kartézský součin

Tento článek odkazuje na matematický koncept na množinách. Pro grafy viz kartézský součin grafů .

V matematiky je kartézský součin dvou množin X a Y , také známý jako celý produkt , je množina všech dvojic , jejichž první prvek náleží k X a druhý Y. . Tento pojem, platný pro dvě sady, lze snadno zobecnit na pojem konečného kartézského součinu , což je sada n-n-tic, jejichž komponenty patří do n sad. Zobecnění na nekonečný kartézský součin vyžaduje pojem funkce .

Kartézské produkty vděčí za své jméno Renému Descartesovi , který při vytváření analytické geometrie nejprve použil to, co nyní nazýváme ℝ 2 = ℝ × ℝ, aby reprezentoval euklidovskou rovinu , a ℝ 3 = ℝ × ℝ × ℝ, aby reprezentoval trojrozměrný euklidovský mezera (ℝ označuje skutečnou čáru ).

Kartézský součin dvou sad

Definice

Pro libovolnou množinu A a libovolnou množinu B existuje množina P, jejíž prvky jsou všechny páry, z nichž první složka patří A a druhá B : ${\ displaystyle \ forall A \; \ forall B \; \ existuje P \ quad \ forall z \; {\ bigl (} z \ v P \ Leftrightarrow \ existuje x \; \ existuje y \; \ vlevo (x \ v A \; \ land \; y \ v B \; \ land \; z = (x, y) \ vpravo))}$ .Tato sada je označován A × B (čti " cross B ") a je nazýván produkt Karteziánský of A od B .
Zvláštní případ: a × je označován A 2 a volal Karteziánský square of A : ${\ displaystyle A ^ {2} = \ {(x, y) \ mid x \ v A \; \ land \; y \ v A \}}$ .

Příklad

Nechť A je množina {A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}. Nechť B je množina {piky, srdce, diamanty, kluby}. Pak kartézský součin A × B těchto dvou sad je klasický balíček 52 karet, to znamená sada:

{(A, piky) ... (2, piky), (A, srdce) ... (2, srdce), (A, diamanty) ... (2, diamanty), (A, kluby) .. . (2, jetel)}.

Vlastnosti

Kartézský součin A × B je prázdný právě tehdy, je-li A nebo B prázdný. Zejména: pro nějaký soubor , $NA$ ${\ displaystyle \ varnothing \ times A = A \ times \ varnothing = \ varnothing}$ .
Dva produkty produktu jsou zcela určeny tímto produktem, pokud není prázdný. Přesněji: pokud tehdy a podobně, pokud tehdy . ${\ displaystyle A \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle y \ in B \ Leftrightarrow \ existuje x \ quad (x, y) \ v A \ krát B}$ ${\ displaystyle B \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle x \ v A \ Leftrightarrow \ existuje y \ quad (x, y) \ v A \ krát B}$
Pokud a B jsou konečné , pak se hlavní z A x B se rovná součinu kardinálům A a B .
Kartézský součin dvou množin je jedinečný podle axiomu tažnosti . Pokud budeme považovat kartézské páry a produkty za primitivní pojmy, budeme mít jako axiom tuto vlastnost existence a jedinečnosti. Je ukázáno, v ZFC množin teorie , pro znázornění párů vybraných.

Zastoupení v teorii množin

Pokud v teorii množin zvolíme jako obvykle zastoupení kuratowských párů , páry, jejichž první složka je v A a druhá v B, jsou prvky P [ P ( A ∪ B )] (kde P ( E ) označuje sada dílů z E ). Existence této množiny vyplývá z axiomu shledání a axiomu množiny částí .

Můžeme tedy definovat kartézský součin porozuměním. Pak budeme potřebovat dvojice, a proto kromě předchozích axiomů budeme v Z axiomu páru a schématu s porozuměním axiomů nebo v ZF množiny částí znovu a schématu náhradních axiomů (ze kterého společně je odvozena existence párů):

A \ krát B = \ vlevo \ {(a, b) | (a \ v A) \ klín (b \ v B) \ vpravo \} = \ vlevo \ {z \ v P (P (A \ pohár B) ) | \ existuje a \ v A \; \ existuje b \ v B \ z = (a, b) \ vpravo \}

Můžeme si dokonce vystačit s množinou dílů pomocí schématu náhradního axiomu dvakrát: jednou pro A × { b } a znovu pro:

A \ krát B = \ velký pohár _ {{b \ v B}} A \ krát \ {b \}.

Zastoupení v teorii kategorií

Podat žádost o nastavené X v kartézského součinu × B ze dvou množin A a B činí dát dvě aplikace: jeden z X do A a druhý z X do B . Více formálně: množina × B , pokud se dvěma výstupky a se vyznačuje až do kanonického izomorfismu u následující univerzálního pozemku : pro nějaký soubor X a všechny mapy a existuje unikátní mapu tak, že a . Shrneme tento univerzální vlastnost tím, že je výrobek z A a B v kategorii souborů . ${\ displaystyle p_ {1}: A \ krát B \ až A, (a, b) \ mapsto a}$ ${\ displaystyle p_ {2}: A \ krát B \ až B, (a, b) \ mapsto b}$ ${\ displaystyle f_ {1}: X \ až A}$ ${\ displaystyle f_ {2}: X \ až B}$ ${\ displaystyle f: X \ až A \ krát B}$ $f_ {1} = p_ {1} \ circ f$ $f_ {2} = p_ {2} \ circ f$ ${\ displaystyle (A \ krát B, p_ {1}, p_ {2})}$

Teorie kategorie definuje systematicky obecnějších produkty nebo uvažují další struktury ( skupiny produktů , produkty topologické prostory ), nebo přidávání omezení ( produkt z rodiny sad , produkt svazku , atd.).

Zobecnění na více než dvě sady

Trojčata

Podobným způsobem jako u párů je cílená vlastnost, že dva triplety jsou si rovny právě tehdy, když jsou jejich první komponenty navzájem stejné, pak jejich druhé komponenty a nakonec jejich třetí:

{\ Displaystyle \ forall a \, \ forall b \, \ forall c, \ forall d \, \ forall e \, \ forall f \, [\, (a, b, c) = (d, e, f) \,] \ Leftrightarrow [\, (a = d) \ klín (b = e) \ klín (c = f) \,]}

Pro triplet (a, b, c) je možné několik definic, například:

(a, b, c) = ((a, b), c)
(a, b, c) = (a, (b, c))
rodina , jejíž množina indexů je množina prvků 3

Tyto definice nejsou ekvivalentní, ale všechny dávají samozřejmě předchozí vlastnost.

Kartézský součin tří sad

Je definován:

A \ krát B \ krát C = \ doleva \ {(a, b, c) | (a \ v A) \ klín (b \ v B) \ klín (c \ v C) \ doprava \}

(s první definicí navrženou v předchozím odstavci, A × B × C = ( A × B ) × C , s druhou A × B × C = A × (B × C ), třetí je zvláštním případem toho uvedený v odstavci # Kartézský součin rodiny sad ).

Tento produkt a × a × se nazývá Karteziánský kostka z A a je označován A 3 (čti „A kostičky“):

A ^ {3} = \ {(x, y, z) | (x \ v A) \ klín (y \ v A) \ klín (z \ v A) \}.

n -uples

Výše uvedené definice se zobecňují na n libovolnou n-tici. Zamýšlená vlastnost pro ně je následující.

Základní majetek n -tice :

{\ displaystyle \ forall \ left (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n} \ right), \ forall \ left (b_ {1}, b_ {2}, \ cdots, b_ {n } \ right), \ quad [\, (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}) = (b_ {1}, b_ {2}, \ cdots, b_ {n}) \ ,] \ Leftrightarrow [\, (a_ {1} = b_ {1}) \ wedge (a_ {2} = b_ {2}) \ wedge \ cdots \ wedge (a_ {n} = b_ {n}) \, ]}

První dvě definice jsou zobecněny opakováním , například pro první:

(a 1 , a 2 , ..., a n ) = ((a 1 , a 2 , ..., a n -1 ), a n ).

Pro druhé z nich stačí mít indexovanou rodinu pomocí sady n prvků.

Kartézský produkt N sad je pak definována:

{\ displaystyle A_ {1} \ krát A_ {2} \ krát \ cdots \ krát A_ {n} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = \ vlevo \ {\ vlevo (a_ { 1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n} \ right) | a_ {1} \ v A_ {1}, \ dots, a_ {n} \ v A_ {n} \ right \}}

a tedy n-tou karteziánskou mocninu množiny podle:

{\ displaystyle A ^ {n} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} A = \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ cdots x_ {n}) | \, \ forall i, x_ {i} \ v A \, \}}

Nekonečné produkty

Můžeme zobecnit představu kartézského součinu na součin rodiny množin indexovaných libovolnou množinou , konečnou nebo nekonečnou.

Ačkoli je tento pojem obecnější, lze jej sotva vnést do teorie množin před teorií binárního karteziánského součinu , alespoň přirozeně, protože apeluje na pojem funkce, který zase používá přesně pojem dvojice , a tedy součin .

Rodina sad

Rodina sad indexovaných souborem I je funkce definovaná na I . Obraz i podle A je označen A i . Je to jen notace (přizpůsobená určitému použití) pro známou konstrukci. Rodina indexovány I místo toho třeba poznamenat, ( i ) i ∈ I .

Kartézský součin rodiny množin

Nyní můžeme definovat kartézský součin rodiny množin ( A i ) i ∈ I , které obvykle nebo někdy označujeme . ${\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i}}$ ${\ displaystyle \ times _ {i \ in I} A_ {i}}$

To je sada funkcí f o I v sloučení rodiny , tak, že pro všechny I v I , f ( i ) patří do A i :

{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i} = \ left \ {\ left.f: I \ to \ bigcup _ {i \ in I} A_ {i} \ \ right | \ \ forall \ i, \, f (i) \ v A_ {i} \ vpravo \}}

Chcete-li tuto definici, musíme extrahovat prvek komponenty indexu výrobku j , položka I . K tomu definujeme pro všechny j v I funkci zvanou j -tá projekce , $\ pi _ {j}: \ prod _ {{i \ in I}} A_ {i} \ na A_ {j}, \ quad f \ mapsto f (j).$
Můžeme definovat obecněji pro jakoukoli část J o I u „projekce index J “, s hodnotami v „dílčího produktu“ indexované J : $\ pi _ {J}: \ prod _ {{i \ in I}} A_ {i} \ to \ prod _ {{i \ in J}} A_ {i}, \ quad f \ mapsto (f (i) ) _ {{i \ v J}}.$ (Pokud J je singleton { j }, dílčí součin indexovaný J je v kanonické bijekci s A j .)
Můžeme uvést axiom výběru takto: produkt rodiny neprázdných množin je neprázdný .
Produktem sady souborů indexovaných prázdnou sadou je podle výše uvedené definice singleton, jehož jediným prvkem je prázdná funkce ∅ v ∅.

Spojte se s produktem dvou sad

Nechť A a B jsou dvě sady. Pro jakýkoli pár I = {α, β} (například α = ∅ a β = {∅}) máme kanonickou bijekci mezi součinem A × B dvou množin a součinem rodiny ( A i ) i ∈ i definována a α = a a a p = B , spojením s jakoukoli dvojici ( x , y ) z a x B je prvek f definovaný f (a) = x a f (β) = y .

Asociativita

Nechť ( A i ) i ∈ I rodinu sad a ( J K ) k ∈ K skóre z I . Kanonická aplikace

{\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} A_ {i} \ až \ prod _ {k \ v K} {\ Bigg (} \ prod _ {i \ v J_ {k}} A_ {i} {\ Bigg)}, \ quad f \ mapsto (\ pi _ {J_ {k}} (f)) _ {k \ v K}}

je bijektivní.

Indukcí je produkt n sad identifikován s produktem rodiny indexované pomocí {1, 2,…, n }.

Poznámky a odkazy

Harvey Friedman .
(in) John C. Baez , „ Quantum Quandaries: Category A-Theoretic Perspective - §4: The monoidal Category of Hilbert Spaces “ ,2004( arXiv : quant-ph / 0404040 ).
(in) Colin McLarty (in) , Základní kategorie, Základní úkoly , Oxford, Clarendon Press ,1995.
(in) Thomas Jech , Teorie množin: Třetí tisíciletí, revidováno a rozšířeno , Springer ,2006, 3 e ed. , 772 s. ( ISBN 978-3-540-44085-7 , číst online ).
Jean-Louis Krivine , Teorie množin , Paříž, Cassini, kol. "New matematic library",1988, 1 st ed. , str. 9.
Paul Halmos , Úvod do teorie množin [ detail vydání ]p. 46.
funkce z A do B, se často zavádí jako triplet ( , B , C ), kde C je podmnožinou kartézského součinu x B , nazvaný graf funkce a tak, že každý prvek A se objeví (v první složka) v přesně jedné momentu C . V praxi, nicméně, pokud neexistuje nebezpečí záměny, můžeme přizpůsobit zneužitím funkce jazyka k jejímu grafu C . Navíc v teorii množin často definujeme funkci přímo jako množinu párů. Tato praxe je konzistentní - být funkcí z bodu A do bodu B se pak stává vlastností této funkce - nedoporučuje se to však v úvodních kurzech matematiky.
N. Bourbaki , Základy matematiky : Teorie množin [ detail vydání ], str. II.33 .
Nebo dokonce jen překrývání of I by po dvou disjunktních podmnožin , který však může být prázdný.
Bourbaki , str. II.35.

Související články

Prázdný produkt
Binární relace
Nesouvislé shledání nebo „kartézská suma“
Monoidní kategorie