Akce konjugací
V matematice a přesněji v teorii skupin je akce konjugací zvláštním případem skupinové akce . Souprava , na kterém skupina G působí je G sám.
Definice
Poznámka: zde, pro jakýkoli prvek g z G ,
interiér automorphism z G spojené s g ( to je automorphism G ). Pak je mapa g ↦ aut g , od G do S G , morfismem skupiny .
Ve skutečnosti, aut g ∘ aut h = aut gh .
Spojená skupina akce , definovaný
se nazývá akce konjugací G na sebe.
Pro všechny x , které patří do G je oběžná dráha o x v rámci této akce se nazývá konjugace třída z x a je označován C x :
Jeho prvky se nazývají konjugáty x .
Aplikace
- Konjugační třídy se používají jako důkaz Wedderburnovy věty, že každé konečné pole je komutativní .
- V rámci teorie reprezentací konečné skupiny jsou třídy konjugace základem definice centrálních funkcí konečné skupiny , používají se k definování vektorového prostoru , znaků reprezentací . Ve stejném kontextu, najdeme je pro analýzu centra města s algebry skupiny .
- Vnitřní automorfismy se používají pro důkaz Sylowových vět , Frattiniho věty a v mnoha důkazech týkajících se skupin.
- Diagonalizace matic spočívá v nalezení dobré působení konjugací rovná dané matrice.
- Konjugace čistě imaginárního čtveřice jednotným čtveřicí je ekvivalentní rotaci trojrozměrného vesmírného vektoru. Konjugace čistě imaginárního čtveřice libovolným čtveřicí je ekvivalentní podobnosti .
Příklady
- Konjugační třídy symetrické skupiny se skládají z produktů disjunktních podporovaných prstenců stejné struktury. To znamená, že počet cyklů stejné délky je stejný pro každý prvek třídy konjugace.
- Třídy konjugace alternující skupiny a jednoduché skupiny řádu 168 jsou studovány v přidruženém článku.
Vlastnosti
- Když G je komutativní, akce konjugací je identita.
- Třídy konjugace představují oddíl o G spojené s vztahu ekvivalence:
- Prvek g z G opravuje konkrétní prvek x právě tehdy, je-li g prvkem centralizátoru Z x z x :.Tyto třídy vzorec ukazuje, že v případě, C x označuje třídu konjugace x :zejména kardinálovi případné dělení konjugace třídy Cardinal G .
- Prvek g z G proto pevné žádný prvek G tehdy a jen tehdy, pokud g patří do středu Z ( G ) z G . Obecněji iff g = g ' mod Z ( G ). Následkem toho působení G (na G ) indukuje působení (na G ) skupiny kvocientu G / Z ( G ).
- Dráha C x je snížena na { x } právě tehdy, když x patří do středu G . Výběrem reprezentativního x i na disjunktní třídu konjugace ze středu tedy předchozí vzorec dává rovnici třídám :
