Bivektor
V algebře termín bivector označuje antisymetrický tenzor řádu 2, tj. Veličinu X, kterou lze zapsat
X=Xnabωna∧ωb{\ displaystyle {\ mathbf {X}} = X_ {ab} {\ mathbf {\ omega}} ^ {a} \ klín {\ mathbf {\ omega}} ^ {b}},
kde veličiny ω a jsou lineární tvary a znaménko označuje vnější součin .
∧{\ displaystyle \ klín}
Na bivektor lze pohlížet jako na lineární aplikaci působící na vektory a transformující je do lineárních tvarů. Koeficienty X ab lze chápat tak, že tvoří antisymetrickou matici .
Bivektory jsou široce používány v obecné relativitě , kde lze s bivektory spojit několik tenzorů. Zejména elektromagnetický tenzor je bivektor a Weylův tenzor lze považovat za aplikaci působící na bivektory. Tato skutečnost je také počátkem klasifikace různých prostorů podle charakteristik prezentovaných jejich Weylovým tenzorem v této souvislosti: jde o klasifikaci Petrova .
Různé definice
Jeden bivektor
O bivektoru X se říká, že je jednoduchý, pokud ho lze vyjádřit ve formě vnějšího součinu dvou lineárních forem u a v , tj. Pokud máme
X=u∧proti{\ displaystyle {\ mathbf {X}} = {\ mathbf {u}} \ klín {\ mathbf {v}}},
nebo, pokud jde o komponenty,
Xnab=12(unaprotib-protinaub).{\ displaystyle X_ {ab} = {\ frac {1} {2}} \ vlevo (u_ {a} v_ {b} -v_ {a} u_ {b} \ vpravo).}V případě jednoduché formy se o veličině říká, že jde o časový typ, prostorový typ nebo lehký typ podle své hodnoty (respektive kladná, záporná a nula v případě, že znaková konvence metriky je (- + + +), respektive záporné, kladné a nulové v případě inverzní konvence (+ ---)).
XnabXnab{\ displaystyle X_ {ab} X ^ {ab}}
Duální bivektor
Ve čtyřrozměrném prostoru, na kterém je definována Riemannova metrika , můžeme použít tenzor Levi-Civita k asociaci bivektoru s jeho duálním bivektorem, jak je uvedeno , podle vzorce
X{\ displaystyle {\ mathbf {X}}}X~{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {X}}}}
X~nab=12ϵnabvs.dXvs.d{\ displaystyle {\ tilde {X}} _ {ab} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {abcd} X ^ {cd}}.
Duál dvojitého bivektoru odpovídá nejbližšímu znaménku původnímu vektoru:
(X~nab)~=-Xnab{\ displaystyle \ left ({\ tilde {X}} _ {ab} \ right) {} {\ tilde {}} = - X_ {ab}}.
Dva bivektory X a Y uspokojují pomocí svých duálních bivektorů některé vlastnosti
XnabY~nab=X~nabYnab{\ displaystyle X_ {ab} {\ tilde {Y}} ^ {ab} = {\ tilde {X}} _ {ab} Y ^ {ab}},
Xnavs.Ybvs.-X~bvs.Y~navs.=12GnabXvs.dYvs.d{\ displaystyle X_ {ac} Y_ {b} {} ^ {c} - {\ tilde {X}} _ {bc} {\ tilde {Y}} _ {a} ^ {c} = {\ frac {1 } {2}} g_ {ab} X_ {cd} Y ^ {cd}}
Autoduální bivektor
O komplexním bivektoru se říká, že je autodulový, pokud uspokojí
X~=-iX{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {X}}} = - i {\ mathbf {X}}}.
Jakýkoli bivektor X může být spojen s autoduálním X * bivektorem kombinací s jeho duálním, podle vzorce
X∗=X+iX~{\ displaystyle {\ mathbf {X}} ^ {*} = {\ mathbf {X}} + i {\ tilde {\ mathbf {X}}}}.
Komplexní trojrozměrný vektor spojený s bivektorem
Fyzikální význam autoduálního bivektoru se objevuje poznámkou, že šest nezávislých komponent skutečného bivektoru lze transformovat do komplexního trojrozměrného vektoru. K tomu stačí vybrat vektor laskavého času u a definovat množství X a podle
Xna=Xnab∗ub{\ displaystyle X_ {a} = X_ {ab} ^ {*} u ^ {b}}.
Jednoduchý výpočet okamžitě umožňuje rekonstrukci původního bivektoru o
Xnab∗=2u[naXb]+iϵnabvs.duvs.Xd=2(u[naXb])∗{\ displaystyle X_ {ab} ^ {*} = 2u _ {[a} X_ {b]} + i \ epsilon _ {abcd} u ^ {c} X ^ {d} = 2 \ vlevo (u _ {[ a} X_ {b]} \ vpravo) ^ {*}}.
Příklad: elektromagnetický tenzor
Elektromagnetické tensor je antisymetrická tenzor 2. řádu Je tedy bivector. Vektor X vypočítaný výše uvedenou metodou dává
Xj=Ej-ivs.Bj{\ displaystyle X ^ {j} = E ^ {j} -icB ^ {j}}.
Odkaz
-
(en) D. Kramer , Hans Stephani , Malcolm Mac Callum a E. Herlt , Přesné řešení Einsteinových polních rovnic , Cambridge, Cambridge University Press ,1980, 428 s. ( ISBN 0521230411 ), strany 47 až 49.
Poznámka
-
V mnoha odkazech je duál, v Hodgeově smyslu pro dualitu, označen hvězdičkou a nikoli „~“. V případě bivektorů je však hvězdička vyhrazena pro autoduální bivektor. Množství zaznamenané F * v elektromagnetickém tenzoru předmětu tedy odpovídá množství .F~{\ displaystyle {\ tilde {F}}}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">