Bernsteinova aproximace

V analýze se Bernstein aproximace je způsob aproximace polynomu , pro blížící se stejnoměrně spojité funkce $f$ definována na úseku [0, 1] sledem lineární kombinace z Bernstein polynomů . Tento důkaz konstruktivně věta Weierstrass sbližování je důsledkem Sergeje Natanovich Bernstein .

Definice

$N-$ tého aproximace $f$ je polynom

{\ displaystyle P_ {n} (f) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} f \ doleva ({\ frac {k} {n}} \ doprava) B_ {k} ^ {n},}

kde jsou Bernsteinovy polynomy: ${\ displaystyle B_ {k} ^ {n}}$

{\ displaystyle B_ {k} ^ {n} (x) = {n \ zvolte k} x ^ {k} (1-x) ^ {nk}.}

Proto jsme postavit $P n ( f )$ od hodnot $f$ v bodech 0, 1 / n , ..., ( n - 1) / n a 1, ale v těchto místech, je hodnota $P n ( f )$ mohou být odlišné od $f$ , jinými slovy: získaná aproximace není interpolací .

Stejnoměrná konvergence z $P n ( f )$ k $f$ je proto uvedeny v následující tabulce: ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ existuje N \ quad \ forall n \ geq N \ quad \ forall x \ in [0,1] \ qquad | f (x) -P_ {n} (f) ( x) | \ leq \ varepsilon.}$

Všimněte si, že pokud $X$ je náhodná proměnná po binomické rozdělení parametrů $( n , x )$ , pak $P n ( f ) ( x ),$ není nic jiného, než je očekávání o $f ( X / n )$ , to znamená, že průměr $f$ aplikováno na počet úspěchů $n$ nezávislých experimentů pravděpodobnosti $x$ . Jednoduchý konvergence z $P n ( f )$ k $f$ je pak bezprostředním důsledkem slabého zákona velkých čísel . Zvýšením pravděpodobnosti rozdílu mezi X / n a $x$ odvodíme jednotnou konvergenci.

Demonstrace

Tyto lineární operátory $P n$ o C ([0, 1]) je pozitivní (en) , postačí, v závislosti na přiblížení Korovkin je teorém , aby ověření konvergence pro tři monomial funkce f 0 ( x ) = 1 , f 1 ( x ) = x a f 2 ( x ) = x 2 .

Nyní $P n ( f 0 ) = f 0$ , $P n ( f 1 ) = f 1$ a $P n ( f 2 ) = f 2 + ( f 1 - f 2 ) / N$ , který uzavírá.

Rychlost konvergence

Nechť $f je$ spojitá funkce na $[0; 1]$ , a $Q je$ modul kontinuity z $f$ . Takže máme nerovnost:

{\ displaystyle \ | f-P_ {n} (f) \ | _ {\ infty} \ leq {\ frac {9} {4}} \; \ omega \ doleva (n ^ {- 1/2} \ doprava )}

Kde představuje „nekonečný“ standard . $\ | \ cdot \ | _ {{\ infty}}$

Demonstrace

Nechť $δ > 0$ a $x \in [0; 1]$ . Nechť $k \in {0, ..., n }$ . Existují dva možné případy pro $k$ :

Ano . ${\ displaystyle | xk / n | \ leq \ delta}$

V tomto případě . Od $B$ ${\ displaystyle | f (x) -f (k / n) | \ leq \ omega (\ delta)}$ $n k ( y ) \geq 0$ pro všechna $y \in [0; 1]$ , máme:

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 0, | xk / n | \ leq \ delta} ^ {n} (f (x) -f (k / n)) B_ {k} ^ {n} ( x) \ right | \ leq \ omega (\ delta) \ sum _ {k = 0} ^ {n} B_ {k} ^ {n} (x) = \ omega (\ delta)}

Ano . ${\ displaystyle | xk / n | \ geq \ delta}$

Buď . Nastavíme $y$ $j$ $=$ $x$ $+$ ${\ displaystyle M = \ left \ lfloor {\ frac {| xk / n |} {\ delta}} \ right \ rfloor}$ $j / M +1$ pro $j \in {0, ..., M +1}$ . Všimli jsme si tedy, že pro $j \in {0, ..., M }$ máme $| y j +1 - y j | < 5$ . Tak :

{\ displaystyle | f (x) -f (k / n) | \ leq \ sum _ {j = 0} ^ {M + 1} | f (y_ {j + 1}) - f (y_ {j}) | \ leq (M + 1) \ omega (\ delta) \ leq \ omega (\ delta) \ left (1 + {\ frac {1} {\ delta}} \ left | x - {\ frac {k} { n}} \ right | \ right) \ leq \ omega (\ delta) \ left (1 + {\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ left (x - {\ frac {k} {n }} \ vpravo) ^ {2} \ vpravo)}

Pro všechna $x \in [0; 1]$ tedy můžeme psát:

{\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} | f (x) -P_ {n} (f) (x) | & \ leq \ left | \ sum _ {k = 0, | xk / n | \ leq \ delta} ^ {n} (f (x) -f (k / n)) B_ {k} ^ {n} (x) \ pravý | + \ levý | \ součet _ {k = 0, | xk / n | \ geq \ delta} ^ {n} (f (x) -f (k / n)) B_ {k} ^ {n} (x) \ right | \\\ quad & \ leq \ omega (\ delta) + \ left | \ sum _ {k = 0, | xk / n | \ geq \ delta} ^ {n} \ omega (\ delta) \ left (1 + {\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ left (x - {\ frac {k} {n}} \ right) ^ {2} \ right) B_ {k} ^ {n} (x) \ right | \ leq \ omega (\ delta) \ left (2 + {\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ sum _ {k = 0, | xk / n | \ geq \ delta} ^ {n} \ left (x - {\ frac {k} { n}} \ right) ^ {2} B_ {k} ^ {n} (x) \ right) \\\ quad & \ leq \ omega (\ delta) \ left (2 + {\ frac {x (1- x)} {n \ delta ^ {2}}} \ right) \ leq \ omega (\ delta) \ left (2 + {\ frac {1} {4n \ delta ^ {2}}} \ right) \ end {zarovnaný}}}

Nakonec volba $δ = 1 / \sqrt n$ nám umožňuje závěr.

Tento výsledek umožňuje zajistit určitou rychlost konvergence posloupnosti Bernsteinových polynomů k funkci $f$ , podle modulu kontinuity $f$ .

Odkaz

„Důkaz Weierstrassovy věty na základě výpočtu pravděpodobností“ v Comm. Soc. Matematika. Charkov Ser. 2 , sv. 13, 1912.
(in) Francesco Altomare, „ Korovkinovy věty o odchylce a aproximace kladnými lineárními operátory “ , Průzkumy v teorii aproximace , sv. 5,2010, str. 92-164 ( arXiv 1009.2601 ), Věta 3.6.
(in) Michelle Schatzman , Numerická analýza: matematický úvod , Oxford University Press, 2002, Theorem 5.3.2

Související články

Bernsteinova věta (teorie aproximace) (fr)
Unequal Jackson (en)