Algebra je odvětví matematiky , které mohou vyjádřit vlastnosti operací a zacházení s rovnic a výsledků při studiu algebraických struktur . V závislosti na době a úrovni uvažovaného studia ji lze popsat jako:
Oblast použití sahá od algebry aritmetické problémy, které se zabývají s čísly, které jsou z geometrického původu, jako je například analytické geometrie z Descartes nebo komplexních čísel . Algebra tedy zaujímá klíčové místo mezi aritmetikou a geometrií, což umožňuje rozšířit a sjednotit digitální doménu.
Slovo „algebra“ je odvozeno od názvu díla napsaného kolem roku 825, Kitab al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala („ Kompendium kalkulu podle restaurování a srovnání “), původním matematikem Perským Al- Khwarizmi . Tato kniha měla praktické účely: výpočet dědičnosti, geodetické práce , obchod atd. A byla součástí éry vzestupu islámské vědy a technologie .
Arabské slovo al-djabr ( الجبر ) znamená „zmenšení zlomeniny“, „shledání (po částech)“, „rekonstrukce“, „spojení“, „restaurování“, odskočení. V matematickém kontextu odkazuje na transformaci rovnice přidáním termínu. V dnešním jazykem, například, může být transformována přidáním množství B do obou stranách rovnice mít pouze pozitivní termíny: .
Je to u původu latinského slova algebra, které dalo „algebra“ ve francouzštině. Ve španělštině označuje slovo algebrista jak ty, kteří praktikují algebraický počet, tak kostičkář (ti, kteří vědí, jak snížit zlomeniny ).
Již v egyptské nebo babylonské starověku , zákoníci musel postupy najít neznámou veličinou za určitých podmínek. Staří Babyloňané a Egypťané tedy již věděli, jak řešit problémy, které lze přeložit do rovnic prvního nebo druhého stupně. Babyloňané také používali techniku algoritmů , a to dlouho před Euklidem .
Například papyrus Rhind (v Britském muzeu v Londýně z roku 1650 př. N. L. ) Má následující prohlášení:
"Musíme rozdělit 100 bochníků chleba mezi deset mužů, včetně navigátora, předáka a strážce, přičemž všichni tři dostali dvojnásobný podíl." Co bychom měli každému dát? "
V jiném příkladu babylónský problém požaduje stranu čtverce tak, že dostaneme 870 odečtením této strany od plochy čtverce. Přeloženo do algebraických výrazů, to znamená řešení následující kvadratické rovnice :, kde „x“ označuje hledanou stranu.
Na III th století našeho letopočtu, Diophantus praktikovat formu pre-symbolické algebry, představovat neznámá, na kterém pracuje výpočty.
Řecká matematika nazvala „analýza“ metodu, která spočívá v pojmenování neznámé a manipulaci s ní, aby se vrátila od podmínek stanovených cvičením k identifikaci vlastností neznámého, které pak lze určit a stát se známými.
V knize Kitab al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala („ Shrnutí výpočtu restaurováním a srovnáním “), kterou napsal matematik Al-Khwarizmi , napsaný v Bagdádu , za vlády Al-Ma'mūna (813- 833) , velká část použitých metod pochází z výsledků elementární geometrie. Z tohoto důvodu často klasifikujeme tyto první výsledky do větve geometrické algebry .
Hlavní novinkou bylo zavedení pojmu „rovnice“. Jednalo se o rovnost mezi dvěma matematickými výrazy obsahujícími jejich čísly známá čísla a neznámé množství. Takovou rovností byl překlad podmínek stanovených problémem objevování neznámého do matematického jazyka. Například: „jaký je čtverec, který v kombinaci s deseti jeho kořeny dává součet rovný 39? " , Problém, který převedeme do současné algebry (jedná se přesněji o" transkripci "a ne o překlad, protože zápis v číselných exponentech začíná pouze Descartesem) v podobě : poznámkou" x "neznámý kořen náměstí. Pro označení druhé mocniny, krychle, druhé odmocniny, kubické odmocniny se vytvářejí speciální symboly: pojem číselného exponenta, i jednoduše celého čísla, se zatím neobjeví.
Legenda někdy připisuje Leonardovi z Pisy, známému jako Fibonacci, dovoz takzvaných arabských číslic, které by objevil během cesty do Afriky. Nezapomínejme, že Gerbert d'Aurillac , který je studoval v Cordobě, se zavázal, že je uvalí na křesťanstvo, jakmile se v roce 1000 stane papežem pod jménem Sylvester II. Je to však Fibonacciho kniha Liber abaci , která definuje slavnou Fibonacciho posloupnost a pomůže popularizovat používání arabských číslic a desítkové soustavy v Evropě.
Papež Gerbert d'Aurillac přivezl ze Španělska kolem roku 1000 nulu , což je indický vynález, který matematici Al-Khwarizmi a Abu Kamil nechali znát v celé říši a také v Cordobě .
Tato poziční numerace dobře dokončuje algebraický výpočet, nejprve pomocí algoritmů (termín odvozený z „Al-Khwarizmi“, ale proces již používaný v Euklidově algoritmu ), které postupně nahrazují použití počítadla l ' . Italských matematici z XVI th století ( del Ferro , Tartaglia a kardanové ) vyřešit rovnici 3. ročník studia (nebo kubické rovnice ). Ferrari , žákem kloubové řeší rovnici 4 -tého stupně (nebo quartic rovnice ), a tato metoda se zlepší Bombelli . Na konci století Francouz Viète zjistil, že symetrické funkce kořenů jsou spojeny s koeficienty polynomiální rovnice.
Až do XVII th století , algebry lze obecně charakterizovat jako výsledek nebo začátek rovnic a jako rozšíření z aritmetický ; spočívá hlavně ve studiu rozlišení algebraických rovnic a postupné kodifikaci symbolických operací umožňujících toto rozlišení. François Viète (1540–1603), „považovaný za zakladatele našeho algebraického jazyka“ , inovuje tím, že si pomocí dopisů všímá neznámých a neurčitých.
Zatímco ve Viète byly pravomoci poznamenány latinskými slovy, René Descartes si je všímá ve formě exponentů a právě toto psaní je podstatné. Více či méně jsme zachovali doslovné Descartovy notace, které představují skutečnou algebraickou symboliku. Termín „algebra“ se poté stává synonymem pro „doslovný počet“. René Descartes a Pierre de Fermat rovněž představili to, čemu se na středních a středních školách říká „analytická geometrie“, jinými slovy geometrie souřadnic: křivky a povrchy jsou reprezentovány rovnicemi, s nimiž se manipuluje algebrou.
Matematici také postupně začali používat „imaginární“ čísla k výpočtu kořenů svých rovnic, někdy i když byla velmi reálná.
Byl učiněn rozhodný krok se zápisem zlomkových exponentů , poté rychle reálných a imaginárních . Ty umožní Eulerovi uvést jeho slavný vzorec spojující pět pozoruhodných čísel. Prostřednictvím těchto imaginárních exponentů dochází k plynulému spojení algebraického světa a trigonometrického světa.
Vezmeme-li v úvahu řešení rovnic, které jsou komplexními čísly, vede d'Alembert ke státu (v roce 1746) a Gauss k prokázání (v roce 1799) základní věty o algebře :
Věta - Jakákoli polynomiální rovnice stupně n v komplexních číslech má přesně n kořenů (každá se počítá s možnou multiplicitou).
V moderní formě je věta uvedena:
Věta - Pole komplexních čísel opatřená sčítáním a násobením je algebraicky uzavřeno .
XIX th století, je nyní zajímat vyčíslitelnosti kořeny, a zejména schopnost jejich vyjádřit prostřednictvím výživy na bázi radikály. Poruchy týkající se rovnic stupně 5 vedou matematika Ábela (po Vandermonde , Lagrangeovi a Gaussovi ) k prohloubení transformací množiny kořenů rovnice. Évariste Galois (1811 - 1832) ve své oslnivé monografii studuje skupinu permutací kořenů polynomiální rovnice a vede k nemožnosti rozlišení radikály pro rovnice stupně většího nebo rovného 5.
Od té doby jsme začali počítat na objektech, které již nemusí být nutně čísla. Moderní algebra začíná plodnou cestu: Boole vytváří algebru, která nese jeho jméno , Hamilton vymýšlí čtveřice a angličtí matematici Cayley , Hamilton a Sylvester studují maticové struktury. Lineární algebry , dlouho omezen na řešení soustav lineárních rovnic se 2 nebo 3 neznámých, startuje s teorém Cayley-Hamilton ( „Každý čtvercové matice s koeficienty v nebo zruší jeho charakteristický polynom “). Následuje transformace změnou základny, diagonalizace a trigonalizace matic a metody výpočtu, které ve XX . Století vyživují programování počítačů. Dedekind definuje ideály (již jsou v pojmu ideálního komplexního čísla zavedeného Kummerem více než klíčivé ), což umožní zobecnit a přeformulovat velké aritmetické věty. Lineární algebra se zobecňuje na multilineární a tenzorovou algebru .
Na začátku XX th století, pod vedením německého Hilbert a francouzské Poincaré , matematici zpochybňují základy matematiky: logika a axiomatization dostává do centra pozornosti. Peano axiomatizuje aritmetické, poté vektorové prostory . Strukturu vektorového prostoru a strukturu algebry studoval do hloubky Artin v roce 1925 s jinými základními poli než nebo a stále abstraktnějšími operátory. Artinovi , považovanému za otce současné algebry, vděčíme také za základní výsledky v oblasti algebraických čísel . Nekomutativní pole vedou k definování struktury modulu na prstenci a zobecnění klasických výsledků ve vektorových prostorech.
Francouzská škola „ Nicolas Bourbaki “, vedená Weilem , Cartanem a Dieudonným , se zavazuje přepsat všechny matematické znalosti na axiomatickém základě: tato gigantická práce začíná teorií množin a algebrou v polovině století a potvrzuje algebru jako univerzální jazyk matematiky. Paradoxně, zatímco počet publikací po celém světě exponenciálně roste , zatímco žádný matematik nemůže tvrdit, že ovládne velmi malou část znalostí, matematika nikdy nevypadala tak jednotně jako dnes.
Studium těchto struktur lze provádět jednotným způsobem v rámci univerzální algebry .
Epistemologickou studii algebry představil Jules Vuillemin .
V širším smyslu je termín „algebraický“ přičítán také dalším částem matematiky, jejichž objekty nebo metody spadají pod algebru.