Eζ/2Pk(ζ){\ displaystyle c_ {k} = \ int _ {\ zeta _ {a}} ^ {\ zeta _ {b}} d \ zeta \ c (\ zeta, \ tau = 0) e ^ {\ zeta / 2} P_ {k} (\ zeta)}Při rovnováze podle definice a rovnovážného rozdělení koncentrace je:
β=0{\ displaystyle \ beta = 0}
E-ζ/2P0(ζ)=BE-ζ=BE-mbGz/kBT{\ displaystyle e ^ {- \ zeta / 2} P_ {0} (\ zeta) = Be ^ {- \ zeta} = Be ^ {- m_ {b} gz / k_ {B} T}}což je v souladu s distribucí společnosti Boltzmann .
Funkce jsou řešením diferenciálních rovnic a splňují okrajové podmínky pro všechny hodnoty (které lze ověřit substitucí) a konstanta B může být určena z celkového množství rozpuštěné látky .
P0(ζ){\ displaystyle P_ {0} (\ zeta)}ζ{\ displaystyle \ zeta}
B=NEtÓt(sGD)(1E-ζb-E-ζna){\ displaystyle B = N_ {tot} \ left ({\ frac {sg} {D}} \ right) \ left ({\ frac {1} {e ^ {- \ zeta _ {b}} - e ^ { - \ zeta _ {a}}}} \ vpravo)}Při hledání vlastních čísel z rovnováhy postupujeme následovně. Rovnice v P má formu jednoduchého harmonického oscilátoru řešení kde
βk{\ displaystyle \ beta _ {k}}P(ζ)=Eiωkζ{\ displaystyle P (\ zeta) = e ^ {i \ omega _ {k} \ zeta}}
ωk=±βk-14{\ displaystyle \ omega _ {k} = \ pm {\ sqrt {\ beta _ {k} - {\ frac {1} {4}}}}}V závislosti na hodnotě , je buď čistě reálné ( ) nebo čistý imaginární ( ). Pouze čisté imaginární řešení může uspokojit okrajové podmínky, to znamená řešení v rovnováze. Následně jsou zapsány vlastní funkce z rovnováhy
βk{\ displaystyle \ beta _ {k}}ωk{\ displaystyle \ omega _ {k}}βk≥14{\ displaystyle \ beta _ {k} \ geq {\ frac {1} {4}}}βk<14{\ displaystyle \ beta _ {k} <{\ frac {1} {4}}}
P(ζ)=NAcosωkζ+Bhříchωkζ{\ displaystyle P (\ zeta) = A \ cos {\ omega _ {k} \ zeta} + B \ sin {\ omega _ {k} \ zeta}}kde A a B jsou konstanty a je přísně pozitivní realitou.
ω{\ displaystyle \ omega}
Zavedením amplitudy a fáze oscilátoru jako nových proměnných,
ρ{\ displaystyle \ rho} ϕ{\ displaystyle \ phi}
u =dEF ρhřích(ϕ) =dEF P{\ displaystyle u \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ rho \ sin (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ P}proti =dEF ρcos(ϕ) =dEF -1ω(dPdζ){\ displaystyle v \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ rho \ cos (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - {\ frac {1 } {\ omega}} \ vlevo ({\ frac {dP} {d \ zeta}} \ vpravo)}ρ =dEF u2+proti2{\ displaystyle \ rho \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ u ^ {2} + v ^ {2}}opálení(ϕ) =dEF proti/u{\ displaystyle \ tan (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ v / u}kvadratická rovnice v P se započítá do dvou rovnic prvního stupně
dρdζ=0{\ displaystyle {\ frac {d \ rho} {d \ zeta}} = 0}dϕdζ=ω{\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {d \ zeta}} = \ omega}Je pozoruhodné, že získané okrajové podmínky jsou nezávislé na extrémních bodech a také na nichρ{\ displaystyle \ rho}ζna{\ displaystyle \ zeta _ {a}}ζb{\ displaystyle \ zeta _ {b}}
opálení(ϕna)=opálení(ϕb)=12ωk{\ displaystyle \ tan (\ phi _ {a}) = \ tan (\ phi _ {b}) = {\ frac {1} {2 \ omega _ {k}}}}V důsledku toho získáme rovnici
ϕna-ϕb+kπ=kπ=∫ζbζnadζ dϕdζ=ωk(ζna-ζb){\ displaystyle \ phi _ {a} - \ phi _ {b} + k \ pi = k \ pi = \ int _ {\ zeta _ {b}} ^ {\ zeta _ {a}} d \ zeta \ { \ frac {d \ phi} {d \ zeta}} = \ omega _ {k} (\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b})}dávat přesné řešení pro frekvence ωk{\ displaystyle \ omega _ {k}}
ωk=kπζna-ζb{\ displaystyle \ omega _ {k} = {\ frac {k \ pi} {\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b}}}}Přirozené frekvence jsou kladné, protože se skládají ze sady harmonických a základní frekvence . Nakonec lze převzít vlastní číslaωk{\ displaystyle \ omega _ {k}}ζna>ζb{\ displaystyle \ zeta _ {a}> \ zeta _ {b}}ω1 =dEF π/(ζna-ζb){\ displaystyle \ omega _ {1} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ pi / (\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b})}βk{\ displaystyle \ beta _ {k}}ωk{\ displaystyle \ omega _ {k}}
βk=ωk2+14{\ displaystyle \ beta _ {k} = \ omega _ {k} ^ {2} + {\ frac {1} {4}}}Dohromady složky nerovnovážného roztoku odpovídají rozkladu Fourierovy řady počáteční distribuce koncentrace vážené pomocí . Každá komponenta Fourierovy snižuje, jak samostatně, jak , kde je uvedeno výše, pokud jde o Fourierovy řady frekvencí .
vs.(ζ,τ=0){\ displaystyle c (\ zeta, \ tau = 0)}Eζ/2{\ displaystyle e ^ {\ zeta / 2}}E-βkτ{\ displaystyle e ^ {- \ beta _ {k} \ tau}}βk{\ displaystyle \ beta _ {k}}ωk{\ displaystyle \ omega _ {k}}
Poznámky a odkazy
Reference
-
(in) Max Mason a Warren Weaver , „ Usazování malých částic v kapalině “ , Physical Review , roč. 23,1924, str. 412–426
-
(in) Martin R. Maxey a James J. Riley, „ Pohybová rovnice malé tuhé koule v nerovnoměrném toku “ , Fyzika tekutin A , sv. 26,1983, str. 883-889
Poznámky
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">