Aplikace identity

V matematiky , na dané nastavené X je aplikace identita nebo funkce identity je aplikace, která nemá žádný efekt při aplikaci na prvku: vždy vrátí hodnotu, která je použita jako argument. Formálně je to aplikace

idX:X→X,X↦X.{\ displaystyle {\ rm {id}} _ {X} \ dvojtečka X \ až X, x \ mapsto x.}

Graf identity aplikace se nazývá diagonální z kartézského součinu X × X . Pro X rovnou množině reálných čísel je tento graf prvním půlící částí euklidovské roviny .

Zápisy

Aplikace id X je také známý Id X . Pokud na množině X, na které pracujeme, není žádná dvojznačnost , označíme ji id nebo Id .

Někdy se uvádí 1 X , ale tato druhá notace může vést k záměně s indikátorovou funkcí části X množiny.

Pozoruhodné vlastnosti

Pro jakoukoli mapu f ze sady X do sady Y máme:

F∘idX=F=idY∘F{\ displaystyle f \ circ \ mathrm {id} _ {X} = f = \ mathrm {id} _ {Y} \ circ f}

Zejména je mapa identita je neutrální element v monoidu z map X sám o sobě (dodávaný s skládání funkcí ), a symetrické skupiny z X (na skupiny z bijekce z X na sobě).

V lineární algebře

Pokud E je vektorový prostor, pak Id E je lineární mapa a její determinant je 1.

Pokud X je konečný rozměrný vektorový prostor n , pak matice představující Id X je jednotková matice I n .

Aplikace identity umožňuje porovnat dvě topologie  : na X je topologie τ 2 jemnější než topologie τ 1, když id X je spojitý z ( X , τ 2 ) v ( X , τ 1 ).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">