Barré de Saint-Venant rovnice

Kvazi-jednorozměrné toky, například toky vodních toků, jsou popsány rovnicemi Barré de Saint-Venant získanými Adhémarem Barré de Saint-Venant v roce 1871 a objasněny v roce 1888.

Rozšířením byl tento název rozšířen na toky v mělké vodě (v angličtině mělká voda ), které odpovídají kvazi-dvourozměrným problémům. Vyskytují se například v geofyzice k popisu slapových proudů . K těmto jevům jsou přidružené vlny ( Rossbyho vlna , Kelvinova vlna , vlna Poincaré, přílivová , tsunami ), studium některých z nich je před rokem 1850.

Tyto toky jsou reprezentativní pro nedisperzní média. Jinak je médium popsáno Boussinesqovými rovnicemi .

Mělká voda teče

Označíme pomocí s ( x , y ) nadmořskou výšku povrchu vzhledem ke geoidu , pomocí b ( x , y ) pevný povrch, pomocí H = s - b výšku kapaliny a g gravitaci odečteme negativně dolů.

Rovnice mělkého proudění vody, kde předpokládáme vertikální složku w malé rychlosti před horizontálními složkami a tyto nezávislé na z, jsou zapsány

∂s∂t+∂∂X(Hu)+∂∂y(Hproti)=0,H=s-b{\ displaystyle {\ frac {\ částečné s} {\ částečné t}} + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} (Hu) + {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} (Hv ) = 0 \ ,, \; \; \; \; \; H = sb} ∂u∂t+u∂u∂X+proti∂u∂y+G∂s∂X=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné u} {\ částečné t}} + u {\ frac {\ částečné u} {\ částečné x}} + v {\ frac {\ částečné u} {\ částečné y}} + g {\ frac {\ částečné s} {\ částečné x}} = 0} ∂proti∂t+u∂proti∂X+proti∂proti∂y+G∂s∂y=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné v} {\ částečné t}} + u {\ frac {\ částečné v} {\ částečné x}} + v {\ frac {\ částečné v} {\ částečné y}} + g {\ frac {\ částečné s} {\ částečné y}} = 0}

Tlak je odvozen z hydrostatické rovnováhy v každé svislé ose.

Dají se snadno zobecnit v případě, že si přejeme vzít v úvahu Coriolisovu sílu, a obtížnější je vzít v úvahu viskózní účinky.

Demonstrace

Základní rovnice

Tyto Eulerovy rovnice jsou zapsány

• Rovnice nestlačitelnosti pro vektor rychlosti V = ( u , v , w )

∇⋅PROTI=0{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}

• Rovnice rovnováhy hybnosti

DPROTIDt=∂PROTI∂t+∇⋅(PROTIPROTI)=-1ρ∇p+G{\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {V}} {Dt}} = {\ frac {\ částečné \ mathbf {V}} {\ částečné t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) = - {\ frac {1} {\ rho}} \ mathbf {\ nabla} p + \ mathbf {g}}

kde ρ je konstantní hustota, p je tlak ag je gravitace.

Podmínky v mezích

Nadmořské výšky se počítají vzhledem ke geoidu .

Okrajové podmínky jsou

• na podlaze z = -b ( x , y ) je rychlost nulová

PROTI⋅∇(z+b)=0=w+PROTI⋅∇b{\ displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ nabla (z + b) = 0 = w + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla b}

• Na povrchu Z = S ( x , y ) je tlak vnější tlak p 0 a normální rychlosti w souvisí s tím,

DsDt=∂s∂t+PROTI⋅∇s=w{\ displaystyle {\ frac {Ds} {Dt}} = {\ frac {\ částečné s} {\ částečné t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla s = w}

Hromadná ochrana

Představíme výšku vody H = s - b a průměrné rychlosti

u¯=1H∫-bsudz,proti¯=1H∫-bsprotidz{\ displaystyle {\ overline {u}} = {\ frac {1} {H}} \ int _ {- b} ^ {s} u \ mathrm {d} z \ ,, \; \; \; {; overline {v}} = {\ frac {1} {H}} \ int _ {- b} ^ {s} v \ mathrm {d} z}

Integrací rovnice kontinuity v z a použitím Leibnizova pravidla máme

0=∫-bs∇⋅PROTIdz=∫-bs(∂u∂X+∂proti∂y+∂w∂z)dz=∂∂X∫-bsudz⏟Hu¯+∂∂y∫-bsprotidz⏟Hproti¯-u|z=s∂z∂X-proti|z=s∂z∂y+w|z=s⏟w-PROTI⋅∇s=∂s∂t=∂H∂t-(u|z=-b∂b∂X+proti|z=-b∂b∂y+w|z=-b)⏟w+PROTI⋅∇b=0{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} 0 & = & \ int _ {- b} ^ {s} \ nabla \ cdot \ mathbf {V} \ mathrm {d} z \\ [0,6em] & = & \ int _ {- b} ^ {s} \ left ({\ frac {\ částečné u} {\ částečné x}} + {\ frac {\ částečné v} {\ částečné y}} + {\ frac {\ částečné w} {\ částečné z}} \ pravé) \ mathrm {d} z \\ [0,6em] & = & {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \ podprsenka {\ int _ {- b} ^ {s} u \ mathrm {d} z} _ {H {\ overline {u}}} + {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} \ underbrace {\ int _ {- b} ^ {s } v \ mathrm {d} z} _ {H {\ overline {v}}} \ underbrace {- \ left.u \ right | _ {z = s} {\ frac {\ parciální z} {\ parciální x} } - \ left.v \ right | _ {z = s} {\ frac {\ částečné z} {\ částečné y}} + \ left.w \ right | _ {z = s}} _ {w- \ mathbf {V} \ cdot \ nabla s = {\ frac {\ parciální s} {\ parciální t}} = {\ frac {\ parciální H} {\ parciální t}}} - \ underbrace {\ left (\ left.u \ right | _ {z = -b} {\ frac {\ částečné b} {\ částečné x}} + \ left.v \ right | _ {z = -b} {\ frac {\ částečné b} {\ částečné y}} + \ left.w \ right | _ {z = -b} \ right)} _ {w + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla b = 0} \ end {pole}}}

Získali jsme tak novou rovnici zachování hmotnosti

∂H∂t+∂∂X(Hu¯)+∂∂y(Hproti¯)=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné H} {\ částečné t}} + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} (H {\ overline {u}}) + {\ frac {\ částečné} { \ částečné y}} (H {\ overline {v}}) = 0}

Pokud navíc předpokládáme, že u a v jsou nezávislé na z, stane se tato rovnice

∂H∂t+∂∂X(Hu)+∂∂y(Hproti)=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné H} {\ částečné t}} + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} (Hu) + {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} (Hv ) = 0}

Zachování hybnosti

Podél vertikály

Podle hypotézy je w velmi malé ve srovnání s u a v . Je napsána vertikální složka rovnice hybnosti, přičemž jsou zanedbány derivace u at x a v at y

DwDt=-1ρ∂p∂z+G,G<0{\ displaystyle {\ frac {Dw} {Dt}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ částečné p} {\ částečné z}} + g \ ,, \; \; \ ; \; \; g <0}

Zanedbáním Lagrangeovy derivace w se rovnice hybnosti v z redukuje na hydrostatickou rovnováhu

∂p∂z=ρG{\ displaystyle {\ frac {\ částečné p} {\ částečné z}} = \ rho g}

jehož řešení je okamžité ( předpokládá se, že g je v uvažované výšce konstantní)

p=ρG(z-s)+p0{\ displaystyle p = \ rho g (zs) + p_ {0}}

odkud

∂p∂X=-ρG∂s∂X,∂p∂y=-ρG∂s∂y{\ displaystyle {\ frac {\ částečné p} {\ částečné x}} = - \ rho g {\ frac {\ částečné s} {\ částečné x}} \ ,, \; \; \; \; \; { \ frac {\ částečné p} {\ částečné y}} = - \ rho g {\ frac {\ částečné s} {\ částečné y}}}Podél vodorovné

Zanedbáním deriváty v Z o u a V, a s přihlédnutím k výše uvedené rovnice jsou psány komponenty hybnosti

∂u∂t+u∂u∂X+proti∂u∂y+G∂s∂X=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné u} {\ částečné t}} + u {\ frac {\ částečné u} {\ částečné x}} + v {\ frac {\ částečné u} {\ částečné y}} + g {\ frac {\ částečné s} {\ částečné x}} = 0} ∂proti∂t+u∂proti∂X+proti∂proti∂y+G∂s∂y=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné v} {\ částečné t}} + u {\ frac {\ částečné v} {\ částečné x}} + v {\ frac {\ částečné v} {\ částečné y}} + g {\ frac {\ částečné s} {\ částečné y}} = 0}

Tento systém je hyperbolický a jako takový připouští charakteristické vlny zvané gravitační vlny. Ty mají rychlost, kterou lze odvodit z vlastních čísel

vs.=GH{\ displaystyle c = {\ sqrt {gH}}}

K potvrzení této hodnoty stačí jednoduchá dimenzionální analýza .

Popis těchto vln lze získat napsáním konzervační rovnice pro hmotnost vynásobenou g ½ a konzervační rovnice linearizované a vynásobené H ½ . Předpokládáme, že směr šíření je x

∂∂t(sG)+∂∂X(Huvs.)=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} (s {\ sqrt {g}}) + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} ({\ sqrt {H}} uc) = 0} ∂∂t(uH)+vs.∂∂X(sH)=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} (u {\ sqrt {H}}) + c \, {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} (s {\ sqrt {H }}) = 0}

Substitucí získáme vlnovou rovnici

∂2∂t2(sG)=∂∂X(vs.2∂∂X(sG)){\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2}} {\ částečné t ^ {2}}} (s {\ sqrt {g}}) = {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \ vlevo (c ^ {2} \, {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \ vlevo (s {\ sqrt {g}} \ vpravo) \ vpravo)}

Tato rovnice popisuje přílivovou vlnu (anglicky tidal wave ).

Saint-Venantovy rovnice

Tyto rovnice byly heuristicky popsány a publikovány Saint-Venantem v roce 1871. Popisují kvazi-jednorozměrný tok v kanálu nebo vodním toku šířky l ( x ). Průřezová plocha toku je A ( x , t ) a průměrná rychlost proudění je U ( x , t ). Výška vody je h ( y , t ), počítáno od spodní části z = 0. Je zapsána rovnice zachování hmotnosti

∂NA∂t+∂∂X(NAU)=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné A} {\ částečné t}} + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} (AU) = 0}

Rovnice podélného hybnosti je zapsána

∂∂t(hU)+∂∂X(hU2)+Gh∂h∂X=τXρ{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} (hU) + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} (hU ^ {2}) + gh {\ frac {\ částečné h} {\ částečné x}} = {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

τ x ( x , t ) je smyk aplikovaný na mokrý obvod P ( x , t ).

Rovnice v z je dána hydrostatickou rovnováhou

∂p∂z=ρG{\ displaystyle {\ frac {\ částečné p} {\ částečné z}} = \ rho g}

Tyto rovnice lze získat z Navier-Stokesových rovnic .

Demonstrace Hromadná ochrana

Jak je znázorněno v předchozím rámečku, konzervace v bodě v kanálu je dána vztahem

∂h(y)∂t+∂∂X∫0h(y)u(y,z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné h (y)} {\ částečné t}} + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \ int _ {0} ^ {h (y)} u (y , z) \ mathrm {d} z = 0}

Integrací v y získáme požadovaný vztah tím, že si to všimneme

NA=∫0lh(y)dy{\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {l} h (y) \ mathrm {d} y}

a nastavení průměrné rychlosti

U=1NA∫0l∫0hu(y,z)dzdy{\ displaystyle U = {\ frac {1} {A}} \ int _ {0} ^ {l} \ int _ {0} ^ {h} u (y, z) \ mathrm {d} z \ mathrm { d} y}Zachování hybnosti

Vycházíme z rovnice mělké vody s viskozitou, ve které je střední příčná rychlost nulová

∂∂t(hU)+∂∂X(hU2)+Gh∂h∂X=τXρ{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} (hU) + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} (hU ^ {2}) + gh {\ frac {\ částečné h} {\ částečné x}} = {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

kde τ x je střih na stěnu.

Myslíme si, že

• ∂h∂X{\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ částečné h} {\ částečné x}}}je nezávislý na y (sklon v x je stejný pro všechny body přímého řezu)
• τ x je také nezávislé na y

Integrací do y to přijde

∂∂t(NAU)+∂∂X(NAU2)+GNA∂h∂X=PτXρ{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} (AU) + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} (AU ^ {2}) + gA {\ frac {\ částečné h} {\ částečné x}} = {\ frac {P \ tau _ {x}} {\ rho}}}

Můžeme vzít v úvahu sklon α země nahrazením gravitace její složkou v z a zavedením složky hmotnosti v x

∂∂t(hU)+∂∂X(hU2)+Ghcos⁡α∂h∂X=Ghhřích⁡α-τXρ{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} (hU) + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} (hU ^ {2}) + gh \ cos \ alpha {\ frac { \ částečné h} {\ částečné x}} = gh \ sin \ alfa - {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

Posouzení smyku

Toto vyhodnocení se obvykle provádí zavedením koeficientu tření C f pro mezní vrstvu na mokrém obvodu.

τX=12VSF(h,U)ρU2{\ displaystyle \ tau _ {x} = {\ frac {1} {2}} C_ {f} (h, U) \ rho U ^ {2}}

Tento koeficient představuje část toku hybnosti přenesenou do stěny. Jeho tvar vyplývá ze zákonů podobnosti  : zákonů Chézy nebo Manning-Strickler

VSF(h)=2GK.s2h13{\ displaystyle C_ {f} (h) = {\ frac {2g} {K_ {s} ^ {2} \, h ^ {\ frac {1} {3}}}}}

Koeficient K vyplývá ze zkušeností.

Reference

1. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, „ Teorie nestálého  pohybu vody s aplikací na povodně řek a zavedení přílivu a odlivu do jejich koryt  “, Týdenní zprávy ze zasedání Akademie věd , sv. .  73,1871, str.  147–154 a 237–240
2. M. de Saint-Venant, „  Monografie o úvaze o odstředivé síle při výpočtu pohybu tekoucích vod a o rozdílu mezi bystřinami a řekami  “, Monografie Akademie věd Francouzského ústavu , sv.  44,1888, str.  245-273 ( číst online )
3. M. de Saint-Venant, „  Monografie o ztrátě živé síly tekutiny v místech, kde se její průtoková část prudce nebo rychle zvětšuje  “, Monografie Akademie věd Institutu de France , sv.  44,1888, str.  193-243 ( číst online )
4. (in) Alex DD Craik, „  The Origins of Water Wave Theory  “ , Annual Review of Fluid Mechanics , roč.  36,2004, str.  1-28 ( číst online )
5. (in) David A. Randall, „  Rovnice mělké vody  “

Funguje

• (en) Hendrik C. Kuhlmann a Hans-Josef Rath (ed.), Free Surface Flows , Springer-Verlag ,1998, 331  s. ( ISBN  978-3-7091-2598-4 , číst online )
• Olivier Thual, Vlny a tekutiny: multimediální vzdělávací články , Toulouse, Cépaduès ,2005, 197  s. ( ISBN  2-85428-655-3 )
• Olivier Thual, Hydrodynamika prostředí , Les éditions de l'École Polytechnique,2010( číst online )
• (en) Geoffrey K. Vallis, Atmosférická a oceánská tekutinová dynamika , Cambridge University Press ,2017( ISBN  978-1-107-58841-7 )

Podívejte se také

• Mávat
• Sépie (hydrodynamická)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">