Složení funkcí

V matematice je složení funkcí (nebo složení aplikací ) proces, který sestává ze dvou funkcí z konstrukce nové. K tomu použijeme obrázky první funkce jako argumenty pro druhou (za předpokladu, že to dává smysl). Mluvíme pak o složené funkci (nebo složené mapě ).

Formální definice

Nechť X , Y a Z jsou libovolné tři množiny . Nechť dvě funkce a . Definujeme sloučeniny f o g , označené tím, F:X→Y{\ displaystyle f: X \ až Y}G:Y→Z{\ displaystyle g: Y \ až Z}G∘F{\ displaystyle g \ circ f}

∀X∈X, (G∘F)(X)=G(F(X)).{\ displaystyle \ forall x \ in X, \ (g \ circ f) (x) = g (f (x)).}

Zde použijeme f na argument x , pak na výsledek použijeme g .

Získáváme tak novou funkci . G∘F:X→Z{\ displaystyle g \ circ f: X \ až Z}

Zápis zní „  g rond f  “, „  f následovaný g  “ nebo „  g po f  “. Někdy bereme na vědomí, pro . G∘F{\ displaystyle g \ circ f}G∘F(X){\ displaystyle g \ circ f (x)}(G∘F)(X){\ displaystyle (g \ circ f) (x)}

Příklad nekompatibility domény

Nechť jsou tyto dvě funkce:

F:R→RX↦-XEtG:R+→RX↦X.{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & -x \ end {matrix}} \ quad {\ rm {and} } \ quad {\ begin {matrix} g: & \ mathbb {R} _ {+} & \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & {\ sqrt {x}}. \ end {matrix }}}

Zde je sada příchod of f je . Nyní začíná set of g je (není reálné číslo jehož čtverec je striktně negativní). Přísně sensu , funkce tedy nemá žádný význam zde a pouze jeden má, kde F 1 je následující funkce, získaný restrikčním-corestriction o f  : R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}G∘F{\ displaystyle g \ circ f}G∘F1:R-→R{\ displaystyle g \ circ f_ {1}: \ mathbb {R} _ {-} \ to \ mathbb {R}}

F1:R-→R+X↦-X{\ displaystyle {\ begin {matrix} f_ {1}: & \ mathbb {R} _ {-} & \ to & \ mathbb {R} _ {+} \\ & x & \ mapsto & -x \ end { matice}}}

Vlastnosti

Zde se nezajímáme o problémy s kompatibilitou domén uvažovaných funkcí.

• Složení funkcí není obecně komutativní  :G∘F≠F∘G.{\ displaystyle g \ circ f \ neq f \ circ g.}
• Složení funkcí je asociativní  :h∘(G∘F)=(h∘G)∘F.{\ Displaystyle h \ circ (g \ circ f) = (h \ circ g) \ circ f.}
• Složení funkcí není obecně distribuční (na žádném operátorovi ):⋆{\ displaystyle \ star}h∘(G⋆F)≠(h∘G)⋆(h∘F).{\ Displaystyle h \ circ (g \ star f) \ neq (h \ circ g) \ hvězda (h \ circ f).}
• V případě, že funkce f je spojitá v x 0 a funkce g je spojitá v f ( x 0 ), pak je spojitá v x 0 .G∘F{\ displaystyle g \ circ f}
• Složení dvou přísně monotónních funkcí f a g (směr variace se řídí jakousi znakové pravidla):
  • pokud f a g mají stejný smysl pro variaci, jejich sloučenina se přísně zvyšuje;
  • pokud f a g mají různé směry variace, jejich sloučenina se přísně snižuje.
• Odvozeno ze složení odvozitelných funkcí:(G∘F)′=(G′∘F)⋅F′.{\ displaystyle (g \ circ f) '= (g' \ circ f) \ cdot f '.}Viz článek „  Odvození složených funkcí  “.
• Reciproční sloučeniny:(G∘F)-1=F-1∘G-1.{\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} = f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1}.}

Funkční schopnosti

Udržujeme výše uvedené notace. Pokud pak může být složen sám se sebou a kompozit je zaznamenán . Tak Y=X{\ displaystyle Y = X}F{\ displaystyle f}F2{\ displaystyle f ^ {2}}

F2=F∘F{\ displaystyle f ^ {2} = f \ circ f}

F3=F∘F∘F{\ displaystyle f ^ {3} = f \ circ f \ circle f}

a obecněji:

∀ne∈NE∗Fne=F∘...∘F⏟ne FÓis{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad f ^ {n} = \ underbrace {f \ circ \ ldots \ circ f} _ {n \ \ mathrm {krát}}}

Pózujeme

F0=idX{\ displaystyle f ^ {0} = \ operatorname {id} _ {X}}

kde je aplikace identity sady . idX{\ displaystyle \ operatorname {id} _ {X}}X{\ displaystyle X}

Jeden může rozšířit tento zápis o záporné integrální exponenty, za předpokladu, že převezme funkci bijective ( sám o sobě). Potom, označte reciproční mapu a pro jakékoli celé číslo , je sloučenina sama n krát. F{\ displaystyle f} X{\ displaystyle X}F-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}ne>0{\ displaystyle n> 0}F-ne{\ displaystyle f ^ {- n}}F-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}

Síla funkce se liší od násobení aplikací. Například sin 2 běžně označuje druhou mocninu sinusové funkce:

∀X∈Rhřích2⁡(X)=(hřích⁡(X))2=hřích⁡(X)×hřích⁡(X){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ sin ^ {2} (x) = (\ sin (x)) ^ {2} = \ sin (x) \ krát \ sin (x)}

Existuje také možná záměna mezi inverzní funkcí funkce pro násobení a vzájemným mapováním.

Lze se také zajímat o funkční odmocniny , to znamená, že pro danou funkci g hledáme funkci f uspokojující f ( f ( x )) = g ( x ) pro všechna x . Pak si všimneme . F1/2{\ displaystyle f ^ {1/2}}

Jiná notace

V polovině XX th  století , někteří matematici shledal notaci matoucí a rozhodl se použít postfixovanou notaci  : xf pro f ( x ) a xfg pro . G∘F{\ displaystyle g \ circ f}(G∘F)(X){\ displaystyle (g \ circ f) (x)}

Typografie

„Kulatý“ znak Unicode , „∘“, je znak U + 2218 . V LaTeXu se tento znak získá příkazem \circ.

Zdroje

• Techno-věda
• Wikiverzita
• Matematika a klíště

Související články

• Kombinatorická logika
• Lambda-kalkul
• Funkce vyššího řádu
• Složení binárních vztahů