Fourierova řada

V matematické analýze jsou Fourierovy řady základním nástrojem při studiu periodických funkcí . Z tohoto konceptu se vyvinulo odvětví matematiky známé jako harmonická analýza .

Periodický signál libovolné frekvence a tvaru lze získat přidáním sinusoidů frekvence (základních) k sinusoidům, jejichž frekvence jsou celočíselnými násobky . Tyto signály mají vhodné amplitudy a fázové polohy. $F$ $F$ $F$

Stejně tak lze každou rekurentní vlnu rozdělit na součet sinusoidů (základní a harmonické).

Studium periodické funkce Fourierovou řadou zahrnuje dvě části:

analýza , která zahrnuje určení důsledku svých Fourierových koeficientů;
syntézy , který umožňuje vyhledání, v jistém smyslu, fungovat v důsledku svých koeficientů.

Kromě problému rozkladu stanoví teorie Fourierových řad korespondenci mezi periodickou funkcí a Fourierovými koeficienty. Fourierovu analýzu lze proto považovat za nový způsob popisu periodických funkcí. Operace, jako je derivace, se zapisují jednoduše vycházením z Fourierových koeficientů. Konstrukci řešení periodické funkce funkční rovnice lze redukovat na konstrukci odpovídajících Fourierových koeficientů.

Série Fourier představil Joseph Fourier v roce 1822, ale analytikům trvalo století, než identifikovali vhodné studijní nástroje: plně uspokojivou integrální teorii a první koncepty funkční analýzy . Jsou stále v současnosti předmětem aktivního výzkumu pro sebe, a daly podnět k několika nových poboček: harmonické analýzy , teorie signálu , vlnek , atd

Fourierovy řady se nacházejí v rozkladu periodických signálů, ve studii o elektrických proudů, mozkových vln , v zvuku syntézu , zpracování obrazu , atd

Předběžný

Nechť je funkce in a přísně pozitivní reálný. Říkáme, že je - periodické (nebo periodické ), pokud: $F$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$ $t$ $F$ $t$ $t$

\ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad f (x + t) = f (x).

Je-li menší období , to je nazýváno období (a jeho inverzní je volán na frekvenci ). $t$ $F$ $F$

Například pokud je přísně pozitivní reálná funkce , sinusové funkce : $T$

x \ mapsto \ cos (2 \ pi {\ tfrac nT} x) \ quad {{\ rm {et}}} \ quad x \ mapsto \ sin (2 \ pi {\ tfrac nT} x)

jsou periodické, periodické a a fortiori -periodické. $\ tfrac Tn$ $T$

Trigonometrické polynomy

Lineární kombinace těchto elementárních sinusových funkcí nese jméno trigonometrické polynomu a představuje rovněž -periodic funkci . Lze jej přepsat jako lineární kombinaci funkcí: $T$

{\ displaystyle x \ mapsto {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {n} {T}} x}}

Použití komplexních čísel a exponenciální funkce umožňuje zjednodušit notace díky Eulerovu vzorci :

{{\ rm {e}}} ^ {{{{{rm {i}}} y}} = \ cos y + {{\ rm {i}}} \ sin y.

Trigonometrický polynom je proto zapsán ve tvaru: $P$

P (x) = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{+ \ infty}} c_ {n} (P) {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i }}} 2 \ pi {\ tfrac nT} x}}

kde koeficienty jsou téměř všechny nulové a lze je získat vzorcem: ${\ displaystyle c_ {n} (P)}$

{\ frac {1} {T}} \ int _ {{- T / 2}} ^ {{T / 2}} P (t) {{\ rm {e}}} ^ {{- {{\ rm {i}}} 2 \ pi {\ tfrac nT} t}} \, {\ mathrm d} t = c_ {n} (P).

Demonstrace

Pokusíme se izolovat v definici trigonometrického polynomu:

{\ displaystyle P (x) = \ součet _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {k} (P) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {k} {T}} x}}

Je :

{\ displaystyle P (x) = \ součet _ {k = - \ infty} ^ {n-1} c_ {k} (P) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {k} {T}} x} + c_ {n} (P) e ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {n} {T}} x} + \ sum _ { k = n + 1} ^ {+ \ infty} c_ {k} (P) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {k} {T}} x} }

{\ displaystyle P (x) e ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {n} {T}} x} = \ součet _ {k = - \ infty} ^ {n-1} c_ {k} (P) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {kn} {T}} x} + c_ {n} (P) + \ sum _ {k = n + 1} ^ {+ \ infty} c_ {k} (P) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {kn} {T}} x }}

Integrací na : ${\ displaystyle [-T / 2, T / 2]}$

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} P (t) e ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {n} {T}} t} \ mathrm {d} t = \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ left [\ sum _ {k = - \ infty} ^ {n-1} c_ {k} (P) {\ rm { e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {kn} {T}} t} \ vpravo] \ mathrm {d} t + \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} c_ {n} (P) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ left [\ sum _ {k = n + 1} ^ {+ \ infty} c_ {k} (P) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {kn} {T}} t} \ right] \ mathrm {d} t}

Linearitou integrálu a podle předpokladů konvergence :

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} P (t) e ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {n} {T}} t} \ mathrm {d} t = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {n-1} \ left [c_ {k} (P) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} {\ rm { e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {kn} {T}} t} \ mathrm {d} t \ vpravo] + c_ {n} (P) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ mathrm {d} t + \ sum _ {k = n + 1} ^ {+ \ infty} \ left [c_ {k} (P) \ int _ {- T / 2 } ^ {T / 2} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {kn} {T}} t} \ mathrm {d} t \ vpravo]}

Protože integrály jsou nulové pro vše, co se liší od , zůstává: $k$ $ne$

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} P (t) e ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {n} {T}} t} \ mathrm {d} t = c_ {n} (P) \ krát T}

{\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} P (t) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {n} {T}} t} \ mathrm {d} t = c_ {n} (P)}

Princip Fourierovy řady

Základní myšlenkou zavedení Fourierovy řady je schopnost získat -periodickou funkci , například spojitou, jako součet sinusových funkcí: $T$

F(X)=∑ne=-∞+∞vs.ne(F)Ei2πneTX{\ displaystyle f (x) = \ součet _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (f) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {n} {T}} x}} ${\ displaystyle f (x) = \ součet _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (f) {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {n} {T}} x}}$

s koeficienty , tzv Fourierovy koeficienty z , definovaný: $c_n (f)$ $F$

vs.ne(F)=1T∫-T/2T/2F(t)E-i2πneTtdt.{\ displaystyle c_ {n} (f) = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {n} {T}} t} \ mathrm {d} t.} ${\ displaystyle c_ {n} (f) = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi {\ tfrac {n} {T}} t} \ mathrm {d} t.}$

Jedná se o nekonečný součet, tj. Limit konečného součtu, který odpovídá konceptu součtu řad .

Mnoho výpočtů se velmi jednoduše převádí na koeficienty trigonometrických polynomů, jako je derivační počet. Je možné je zobecnit na úroveň obecných Fourierových koeficientů.

Přísně vzato, vzorec rozkladu je obecně nesprávný. Je to příležitostně za dobrých předpokladů pravidelnosti týkající se . Alternativně mu můžeme dát smysl tím, že se umístíme do správných funkčních prostor . $F$

Historické aspekty

Fourierova řada představuje nejstarší odvětví harmonické analýzy , ale přesto zůstává živým polem s mnoha otevřenými otázkami. Studovat jejich vlastnosti se připojí v průběhu XIX th století, s vývojem teorie integrace .

Počátky

První úvahy o trigonometrických sériích se objevují kolem roku 1400 v Indii, přičemž Madhava , vůdce školy v Kerale . Na Západě, najdeme XVII tého století James Gregory , na začátku XVIII -tého století v Brook Taylor . Byla to jeho práce, Methodus Incrementorum Directa et Inversa , publikovaná v roce 1715 , která zahájila systematické studium vibrujících strun a šíření zvuku , hlavního výzkumného tématu po celé století.

V 50. letech 17. století došlo k polemice mezi d'Alembertem , Eulerem a Danielem Bernoulli o problému vibrujících strun. D'Alembert určuje vlnovou rovnici a její analytická řešení. Bernoulli je také získává ve formě rozkladu v trigonometrických řadách. Kontroverze se točí kolem potřeby sladit tyto úhly pohledu s otázkami pravidelnosti řešení. Podle J.-P. Kahane bude hrát hlavní roli v genezi Fourierovy série.

Bernoulli zavedl trigonometrické řady do problému vibrujících strun k překrytí elementárních řešení.

Joseph Fourier představil rovnici tepla v první disertační práci v roce 1807, kterou dokončil a představil v roce 1811 pro Grand Prix de Mathematics. Tyto rané práce, které byly analyticky kontroverzní, nebyly publikovány. V roce 1822 vystavuje Fourier sérii a transformaci Fouriera ve svém pojednání Analytická teorie tepla . Tvrdí, že funkce může být rozložena ve formě trigonometrické řady a že je snadné dokázat konvergenci této funkce. Dokonce považuje jakýkoli předpoklad kontinuity za zbytečný.

V roce 1829 , Dirichlet dal první správné prohlášení konvergence omezuje na částech spojitých periodických funkcí, které mají jen omezený počet extrémy. Dirichlet měl za to, že ostatní případy se k tomu vrátily; chybu opraví Jordan v roce 1881.

V roce 1848 , Henry Wilbraham (in) byl první poukázat na Gibbs jev , že se zaměří na chování Fourierovy řady v okolí bodů nespojitosti.

Společný postup Fourierových řad a skutečná analýza

Paměť trigonometrické řady z Bernharda Riemann publikoval v roce 1867 , je průlom. Autor odstraňuje hlavní překážku tím, že poprvé definuje uspokojivou teorii integrace . Ukazuje zejména, že Fourierovy koeficienty mají nulový limit v nekonečnu a je výsledkem konvergence známé jako Riemannova věta o summibility.

Georg Cantor publikoval řadu článků o trigonometrických sériích v letech 1870 až 1872 , kde demonstroval svou teorému o jedinečnosti . Cantor zpřesňuje své výsledky hledáním „sad jedinečnosti“, pro které jeho věta zůstává ověřena. To je počátek zavedení teorie množin .

V roce 1873 , du Bois-Reymond dal první příklad periodické spojité funkce, ve kterých diverguje Fourierovy řady v jednom bodě. Poslední čtvrtina XIX -tého století došlo relativně malý pokrok v oblasti Fourier série nebo skutečné analýzy obecně, zatímco komplexní analýza se rychle zvyšuje.

V poznámce z roku 1900 a v článku od roku 1904 , Fejér demonstruje uniformu konvergence teorém pomocí procesu Cesarò sumační (aritmetický průměr z dílčích Fourierových součtů). Především přináší nový princip: systematické spojení mezi regularizací pomocí „ jádra “ a procesem sumarizace Fourierovy řady.

Nové studijní nástroje

Henri Lebesgue dává teorii Fourierovy řady svůj definitivní rámec zavedením nové teorie integrace . V sérii publikací, která trvala od roku 1902 do roku 1910 , rozšířil věty svých předchůdců, zejména Riemannovu větu na hranici Fourierovy řady . Také to dokazuje několik nových vět o konvergenci. Většina jeho výsledků se objevuje v jeho lekcích o trigonometrické sérii publikovaných v roce 1906 .

V roce 1907 , Pierre Fatou prokázala rovnost Parseval v obecném rámci summable čtverečních funkcí. Ve stejném roce Frigyes Riesz a Ernst Sigismund Fischer , nezávisle, dokazují opak. Tyto výsledky se podílejí na vzniku nového oboru, funkční analýzy .

Od nynějška budou otázky konvergence ve funkčních prostorech zvažovány studiem vlastností sekvencí jader a přidružených operátorů. Hodně z výsledků prochází otázkami odhadu norem zvaných Lebesgueovy konstanty , které se stávají předmětem systematického studia.

Současně problém jednoduché konvergence Fourierovy řady vyvolal několik zvratů a publikací výsledků, které měly velký dopad a překvapily současníky. V roce 1926 , Andrei Kolmogorovův postavený příklad integrovatelné funkci, jejíž Fourierova řada diverguje všude. V roce 1966 , Lennart Carleson založena naopak, že Fourier série z několika summable čtverečních funkce konverguje téměř všude na tuto funkci. Studii dokončují další výsledky ( Kahane a Katznelson (de) 1966, Hunt (en) 1967). Výzkum se poté zaměřuje na konvergenci Fourierových řad s několika rozměry, dosud nedokonale známými.

Fourierovy koeficienty

Definice Fourierových koeficientů souvisí s periodickými funkcemi integrovatelnými ve smyslu Lebesgueova období. Pro periodickou funkci znamená bytí třídy $L p$ integrovatelnost. To zahrnuje zejména spojité nebo po částech periodické funkce. Znovu zde vezmeme notace z prvního odstavce.

Složité koeficienty

Tyto (komplex) Fourierovy koeficienty (pro ) je dána vztahem: $F$ $n \ in \ Z$

{\ displaystyle c_ {n} (f) = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} {\ frac {2n \ pi} {T}} t} \, \ mathrm {d} t}

Periodicitou integrandu lze tyto koeficienty vypočítat také uvažováním integrálu v libovolném segmentu délky . Koeficient je průměrná hodnota z . Zejména koeficient není nic jiného než střední hodnota . $T$ $c_n (f)$ ${\ displaystyle f (t) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} {\ frac {2n \ pi} {T}} t}}$ $c_0 (f)$ $F$

Pokud , nazveme hodnost harmonickou a označíme sinusovou frekvenční funkci získanou zohledněním Fourierových koeficientů indexu a daných vztahem: $n> 0$ $ne$ $H_n (f)$ ${\ displaystyle nF = {\ frac {n} {T}}}$ $ne$ $-ne$

{\ displaystyle H_ {n} (f): x \ mapsto c_ {n} (f) \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} {\ frac {2n \ pi} {T}} x} + c_ { -n} (f) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} {\ frac {2n \ pi} {T}} x}}

Fourierova řada`` je řada funkcí získaných součtem postupných harmonických až po hodnost , jmenovitě: $S_n (f)$ $ne$

{\ displaystyle S_ {n} (f) = c_ {0} (f) + \ součet _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} (f)}

nebo:

{\ displaystyle S_ {n} (f) (x) = c_ {0} (f) + \ součet _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} (f) (x) = \ součet _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} (f) \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} {\ frac {2k \ pi} {T}} x}}

Jednou z otázek, na které odpovídá Fourierova teorie, je určení režimu konvergence této řady ( bod konvergence , uniformní konvergence , kvadratická konvergence ...).

Skutečné koeficienty

První konvence

Pokud má funkce skutečné hodnoty, může být zajímavé zpracovat skutečné koeficienty, zejména v případě sudých nebo lichých funkcí. Definujeme tedy skutečné Fourierovy koeficienty : $F$ $F$

${\ displaystyle a_ {0} (f) = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \, \ mathrm {d} t = c_ {0} (f)}$ ;
${\ displaystyle b_ {0} (f) = 0}$ ;
pro : ; $n> 0$ ${\ displaystyle a_ {n} (f) = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ cos \ left (nt {\ frac { 2 \ pi} {T}} \ vpravo) \, \ mathrm {d} t}$
na : . $n> 0$ ${\ displaystyle b_ {n} (f) = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ sin \ left (nt {\ frac { 2 \ pi} {T}} \ vpravo) \, \ mathrm {d} t}$

I zde periodicita umožňuje změnu integračního intervalu.

Harmonické rank pak přepsat funkce: $ne$

{\ displaystyle H_ {n}: x \ mapsto a_ {n} (f) \ cos \ vlevo (nx {\ frac {2 \ pi} {T}} \ vpravo) + b_ {n} (f) \ sin \ left (nx {\ frac {2 \ pi} {T}} \ right) = \ chi _ {n} \ cos \ left (nx {\ frac {2 \ pi} {T}} + \ Phi _ {n} \ že jo)}

kde a pokud , a . ${\ displaystyle \ chi _ {n} ^ {2} = a_ {n} (f) ^ {2} + b_ {n} (f) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {n} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ cos (\ Phi _ {n}) = a_ {n} / \ chi _ {n}}$ ${\ displaystyle \ sin (\ Phi _ {n}) = - b_ {n} / \ chi _ {n}}$

Alternativní konvence

Lze také zvolit následující konvenci : $a_0$

{a_0 (f) = \ frac2T \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \, \ mathrm {d} t = 2c_0 (f)},

který již není interpretován jako průměrná hodnota, ale je jeho dvojnásobkem. Tato poslední konvence harmonizuje definice koeficientů, které pak všechny začínají . $2 / T.$

Systémy koeficientů pro pozitivní a pro relativní integer jsou spojeny lineárně následujícími vztahy pro : ${\ displaystyle (a_ {n}, b_ {n})}$ $ne$ $c_ {n}$ $ne$ $n> 0$

${\ displaystyle {\ begin {cases} a_ {n} (f) & = c_ {n} (f) + c _ {- n} (f) \\ b_ {n} (f) & = \ mathrm {i } (c_ {n} (f) -c _ {- n} (f)) \ end {cases}} \ qquad {\ begin {cases} c_ {n} (f) & = {\ frac {a_ {n } (f) - \ mathrm {i} \ cdot b_ {n} (f)} {2}} \\ c _ {- n} (f) & = {\ frac {a_ {n} (f) + \ mathrm {i} \ cdot b_ {n} (f)} {2}}. \ end {cases}}}$

Tyto identity zůstávají pravdivé podle konvence koeficientu en . $n = 0$ $2 / T.$

Parita funkce je vyjádřena na Fourierových koeficientech:

pokud je funkční pár , pak pro všechny ; v případě skutečné funkce se tato vlastnost stává pro všechno ; $F$ ${\ displaystyle c _ {- n} (f) = c_ {n} (f)}$ $ne$ $F$ ${\ displaystyle b_ {n} (f) = 0}$ $ne$
pokud je lichá funkce, pak pro všechny ; ve skutečném případě to funguje na všechno . $F$ ${\ displaystyle c _ {- n} (f) = - c_ {n} (f)}$ $ne$ ${\ displaystyle a_ {n} (f) = 0}$ $ne$

Fourierova řada je pak řada funkcí : $S_n (f)$

{\ displaystyle S_ {n} (f (x)) = {\ frac {1} {2}} a_ {0} (f) + \ součet _ {k = 1} ^ {n} \ vlevo (a_ {k } (f) \ cos \ left (kx {\ frac {2 \ pi} {T}} \ right) + b_ {k} (f) \ sin \ left (kx {\ frac {2 \ pi} {T} } \ dobře dobře)}

Jak se zvyšuje, řada přistupuje podle matematického významu, který je třeba specifikovat, k funkci (viz odstavec níže o rekonstrukci funkcí a poskytovaných animacích). $ne$ $S_ {n}$ $F$

Parseval rovnost

Pro po částech spojitou -periodickou funkci , nebo obecněji čtvercovou integrovatelnou v daném období, Parsevalova rovnost tvrdí konvergenci následující řady a identity: $T$

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | c_ {n} (f) | ^ {2} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} | f (t) | ^ {2} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} | f ( t) | ^ {2} \, \ mathrm {d} t = \ | f \ | ^ {2}}

Tento výsledek je ekvivalentní konvergenci střední kvadratické hodnoty odpovídající Fourierovy řady (viz níže).

Parsevalova rovnost implikuje zejména to, že Fourierovy koeficienty mají tendenci (dostatečně rychle) k 0 v nekonečnu. Podle předpokladů pravidelnosti lze určit rychlost konvergence (viz níže). S výše uvedenými notacemi proto máme: $F$ $F$

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | c_ {n} (f) | ^ {2} = | {\ frac {a_ {0} (f)} {2}} | ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (| a_ {n} (f) | ^ {2} + | b_ { n} (f) | ^ {2} \ vpravo)}

Vliv derivace na koeficienty

Pro spojitou funkci a po částech jeden vytvoří integrací po částech : ${\ mathcal {C}} ^ {1}$

c_n (f \, ') = \ frac {2i \ pi n} {T} c_n (f)

Obecněji řečeno, pro funkci třídy a po částech se stanoví: ${\ mathcal C} ^ {k}$ $\ mathcal C ^ {k + 1}$

{\ displaystyle c_ {n} (f ^ {(k + 1)}) = \ left ({\ frac {2 \ mathrm {i} \ pi n} {T}} \ right) ^ {k + 1} c_ {n} (f)}

Koeficienty a pravidelnost funkce

Funkci charakterizují Fourierovy koeficienty: dvě funkce se stejnými Fourierovými koeficienty jsou téměř všude stejné . Zejména v po částech spojitého případu se shodují ve všech bodech kromě konečného počtu. ${\ displaystyle \ left [0, T \ right]}$

Určitý počet výsledků spojuje pravidelnost funkce a chování v nekonečnu Fourierových koeficientů:

že Riemann-Lebesgueovy věta ukazuje, že Fourierovy koeficienty s integrovatelné funkce během období mají sklon k 0, jak mají tendenci k nekonečnu; $F$ $ne$
Parsevalova identita připouští konverzaci: funkce je čtvercová sumarizovatelná za období, právě když konverguje řada čtverců modulů Fourierových koeficientů. Toto je Riesz-Fischerova věta ;
existuje několik podobných charakterizací pro další funkční prostory. Můžeme však říci, že periodická funkce je právě tehdy, když její Fourierovy koeficienty rychle klesají, ${\ mathcal C} ^ \ infty$

{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} \ qquad c_ {n} (f) = o_ {n \ rightarrow \ pm \ infty} \ left ({\ frac {1} {| n | ^ {p} }} \ že jo)}

Přesněji řečeno, pokud je funkce třídy , její Fourierovy koeficienty jsou vpředu zanedbatelné .

\ mathcal C ^ {k}

{\ displaystyle 1 / n ^ {k}}

Naopak, pokud Fourierovým koeficientům dominuje , pak je funkce třídy .

{\ displaystyle 1 / n ^ {k + 2}}

\ mathcal C ^ {k}

Rekonstituce funkcí

Jednou z ústředních otázek teorie je chování Fourierovy řady funkce a v případě konvergence rovnosti jejího součtu s původně uvažovanou funkcí, aby bylo možné nahradit studium funkce se svou Fourierovou řadou, která umožňuje snadno manipulovatelné analytické operace. Za vhodných předpokladů pravidelnosti se periodická funkce může efektivně rozložit jako součet sinusových funkcí.

Dirichletova věta o bodové konvergenci

Pro periodickou funkci období , spojitou v reálném a diferencovatelnou vpravo a vlevo v , Dirichletova věta potvrzuje konvergenci jeho Fourierovy řady hodnocené va dává rovnost: $F$ $T$ $X$ $X$ $X$

{\ displaystyle f (x) = \ součet _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} (f) \ cdot e ^ {inx {\ frac {2 \ pi} {T}}}}

Pokud je na skutečných hodnotách, výše uvedená rovnost je přepsána skutečnými Fourierovými koeficienty: $F$

{\ displaystyle f (x) = a_ {0} (f) + \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (a_ {n} (f) \ cdot \ cos \ left (nx {\ frac {2 \ pi} {T}} \ vpravo) + b_ {n} (f) \ cdot \ sin \ left (nx {\ frac {2 \ pi} {T}} \ right) \ right)}

Předpoklady mohou být oslabeny. Funkce může být spojitá pouze doleva a doprava dovnitř a s ohraničenou variací v sousedství . V tomto případě musí být nahrazeny s průměrnou hodnotou v , takže buď průměr své limity na pravé a levé straně : . Důkaz věty je založen na skutečnosti, že Fourierova řada se počítá jako produkt konvoluce s trigonometrickým polynomem s pozoruhodnými vlastnostmi: Dirichletovo jádro . $F$ $X$ $X$ $f (x)$ $F$ $X$ $X$ ${\ tfrac 12} (f (x _ {-}) + f (x _ {+}))$

Dirichletova normální (a tedy uniformní) věta o konvergenci

Dirichletova věta o jednotné konvergenci je globální verzí věty o bodové konvergenci. Pro -periodickou a spojitě diferencovatelnou funkci v sousedství libovolného bodu segmentu se Fourierova řada konverguje normálně k on . Protože normální konvergence implikuje uniformní konvergenci, Fourierova řada také konverguje jednotně směrem k on . $T$ $Já$ $F$ $F$ $Já$ $F$ $F$ $Já$

Důkaz spočívá v pozorování, že konstanty v odhadech důkazu věty o bodové konvergenci lze zvolit nezávisle na bodě vyhodnocení . $x \ v I$

Zejména Fourierova řada -periodické funkce , kontinuálně po částech diferencovatelná a spojitá, konverguje rovnoměrně směrem k funkci. Kontrola konvergence Fourierovy řady regulárních funkcí je dána Jacksonovou nerovností (en) a Bernsteinovou větou (en) . $T$ $\ mathbb {R}$

Gibbsův fenomén

Gibbs jev je okraj účinek pozorovaný v blízkosti nespojitost funkce. Pro ilustraci je zde znázornění podmínek řádu 10, 50 a 250 Fourierovy řady funkce „slot“.

Gibbsův fenomén

Trigonometrický polynomový -tý člen Fourierovy řady je spojitá funkce, je tedy normální, že se nemůže jednotně přiblížit kvadratické funkci, která ze své strany není. Na jedné z oblastí „plošiny“, mimo sousedství diskontinuity, však Fourierova řada konverguje rovnoměrně k funkci (je nerozeznatelná od ní na posledním grafu). $ne$ $S_n (f)$

V bodě diskontinuity prochází silným kmitáním , jakýmsi „skokem“. Obrázky naznačují a výpočet ve skutečnosti ukazuje, že amplituda tohoto skoku má sklon ke konstantě. Přesně, pokud má funkce amplitudovou diskontinuitu , pak při zachování spojitosti zaznamená „skok“ na souřadnici rovný přibližně 9% „skoku“ (rozdíl mezi vysokou a nízkou úrovní) nebo 18% amplituda (rozdíl mezi průměrnou úrovní a špičkovou hodnotou, polovina skoku). $S_n (f)$ $\ Delta y$ $S_n (f)$

Konvergence RMS

Kvadratická střední konvergence se týká konvergence hermitovské normy :

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} | f (t) | ^ {2} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} | f (t) | ^ {2} \, \ mathrm {d} t}

Tato norma je definován například v vektorového prostoru z -periodic a spojité funkce, nebo na místo z měřitelných -periodic funkcí integrovatelných čtvereční identifikovány modulo rovnosti na zanedbatelnou sady ; je to navíc periodicita, která umožňuje dosáhnout rovnosti obou standardů. Norma pochází z hermitovského skalárního součinu : $E$ $T$ $F$ $T$

(f \ cdot g) = \ frac1T \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ overline {g (t)} \, \ mathrm {d} t

Prostor je v prostoru hustý a standardizovaný prostor je kompletní; lze jej získat jako dokončení . $E$ $F$ $F$ $E$

Představme si komplexní exponenciální funkci indexu : $ne$

{\ displaystyle e_ {n}: x \ mapsto \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} n {\ frac {2 \ pi} {T}} x}}

Rodina tvoří ortonormální rodinu, tedy zdarma . Prostor vytváří se prostor trigonometrických polynomů, podprostoru z . Tý Fourierova koeficientu je skalární součin podle : $(v)$ $E$ $ne$ $F$ $F$ $v$

c_n (f) = (f \ cdot e_n)

což dobře odpovídá definici koeficientů uvedené na začátku článku:

{\ displaystyle (f \ cdot e_ {n}) = {1 \ over T} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) {\ overline {\ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} 2 \ pi {\ frac {n} {T}} t}}} \, \ mathrm {d} t = {1 \ over T} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2 } f (t) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} 2 \ pi {\ frac {n} {T}} t} \, \ mathrm {d} t = c_ {n} (f)}

Zejména -tý trigonometrický polynom je ortogonální projekce na prostor generovaný . $ne$ $F$ $F$ $(e_k) _ {- n \ leq k \ leq n}$

Family ( ) je Hilbertův základ : podprostor trigonometrických polynomů je hustý va dovnitř . $v$ $E$ $F$
Fourierova řada -periodické čtvercové funkce integrovatelné během období konverguje v normě k uvažované funkci. $T$ $L ^ 2$

Jedním z důsledků je rovnost Parsevala .

Fejérova věta

Věta Fejér je zlepšit sbližování dán Dirichlet stejnoměrná konvergence teorému pomocí limitu Cesarò dílčí součtů Fourierových řad. Pro spojitou a periodickou funkci si všimneme: $T$

{\ displaystyle S_ {n} (f) = \ součet _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} (f) \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} kx {\ frac {2 \ pi} {T}}}}

pak .

{\ displaystyle \ sigma _ {N} (f) = {\ frac {1} {N}} \ součet _ {n = 0} ^ {N-1} S_ {n} (f) = \ součet _ {k = -N + 1} ^ {N-1} {\ frac {N- | k |} {N}} c_ {k} (f) \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} kx {\ frac { 2 \ pi} {T}}}}

Fejérova věta uvádí, že za jediného předpokladu kontinuity posloupnost funkcí konverguje jednotně k . $\ sigma_N (f)$ $F$

Tato Fejérova věta představuje možný důkaz trigonometrické verze Stone-Weierstrassovy věty . Ukazuje se to použitím vlastností konkrétního trigonometrického polynomu: Fejérovo jádro indexu je pozitivní a posloupnost těchto jader představuje aproximaci identity . $ne$

Goniometrický polynom připouští frekvence v rozmezí od do . Pro každou frekvenci je upraven předchozí koeficient. Nové koeficienty mají tendenci klást větší důraz na malé frekvence a tlumit vysokofrekvenční podmínky, což umožňuje vyhlazení příliš náhlého chování. $\ sigma_N (f)$ ${\ displaystyle -nF}$ ${\ displaystyle nF}$

Jednoduchá konvergence

Pozitivní výsledky získané zvážením jiných způsobů konvergence neztrácejí význam pro studium jednoduché konvergence.

V rámci spojitých funkcí nám Fejérova věta umožňuje konstatovat, že pokud Fourierova řada jednoduše konverguje, připouští funkci jako limit . Na druhou stranu úvahy o funkční analýze umožňují dokázat, že existuje spojitá funkce, jejíž Fourierova řada se rozchází alespoň v jednom bodě: přesně jde o aplikaci věty Banach-Steinhaus na operátorovu konvoluci pomocí Dirichletova jádra funkce . Je také možné uvést jednoduché explicitní příklady. To je případ 2π-periodické funkce definované: $F$ $F$

\ forall x \ in [- \ pi, \ pi], \, \, f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ frac1 {n ^ 2} \ sin \ left (\ left (2 ^ {n ^ 3} +1 \ vpravo) \ frac {| x |} 2 \ vpravo)

Možné domény divergence jsou známy díky dvěma doplňujícím se větám:

na jedné straně, podle věty Kahane a Katznelson, pro libovolnou sadu nulové Lebesgueovy míry můžeme najít spojitou funkci, jejíž Fourierova řada se v kterémkoli bodě této množiny rozchází;
na druhé straně, podle Carlesonovy věty , Fourierova řada spojité funkce konverguje téměř všude k této funkci.

Pokud rozšíříme rámec na funkce, které lze integrovat po určité období:

Kolmogorovova věta zajišťuje, že existuje integrovatelná funkce, jejíž Fourierova řada se rozchází ve všech bodech;
na druhou stranu výše uvedená Carlesonova věta byla prokázána v kontextu funkcí a má dokonce rozšíření pro mezery pro . U takových funkcí se Fourierova řada sbírá téměř všude. $L ^ 2$ $L ^ str$ ${\ displaystyle p> 1}$ $F$

Aplikace

Sériové výpočty

Aplikace výše uvedených Dirichletových a Parsevalových vět umožňuje vypočítat přesnou hodnotu součtu pozoruhodných číselných řad , z nichž:

{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + { \ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1 } {n ^ {2}}}}

(slavný vzorec bazilejského problému, který prokázal Euler );

{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}} = 1 - {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + \ cdots + (- 1) ^ {n + 1} { \ frac {1} {n ^ {2}}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {1} {n ^ { 2}}}}

;

{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + { \ frac {1} {5 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {(2n + 1) ^ {2}}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) ^ {2}}}}

;

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots + {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n }} {2n + 1}}}

( Leibnizův vzorec );

{\ displaystyle {\ frac {\ pi -1} {2}} = \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (n)} {n}} = \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {\ sin (n)} {n}} \ right) ^ {2}}

;

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2p}}}}

( hodnoty funkce Riemann zeta v sudých celých číslech ). Detaily

Pro periodikum platí, pokud : $F$ $2 \ ft$ $f (x) = x ^ {2}$ $- \ pi \ le x \ le \ pi$

Dirichletova věta, aplikovaná v a v 0, dává vzorce ohlášené pro a ; $\ pi$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}}}$
Parsevalův vzorec dává . ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {4}} {90}} = \ součet _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {n ^ {4}}}}$

Převzetím dalších funkcí, například:

periodický čtvercový signál: -periodický, který se shoduje s ; $f \, 2 \ pi$ ${\ displaystyle [- \ pi, \ pi [}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ left \ {{\ begin {pole} {cl} -1 & {\ mbox {si}} x \ in [- \ pi, 0 [\\ 0 & {\ mbox {si}} x = 0 \\ 1 & {\ mbox {si}} x \ in] 0, \ pi [\ end {array}} \ right.}$
periodický trojúhelníkový signál: si ; $f (x) = \ vlevo | x \ vpravo |$ $- \ pi \ le x \ le \ pi$
atd.

nalezeno podobné vzorce, jako například vzorce inzerované na , , , atd. ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2p}}}}$

Diferenciální a parciální diferenciální rovnice

Trigonometrické řady lze použít, stejně jako celé řady , k nalezení řešení určitých lineárních diferenciálních rovnic .

Metoda oddělování proměnných pro parciální diferenciální rovnici spočívá v hledání řešení ve formě součinu funkcí jedné proměnné. Při použití této metody splňuje každá z těchto funkcí lineární diferenciální rovnici a okrajové podmínky. Takže pro problém s vibrační strunou :

\ begin {cases} \ hbox {(i)} \ qquad \ frac {\ částečné ^ 2 u} {\ částečné t ^ 2} = \ frac {\ částečné ^ 2 u} {\ částečné x ^ 2}, \\ \ hbox {(ii)} \ qquad u (0, t) = u (1, t) = 0, \\ \ hbox {(iii)} \ qquad u (x, 0) = f (x), \ frac {\ částečné u} {\ částečné t} (x, 0) = v (x) \ konec {případů} \ qquad (x, t) \ in \ left] 0,1 \ right [\ times \ left] 0, + \ infty \ right [,

Proměnná je čas, je to prostorová souřadnice mezi dvěma hodnotami 0 a 1, které představují body připevnění lana. Funkce udává polohu řetězce po celou dobu. Funkce udává počáteční polohu, počáteční rozložení rychlostí. $t$ $X$ $u$ $F$ $proti$

Lze najít uspokojivé funkce a které jsou ve formě . Superpozicí najdeme obecný výraz řešení: $(i)$ ${\ displaystyle (ii)}$ ${\ displaystyle a (x) \, b (t)}$

u (x, t) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ sin (n \ pi x) (a_n \ cos (n \ pi t) + b_n \ sin (n \ pi t)),

kde koeficienty a jsou koeficienty získané rozkladem a Fourierovy řady. $rok$ $b_n$ $F$ $proti$

Obecněji řečeno, teorie Sturm-Liouvilla umožňuje zacházet s problémy separace proměnných velmi podobným způsobem tím, že dává existenci Hilbertianovy báze hrající stejnou roli jako rodina elementárních trigonometrických funkcí.

Problém Dirichlet na disku je dalším typickým příkladem použití Fourier série. Spočívá ve stanovení harmonických funkcí na (otevřeném) disku s mezní hodnotou fixovanou na okraji. Fyzicky se to interpretuje jako hledání rovnovážného teplotního profilu, přičemž se vynucují hodnoty na okraji disku. Předpokládá-li se, že působí na disk jednotky, použitím polárních souřadnic je funkce udávající profil uložené teploty předpokládaná spojitá a periodická. Připouští Fourierovy koeficienty a . Následující funkce poskytuje řešení na disku: $f (\ theta)$ $a_n (f)$ $b_n (f)$

T (r, \ theta) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} r ^ n (a_n (f) \ cos (n \ theta) + b_n (f) \ sin (n \ theta)).

Skutečnost, že limit, který má tendenci k 1, se rovná jednotné konvergenci, je uplatněním Abelova procesu sčítání . $r$ $F$

Funkční nerovnosti

Fourierova analýza umožňuje zadat nové výrazy pro operaci odvození a odvodit z nich zajímavé odhady.

Tak Wirtinger nerovnost se vztahuje na třídu funkcí , -periodic a nulovou střední hodnotou . Porovnává normy a jejich deriváty (normy konvergence v kvadratickém průměru): $F$ $\ mathcal {C} ^ 1$ $2 \ ft$ $F$

\ | f \ | _2 ^ 2 \ leq \ | f '\ | _2 ^ 2

to znamená

\ int _ {{- \ pi}} ^ {{\ pi}} | f (t) | ^ {2} dt \ leq \ int _ {{- \ pi}} ^ {{\ pi}} | f ' (t) | ^ {2} dt

Tento výsledek lze zase použít k vytvoření izoperimetrické věty : kruh je uzavřená křivka obklopující připojenou doménu maximální plochy pro danou délku.

Dalším příkladem aplikace je Bernsteinova nerovnost . To platí pro funkci v následujícím tvaru:

f (t) = \ sum_ {k = 1} ^ p \ alpha_k e ^ {i \ lambda_k t}

se složitými koeficienty a skutečnými koeficienty (není to tedy nutně trigonometrický polynom) a odlišné. Nerovnost umožňuje porovnat toto je horní hranice z a z jeho derivát: $\ alpha_k$ $\ lambda_k$ $F$

\ | f '\ | _ \ infty \ leq \ max \ limits_ {1 \ leq k \ leq p} | \ lambda_k | \ cdot \ | f \ | _ \ infty.

Důkaz Bernsteinovy nerovnosti je založen na psaní jako nekonečné kombinace překladů pomocí vzorce Fourierovy analýzy. $f '$ $F$

Rozšíření konceptu Fourierovy řady

Rozšíření distribucí

Fourierovy řady jsou obecněji definovány pro periodické distribuce . Distribuce je podle definice lineární forma přes prostor funkcí. se říká, že je -periodický, když jeho hodnota na testovací funkci je stejná jako na jeho -translatated. V tomto případě existuje distribuce s kompaktní podporou , která je součtem následující řady ve smyslu distribucí: $D$ $D$ $T$ $F$ $T$ $D$ $D$

{\ displaystyle D = \ součet _ {k \ v \ mathbb {Z}} t_ {kT} d}

K Fourierovy koeficienty $D$ jsou definovány takto:

{\ displaystyle c_ {p} (D) = {\ frac {1} {T}} \ vlevo \ langle d, \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} {\ frac {2p \ pi} {T }} t} \ doprava \ rangle}

Tyto koeficienty nezávisí na výběru . Jsou „pomalu rostoucí“, to znamená, že jim dominuje polynomiální výraz. $D$

Fourierova řada konverguje k ve smyslu distribucí: $D$

{\ displaystyle D = \ sum _ {p \ in \ mathbb {Z}} c_ {p} (D) \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} {\ frac {2p \ pi} {T}} t }}

což dokazuje, že Fourierova transformace je injektivní na -periodické distribuce , a tím spíše na lokálně integrovatelné -periodické funkce. $T$ $T$

Naopak, pokud vezmeme v úvahu pomalu rostoucí sekvenci, odpovídající trigonometrická řada konverguje ve smyslu distribucí směrem k periodickému distribuci. Příkladem použití je hřeben Dirac .

Hilbertovy prostory

Tyto Hilbertovy prostory jsou vektorové prostory vybavené skalární produktu a které jsou kompletní Přidružené standard. Prostor periodických funkcí se sčítatelným čtvercem, identifikovaný vztahem rovnosti téměř všude , má strukturu tohoto typu. Parsevalova identita a Riesz-Fischerova věta ukazují, že elementární trigonometrické funkce tvoří hilbertovský základ a souřadnice funkce jsou dány jejími Fourierovými koeficienty. $T$

Jakékoli oddělitelné Hilbert prostor nekonečného rozměru je opatřeno tomto základě, a mapy, které na prvek prostoru sdružuje své koeficienty (nazývané také „Fourier koeficienty“) je isometry ze v prostoru . $E$ $E$ $L ^ 2$

Je také možné vzít v úvahu neoddělitelné Hilbertovy prostory, takže pro téměř periodické funkce existují Fourier-Bohrovy koeficienty . Jeden pak nepředstavuje žádné další podmínky pro poměr frekvencí pro trigonometrické referenční funkce.

Sériová a Fourierova transformace

Rozklad na Fourierovu řadu je také zobecněn na neperiodické funkce s teorií Fourierovy transformace a představou spektrální hustoty . Základní prezentace viz Spektrální analýza .

Série a Fourierova transformace souvisí s Poissonovým součtovým vzorcem .

Poznámky a odkazy

Jean-Pierre Kahane a Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, Fourierova řada a vlnky [ detail vydání ], str. 33 a následující.
Monografie o šíření tepla v pevných tělesech , zmizela z archivu ústavu a byla známa z abstraktu publikovaného pod podpisem Siméona Denise Poissona v Nouveau Bulletin des sciences od Philomathic Society of Paris , t. Já, str. 112-116 , n o 6; Březen 1808. Paříž, Bernard.
J. Fourier, Analytical Theory of Heat , viz text o Gallice , odstavec 235 str. 259 a odst. 417 s. 551 .
Works Riemann , 2 e vydání, str. 230 .
(De) Paul du Bois-Reymond, „ Eine neue Theorie der Convergenz und Divergenz von Reihen mit positiven Gliedern “, J. Reine angew. Matematika. , let. 76, 1873, str. 61-91 .
A. Kolmogorov, „Fourier-Lebesgueova řada divergentní všude“, CR Acad Sci. Paris , sv. 183, 1926, str. 1327-1328 .
Viz „ Carlesonova věta “.
S. Balac a L. Chupin, Analýza a algebra: kurz matematiky pro 2. ročník s opravenými cvičeními a ilustracemi s Maple , PPUR , 2008, s. 2 314 , náhled v Knihách Google .
D. Guinin a B. Joppin, Analyse PC , Bréal , 2004, s. 284 , náhled v Knihách Google .
J.-P. Kahane a Y. Katznelson, „O množinách divergence trigonometrických řad“, Studia Math. , let. 26, 1966, str. 305-306 .
Viz například toto opravené cvičení lekce „Předvolání“ na Wikiversity .

Podívejte se také

Související články

Zobecněná Fourierova řada

Bibliografie

Jacques Peyrière, Konvoluce, Fourierova řada a integrály , Elipsy ,2012.
Jean-Pierre Kahane a Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, Fourierova řada a vlnky [ detail vydání ].
Walter Rudin , Reálná a komplexní analýza [ detail vydání ].
(en) Yitzhak Katznelson (de) , An Introduction to Harmonic Analysis , New York, Dover Publications ,1976, 264 s. ( ISBN 978-0-486-63331-2 ).

externí odkazy

Geogebra animace na Fourierově syntéze François Byasson
Fourierova syntéza (Flash animace)