Ďábelský čtverec řádu 4

Tento článek neuvádí žádný zdroj a může obsahovat nepřesné informace (hlášené v květnu 2020).

Pokud máte referenční knihy nebo články nebo pokud víte o kvalitních webových stránkách zabývajících se zde diskutovaným tématem, vyplňte prosím článek tak, že uvedete odkazy užitečné pro jeho ověřitelnost a propojíte je s částí „ Poznámky “ a odkazy “( editovat článek ).

Najděte zdroje na „ Ďábelský čtverec řádu 4 “ :

Bing
Cairn
DuckDuckGo
E. Universalis
Gallica
Google
G. Knihy
G. Zprávy
G. Scholar
Perseus
Qwant
(zh) Baidu
(ru) Yandex
(wd) najít díla na Ďábelském čtverci řádu 4

Existuje 384 ďábelských čtverců řádu 4 (48 kromě rotací a odrazů). Jedná se o více magických čtverců než o magické čtverce 4. řádu, protože všechny splňují celkem 52 omezení, zatímco čtverce, které jsou jen magické, jsou pouze 14. Čertovy čtverce 4. řádu jsou také více než čtverce. Perfektní . Nejsou to asociativní magické čtverce a 256 může dát řecko-latinské čtverce .

[15103645169141127181312]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 15 & 10 & 3 & 6 \\ 4 & 5 & 16 & 9 \\ 14 & 11 & 2 & 7 \\ 1 & 8 & 13 & 12 \ end {bmatrix}}} ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 15 & 10 & 3 & 6 \\ 4 & 5 & 16 & 9 \\ 14 & 11 & 2 & 7 \\ 1 & 8 & 13 & 12 \ end {bmatrix}}}$

Kouzlo zlého čtverce

Ďábelské čtverce jako jejich magické protějšky musí ověřit následujících 10 omezení: součty 4 řádků, 4 sloupců a 2 hlavních úhlopříček musí být stejné. Kromě toho se musí součty rozbitých úhlopříček (celkem 6) rovnat již vypočítaným součtem. Celkově tedy existují omezení 4 + 4 + 2 + 6 = 16.

Těchto 16 omezení však není nezávislých ani bezplatných. Jejich hodnost je 12, takže 12 dobře zvolených omezení stačí k tomu, aby bylo zajištěno ověření všech 16. Například je ekvivalentní říci, že čtverec je ďábelský, pokud jsou součty 4 řádků, 3 sloupců, dvou úhlopříček a tří zlomených úhlopříček, které nejsou stejné, stejné.

Naopak, ďábelský čtverec splňuje více než 16 omezení stanovených jeho definicí. Diabolický čtverec, který je od přírody magickým čtvercem řádu 4, již ověřuje, že součet jeho 4 rohů nebo 4 středových čtverců je shodný s magickou konstantou. Celkově každý zlý čtverec splňuje stejných 52 omezení, která jsou uvedena níže.

Obecná forma

V této části je uvolnění omezeno na vyplňování čísel 1 a 16 zlým čtvercem. Ve skutečnosti se magická konstanta nemusí nutně rovnat 34, může a priori mít jakoukoli hodnotu. Za těchto podmínek hledání ďábelského čtverce řádu 4 znamená řešení soustavy rovnic se 17 neznámými, 16 čísel vyplňujících políčka a magickou konstantu a 16 lineárních rovnic na těchto 17 neznámých. Jak je vidět v předchozí části, těchto 16 lineárních rovnic není nezávislých, jsou ekvivalentní 12 volným lineárním rovnicím. Problémem je tedy rozlišení lineárního systému 17 neznámých s 12 rovnicemi. Použitím lineární algebry a konkrétněji systému lineárních rovnic odvodíme, že existuje nekonečno řešení. Pokud někdo chce konkrétní řešení, stačí změnit pět dobře vybraných neznámých, aby byl systém invertovatelný v pěti parametrech, a odvodit z něj 12 zbývajících neznámých. Výsledkem může být vykreslovaný následující náměstí, který je odvozen od výběru pěti reálných čísel , , , a . Jsou uvedeny dva příklady, které berou jako parametry čísla 1, 2, 3, 4 a 5 a čísla 1, 1, 2, 4, 8. $na$ $b$ $vs.$ $d$ $E$

na	a + b + c + e	a + c + d	a + b + d + e
a + b + c + d	a + d + e	a + b	a + c + e
a + b + e	a + c	a + b + c + d + e	a + d
a + c + d + e	a + b + d	a + e	a + b + c

1	11	9	12
10	10	3	9
8	4	15	5
13	7	6	6

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

A konečně, sada ďábelských čtverců tvoří skutečný vektorový podprostor dimenze 5 vektorového prostoru . Obecný zápis ďábelský náměstí s pěti parametrů lze přepsat jako: s , , , a pět reálná čísla a pět vektory tvořící základ subprostorový vektoru. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {16}}$ ${\ displaystyle av_ {1} + bv_ {2} + cv_ {3} + dv_ {4} + ev_ {5}}$ $na$ $b$ $vs.$ $d$ $E$ $v_ {i}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {16}}$

${\ displaystyle v_ {1} = (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)}$ , , , , ${\ displaystyle v_ {2} = (0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1)}$ ${\ displaystyle v_ {3} = (0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1)}$ ${\ displaystyle v_ {4} = (0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0)}$ ${\ displaystyle v_ {5} = (0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0)}$

Nalezení další základny tohoto vektorového podprostoru umožňuje další znázornění ďábelských čtverců řádu 4. Zájem této základny je, že je tvořena pouze 0 a 1. Každý základní vektor, zapsaný ve tvaru čtverce , je také ďábelský čtverec tvořící část vektorového podprostoru.

Generovat náměstí s 16 boxy jsou naplněna všechna čísla od 1 do 16, stačí si vybrat 1 pro parametr a čtyři čísla , , a jedinečné čas v požadovaném pořadí pro pět dalších parametrů. Je třeba, protože každý box je jedním z 16 jsou odlišné, jak se dá udělat s nastavením , , a . Můžeme tedy tyto součty vidět jako psaní čísla jako základu 2. To vytváří všechna čísla od 0 do 15 s parametry , , a . Přidáním 1 s parametrem do všech polí získáme čísla od 1 do 16. Na druhou stranu u této metody se vygenerují pouze ďábelské čtverce, které mají v prvním poli 1. Změnou pořadí 1, 2, 4 a 8 změníme ďábelský čtverec. Ve skutečnosti tato metoda generuje 24 zlých čtverců, z nichž všechny mají 1 v prvním poli. $na$ ${\ displaystyle 1 = 2 ^ {0}}$ $2 = 2 ^ {1}$ ${\ displaystyle 2 = 2 ^ {2}}$ $8 = 2 ^ {3}$ $b$ $vs.$ $d$ $E$ $b$ $vs.$ $d$ $E$ $na$

Metody generování všech zlých čtverců

Metody

První metoda spočívá v tom, že předem poznáte všech 7040 magických čtverců řádu 4. Diabolický čtverec, který je podle definice magický, pak stačí filtrovat přes program ty, které jsou ďábelské mezi magickými.
Druhá metoda nevyžaduje znalost magických čtverců, ale obecného tvaru, který je vidět výše zlých čtverců. Použitím tohoto tvaru je zaručeno, že vygenerujeme magický čtverec, ale že nebudeme mít 16 čísel tohoto čtverce mezi 1 a 16 pouze jednou. Abyste to zajistili, musíte zvolit pět parametrů. Nejprve, protože magická konstanta musí být 34, pak součet, který odpovídá této magické konstantě v obecné formě, je 34. Tato rovnice umožňuje, aby byl jeden z pěti parametrů vyjádřen například jako funkce zbývajících čtyř . Poté musíte zvolit číslo mezi 1 a 16 pro parametr, který vyplní první pole. V závislosti na tomto parametru musíte zvolit poslední tři parametry tak, aby počet políček byl mezi 1 a 16 bez opakování. Opět se doporučuje použití počítačového programu. ${\ displaystyle 4a + 2 (b + c + d + e)}$ $E$ $na$

Počet ďábelských čtverců řádu 4

Z 7040 magických čtverců řádu 4 je 384 diabolských. Je však obvyklé zaměňovat ďábelské čtverce, které jsou od sebe odvozeny rotací nebo odrazem, jako je tomu u 8 magických čtverců řádu 3 sloučených do 1 jediného čtverce. Ďábelské čtverce řádu 4 lze tedy seskupit do balíčků 8 ekvivalentních ďábelských čtverců. S touto novou definicí pak existuje pouze 48 ďábelských čtverců (nebo přesněji třída rovnocennosti ďábelských čtverců).

Propojte s dalšími typy magických čtverců

Více než dokonalé magické čtverce

Mezi více než perfektní magické čtverce, jiný typ magických čtverců existujících pouze čtverců řádu , jsou ještě více omezeny než ďábelských čtverců. Každý více než dokonalý čtverec je skutečně ďábelský čtverec. V případě řádu 4 však existuje rovnocennost mezi ďábelským čtvercem a více než dokonalým čtvercem. To lze ověřit obecným tvarem uvedeným výše. Stačí poznamenat, že každý čtverec stojí za magickou konstantu (již viděný v první části s 52 omezeními ověřenými ďábelskými čtverci) a že součet každého páru celých čísel na diagonále (hlavní nebo zlomené) oddělené 2 čtverci má hodnotu 17, počet čtverců plus 1. To lze ověřit numericky pro každý zlý čtverec, ale u obecného tvaru zlých čtverců je již viditelné, že tyto součty dvojic celých čísel mají stejnou hodnotu . Zbývá jen dokázat, že tato identická součet má hodnotu 17. Což je přímé, protože součet, který je magickou konstantou rovný 34, je dvojnásobkem, který musí mít hodnotu 17. ${\ displaystyle n = 4k}$ ${\ displaystyle 2 \ krát 2}$ ${\ displaystyle 2a + b + c + d + e}$ ${\ displaystyle 4a + 2 (b + c + d + e)}$ ${\ displaystyle 2a + b + c + d + e}$

Asociativní magické čtverce

Neexistuje nic jako kouzelný čtverec, který je jak ďábelský, tak asociativní, přičemž má všechna čísla od 1 do 16. Důkaz pochází z obecné formy výše. Pokud je ďábelský čtverec asociativní, pak hodnoty parametrů a musí být nulové. To však poskytuje čtverec, jehož buňky nutně mají stejná čísla, proto nevyplněný čtverec se všemi čísly od 1 do 16. Bez tohoto omezení by existovalo nekonečno ďábelských a asociativních čtverců, které by vytvářely trojrozměrný vektorový podprostor. následující formulář: $d$ $E$

na	a + b + c	a + c	a + b
a + b + c	na	a + b	a + c
a + b	a + c	a + b + c	na
a + c	a + b	na	a + b + c

Řecko-latinské čtverce

Vytvořením z magického čtverce, čtverce čísel magického čtverce děleného řádem a zbytkem dělení, je někdy možné získat řecko-latinský čtverec. Zpětná práce byla provedena k nalezení čtverců řádu 4 Euler . V případě ďábelských čtverců řádu 4 existuje silná vazba s řecko-latinskými čtverci, protože 256 z 384 ďábelských čtverců může vést k řecko-latinským čtvercům. Hledání řecko-latinských čtverců řádu 4 je tedy dobrou metodou pro generování kouzelných čtverců, dokonce i ďábelských, ale není to vyčerpávající metoda.

Ďábelské náměstí

10	15	4	5
3	6	9	16
13	12	7	2
8	1	14	11

Rozdělení podle pořadí, 4

8	12	0	4
0	4	8	12
12	8	4	0
4	0	12	8

Zbývající část dělení o 4

1	2	3	0
2	1	0	3
0	3	2	1
3	0	1	2

Podívejte se také

Související články