V matematice se magický čtverec řádu n skládá z n 2 přísně kladných celých čísel , zapsaných ve tvaru čtvercového pole. Tato čísla jsou uspořádána tak, aby jejich součty na každém řádku, na každém sloupci a na každé hlavní úhlopříčce byly stejné. Hodnota těchto součtů se pak nazývá magická konstanta (a někdy hustota ).
Normální magický čtverec je speciální případ magický čtverec, vytvořeného ze všech celých čísel od 1 do n 2 , kde n je řád náměstí.
Magické čtverce byly čínským matematikům známy od roku 650 před naším letopočtem. AD , a arabští matematici, pravděpodobně kolem VII th století, kdy arabské armády dobyli severozápadně od Indie , učení indické matematiky, který zahrnoval některé aspekty kombinatoriky . První magické čtverce řádů 5 a 6 se objevily v encyklopedii publikované v Bagdádu kolem roku 983, Encyklopedie bratrstva čistoty ( Rasa'il Ikhwan al-Safa ). Jednodušší magické čtverce poznalo několik starších arabských matematiků. Některé z těchto čtverců používaly ve spojení s „magickými písmeny“ arabští iluzionisté a kouzelníci.
Tyto Arabové by být první v X -tého století do užívání za čistě matematické účely. Ahmad al-Buni , asi 1250 jim připisuje magické vlastnosti.
V Číně byly reprezentovány různými symboly (jako je tomu například u náměstí Xi'an), poté symbolizovanými čísly v Indii, kde byly vynalezeny arabské číslice . Vyskytují se v mnoha civilizacích v Asii a Evropě s obecně náboženskou konotací.
V roce 1510 německý filozof Cornelius Agrippa (1486-1535) hovořil znovu o magických čtvercích, vždy s náboženskou konotací, napsal pojednání De Occulta Philosophia, ve kterém představil teorii kombinující astrologii a magické čtverce. Na základě spisů Marsile Ficina a Jean Pic de la Mirandole vysvětluje vlastnosti sedmi magických čtverců řádu 3 až 9, z nichž každý je spojen s jednou z astrologických planet . Tato práce měla výrazný vliv v Evropě až do protireformace . Stejnou analogii mezi aritmetickým a kosmickým řádem planet sledují Jérôme Cardan ( Practica arithmetica et mensurandi singulari , 1539) a Athanasius Kircher ( Oedipus Ægyptiacus , 1653). Agrippovy magické čtverce se nadále používají v moderních magických obřadech, jak předepsal.
Simon de La Loubère , francouzský diplomat a matematik, publikovaný v roce 1691 Z království Siamu . Poprvé ve francouzštině zavádí pojem „magický čtverec“ a odhaluje novou konstrukční metodu známou jako „siamská metoda“, která umožňuje konstrukci čtverců libovolného lichého pořadí.
V XVII th století, francouzský právník a matematik Pierre de Fermat rozšiřuje zásadu magických čtvercových kouzelných kostkách . Bernard Frénicle de Bessy napsal pojednání o magických čtvercích (napsaných ve 40. letech 16. století, ale posmrtně publikovaných v roce 1693) a tabulkách pro všechny čtverce řádu 4.
K dispozici jsou kouzelná uspořádání pro libovolný čtverec řádu n ≥ 1. Čtverec řádu 1 je triviální, jakékoli číslo uvedené v jednom poli splňuje pravidla. Čtverec druhého řádu je také triviální, protože je to možné pouze opakováním stejného čísla ve všech čtyřech polích. Nejmenší netriviální případ je čtverec řádu 3.
Libovolný magický čtverec řádu 3 je zapsán jako součet cirkulující matice a anticirkulační matice . Tento rozklad není jedinečný a již neprobíhá ve vyšších dimenzích.
Magická konstanta normálního magického čtverce závisí pouze na n a rovná se: n ( n 2 + 1) / 2. Jako funkce řádu n = 3, 4, 5, 6, 7, 8… je to následující: 15, 34, 65, 111, 175, 260…. S výjimkou rotací a odrazů je počet normálních magických čtverců pro dimenze 1 až 5 uveden následovně: 1, 0, 1, 880, 275 305 224. Počet magických čtverců pro vyšší dimenze nebyl v roce 1999 znám a pravděpodobně stále je v roce 2016. Pro informaci Pinn a Wieczerkowski v roce 2004 odhadují, že pro magický čtverec řádu 6 je toto číslo přibližně 0,17 × 10 20 , tedy více než 10 miliard miliard.
Spojíme-li čísla určitých magických čtverců ve vzestupném pořadí, získáme figuru, která představuje centrální symetrii (viz obrázek naproti). Tato vlastnost je obecně nepravdivá.
Součty dvou magických čtverců stejných řádů také dávají magické čtverce, ale výsledek není normální, tj. Čísla netvoří posloupnost 1, 2, 3 ... Rozdíl dvou magických čtverců stejné objednávka také dává magický čtverec, ale to není normální.
„Produkt“ dvou magických čtverců vytváří magický čtverec řádu vyšší než dva multiplikátory. Tento produkt je také hotový. Nechť magické čtverce M a N jsou:
Násobení magických čtverců umožňuje generovat magické čtverce větších velikostí. Tato technika vytváří velké čtverce rychleji než budování pomocí jakékoli přímé metody (například La Loubère nebo Strachey).
V roce 1976 publikovali Benson a Jacoby metodu, která platí pro magické čtverce sudého i lichého řádu. Je však obtížnější použít než jiné „specializované“ metody. Z tohoto důvodu nebude v tomto článku vysvětleno.
Existuje několik přímých metod pro konstrukci čtverců lichého řádu a čtverců sudého řádu. Mezi nepřímými konstrukčními metodami jsou nejméně tři. Násobení magických čtverců je jedním z nich (viz část Operace ). Pokud je magický čtverec již vytvořen, je možné odvodit ostatní permutacemi jeho sloupců a řádků. Nakonec je možné vytvořit jeden „ohraničením“ již vytvořeného magického čtverce: je to magický čtverec s ohradou.
V XIX th století, Edward Lucas našel recept na magické čtverce objednávky 3. s , b a c o celých čísel :
c + a | c - a - b | c + b |
c - a + b | vs. | c + a - b |
c - b | c + a + b | že |
Těchto 9 čísel bude celých a odlišných, které vytvoří magický čtverec, pokud 0 < a < b < c - a a b ≠ 2 a . Kromě toho má tento tvar jakýkoli čtverec 3 × 3 zřetelných kladných celých čísel. Normální pořadí magického čtverce 3 odpovídá a = 1, b = 3, c = 5. Následuje Kuberakolam (en) (bývalý magický čtverec Ind ) přidáním 19 v každém případě odpovídá a = 1, b = 3, c = 24.
Metoda cimbuří šachovniceTuto konstrukční metodu publikoval v roce 1612 Claude-Gaspard Bachet de Méziriac v Příjemné a chutné problémy, které jsou řešeny pomocí čísel . Je založen na cimbuřím šachovnici.
Například pro kouzelný čtverec ze strany 5:
Siamská metodaSiamskou metodu zavedl do Francie Simon de La Loubère v roce 1688, když se vracel ze své ambasády v Siamu .
Metodu vystavenou La Loubèrem lze zobecnit. Předpokládejme, že se pohybujeme v kartézské rovině . Na obrázku výše je přechod šikmo doprava a nahoru ekvivalentní provedení překladu (1, 1). Pokud dojde ke kolizi, tj. Je obsazen další čtverec, dojde k překladu (0, –1). Philippe de La Hire stanovil podmínky, pro které je čtverec řádu N magický. Souřadnice vektoru „posunutí“ (C, L) a vektoru „srážky“ (C + c, L + l) musí splňovat následující podmínky:
Takto vytvořený čtverec je navíc ďábelský, pokud:
Například konstrukční metoda navržená byzantským Manuelem Moschopoulosem , zvaná „kurz šachového můstku “ , je reprezentována vektorem posunutí (1, 2) a vektorem srážky (1 + 1, 2 - 2) = (2, 0) .
Rhombusova metodaLichá čísla jsou vepsána tak, aby tvořila diamant ve „středu“ čtverce, odtud název metody publikovaný Johnem Hortonem Conwayem .
Metoda výpočtuNechť je matice
Nechte to provést
To je
To je
Takže magický čtverec
Buď pro každý prvek matice :
Nechte indexy a liší se od do , takže
Vytváření magických čtverců sudého řádu je obtížnější. Některé metody umožňují sestavení:
Podle Gérardina je Stracheyova metoda nejobecnější. Na druhou stranu je založen na již vytvořených magických čtvercích a nelze jej použít ke konstrukci magických čtverců řádu 4. Metoda Benjamina Franklina navíc vytváří magické čtverce s více vlastnostmi. Z těchto důvodů bude v této části představeno několik metod. Společně umožňují postavit libovolný čtverec rovnoměrného řádu.
Metoda permutací kolem úhlopříčekTato metoda se používá ke konstrukci čtverců dvojitého sudého řádu (4, 8, 12 ...). Je založen na pozorování, že tyto čtverce „lze snadno rozřezat a znovu rozřezat na polovinu“ , proto mají „geometrické vlastnosti symetrie“ :
Tato metoda, původně publikovaná Ralphem Stracheyem a poté prezentovaná v „elegantní formě“ Williamem H. Bensonem a Oswaldem Jacobym, umožňuje konstruovat magické čtverce rovnoměrného řádu, ale neumožňuje konstruovat všechny čtverce řádu. Počet takto vytvořených magických čtverců je však velmi vysoký. Například počet magických čtverců řádu 5 je 275 305 224 a Stracheyova metoda umožňuje vytvořit z každého z těchto magických čtverců alespoň jeden magický čtverec řádu 10.
Jelikož je výsledná šachovnice sudého řádu, je vždy dělitelná na čtyři dílčí kontroly, které nazýváme A, B, A 'a B'. Nechť N je řád magického čtverce.
Pokud N je jeden párPodle konvence rotace nebo odrážení magického čtverce nevytvoří nový čtverec. Na druhou stranu „výměnou dvou sloupců a dvou řad (symetricky umístěných ve vztahu ke středu) magického čtverce získáme nový magický čtverec, bratranec způsobem původního čtverce“ . Tato metoda permutací sloupců a řádků platí pro čtverce sudého i lichého řádu.
Obklopením nenormálního magického čtverce uzavřením, to znamená řadou čtverců, je možné vytvořit normální magický čtverec . Tato metoda je způsobena Frénicle . Kvůli vysvětlení budeme pracovat se dvěma magickými čtverci určité velikosti, ale metodu lze relativně snadno zobecnit:
Pro konstrukci magického čtverce řádu n> 2 je navrhovaná metoda vhodná pro čtverce sudých i lichých řádů. Spočívá v konstrukci tří lineárně nezávislých magických čtverců A , B a C stejného řádu. Stavební náměstí, závisí na tom, zda je pořadí liché, dokonce násobkem 4, nebo dokonce není násobkem 4. Čtvercový B je stále otáčení -90 ° čtvereční A . Čtverec C je triviální čtverec, který obsahuje celé číslo 1 ve všech jeho polích.
Výsledný magický čtverec má pak tvar T A + Rb + A c , kde t , r a jsou reálná čísla. Takový čtverec je aritmetický a pro lichý nebo sudý řád násobku 4 je asociativní.
16 | 3 | 2 | 13 |
5 | 10 | 11 | 8 |
9 | 6 | 7 | 12 |
4 | 15 | 14 | 1 |
Tento magický čtverec znal německý malíř Albrecht Dürer , který jej zahrnul do své rytiny Melencolia . Je kombinován takovým způsobem, že horizontálně, vertikálně nebo diagonálně je součet uvažovaných čísel 34, stejně jako součet čtyř čísel, která se objevují ve čtyřech středových polích nebo ve čtyřech rohových polích. Existuje mnoho možností, jak najít na Dürerově náměstí číslo 34. Vezměte tedy čtyři rohy, zkuste to znovu a vezměte každou krabici přímo za roh ve směru hodinových ručiček. Najít je všechny nějakou dobu trvá. Dürerovi se také podařilo zahrnout do dvou středových polí spodní řady datum (1514) jeho díla.
Passion fasáda baziliky Sagrada Familia v Barceloně ukazuje kouzelný čtverec řádu 4 vytvarovaný Josepem Maria Subirachsem . Magická konstanta je 33, věk Krista při jeho smrti. Čtverec je podobný Dürerovu, s výjimkou čtyř buněk, kde je počet snížen o 1.
1 | 14 | 14 | 4 |
11 | 7 | 6 | 9 |
8 | 10 | 10 | 5 |
13 | 2 | 3 | 15 |
Nedodržuje však obvyklá pravidla magického čtverce, přičemž dvě čísla (10 a 14) jsou použita dvakrát a další dvě čísla (12 a 16) chybí.
17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
Tento magický čtverec je „semi-ďábelský“, protože součet 65 se nachází na všech rozbitých úhlopříčkách, které jdou zleva doprava. Příklad: 15 + 23 + 6 + 19 + 2 = 65. Pokud by zlomené úhlopříčky směřující zprava doleva měly stejný magický součet, bylo by o čtverci řečeno, že je „ďábelský“. Je jich také mnoho.
6 | 32 | 3 | 34 | 35 | 1 |
7 | 11 | 27 | 28 | 8 | 30 |
19 | 14 | 16 | 15 | 23 | 24 |
18 | 20 | 22 | 21 | 17 | 13 |
25 | 29 | 10 | 9 | 26 | 12 |
36 | 5 | 33 | 4 | 2 | 31 |
Pořadí 6 je nejmenší liché sudé pořadí, pro které existují magické čtverce. Čtverec „Slunce“, reprezentovaný výše, je takový magický čtverec: to vypadalo, zejména (s chybou) na medaili nabízené Ludvíka XIV podle vévody z Aumont . Na tomto čtverci sleduje každá ze dvou úhlopříček aritmetický průběh kroků 5 pro jednu (sekvence od 6 do 31) a 7 pro druhou (sekvence od 1 do 36). V roce 2020 Roland Coquard navrhl metodu umožňující konstrukci normálních magických čtverců pro jakýkoli rovnoměrně lichý řád (jiný než 2), který vrací čtverec Slunce pro řád 6. Všimněte si, že ve čtverci Slunce, stejně jako pro všechny normální magické čtverce řádu 6, součet všech čísel je 1 + 2 +… + 36 = 666 .
52 | 61 | 4 | 13 | 20 | 29 | 36 | 45 |
14 | 3 | 62 | 51 | 46 | 35 | 30 | 19 |
53 | 60 | 5 | 12 | 21 | 28 | 37 | 44 |
11 | 6 | 59 | 54 | 43 | 38 | 27 | 22 |
55 | 58 | 7 | 10 | 23 | 26 | 39 | 42 |
9 | 8 | 57 | 56 | 41 | 40 | 25 | 24 |
50 | 63 | 2 | 15 | 18 | 31 | 34 | 47 |
16 | 1 | 64 | 49 | 48 | 33 | 32 | 17 |
Tento magický čtverec řádu 8 publikovaný Benjaminem Franklinem má několik vlastností. Součet čtverců stejné řady je 260, zatímco součet prvních čtyř rámečků je 130. Úsečka pod úhlem 45 ° začínající od levého sloupce a překračující první čtyři sloupce, poté sestupovat ke sloupci vpravo, najít osm čísel pro celkem 260, množství, které se zjistí sečtením čísel krajních polí a čtyř středových polí. Součet čísel čtverců 16 čtverců umístěných vedle sebe, aby vytvořil celý obrázek, je 130; toto číslo se zjistí sečtením číslic všech čtyř čtverců ve stejné vzdálenosti od středu. Je také možné vytvořit magický čtverec řádu 8 procházením ze čtverce na čtverec podle pravidel pro pohyb šachového jezdce.
1 | 8 | 53 | 52 | 45 | 44 | 25 | 32 |
64 | 57 | 12 | 13 | 20 | 21 | 40 | 33 |
2 | 7 | 54 | 51 | 46 | 43 | 26 | 31 |
63 | 58 | 11 | 14 | 19 | 22 | 39 | 34 |
3 | 6 | 55 | 50 | 47 | 42 | 27 | 30 |
62 | 59 | 10 | 15 | 18 | 23 | 38 | 35 |
4 | 5 | 56 | 49 | 48 | 41 | 28 | 29 |
61 | 60 | 9 | 16 | 17 | 24 | 37 | 36 |
Tento magický čtverec řádu 8 publikovaný generálem Cazalasem je ďábelský čtverec, protože rozbité úhlopříčky dávají charakteristický součet: 260. Kromě toho má každý dílčí čtverec dvou ze dvou celkem 130, což z něj činí čtverec „Hyper -kouzlo".
60 | 6 | 11 | 53 | 44 | 22 | 27 | 37 |
13 | 51 | 62 | 4 | 29 | 35 | 46 | 20 |
54 | 12 | 5 | 59 | 38 | 28 | 21 | 43 |
3 | 61 | 52 | 14 | 19 | 45 | 36 | 30 |
58 | 8 | 9 | 55 | 42 | 24 | 25 | 39 |
15 | 49 | 64 | 2 | 31 | 33 | 48 | 18 |
56 | 10 | 7 | 57 | 40 | 26 | 23 | 41 |
1 | 63 | 50 | 16 | 17 | 47 | 34 | 32 |
Tento panmagický čtverec 8. řádu publikovaný Willemem Barinkem představuje (téměř) všechny myslitelné panmagické vlastnosti. Také 4 kvadranty čtverce jsou panmagické čtverce. Částečné úhlopříčky a úhlopříčky Frankline (sestupně v průměrech) mají celkem 260: 18 + 25 + 45 + 38 + 59 + 52 + 8 + 15. Kromě toho existují pouze dva součty pro dvojice po sobě jdoucích čísel. Ve vodorovných řádcích ( 66, 64) a svislé čáry (73, 57).
138 | 8 | 17 | 127 | 114 | 32 | 41 | 103 | 90 | 56 | 65 | 79 |
19 | 125 | 140 | 6 | 43 | 101 | 116 | 30 | 67 | 77 | 92 | 54 |
128 | 18 | 7 | 137 | 104 | 42 | 31 | 113 | 80 | 66 | 55 | 89 |
5 | 139 | 126 | 20 | 29 | 115 | 102 | 44 | 53 | 91 | 78 | 68 |
136 | 10 | 15 | 129 | 112 | 34 | 39 | 105 | 88 | 58 | 63 | 81 |
21 | 123 | 142 | 4 | 45 | 99 | 118 | 28 | 69 | 75 | 94 | 52 |
130 | 16 | 9 | 135 | 106 | 40 | 33 | 111 | 82 | 64 | 57 | 87 |
3 | 141 | 124 | 22 | 27 | 117 | 100 | 46 | 51 | 93 | 76 | 70 |
134 | 12 | 13 | 131 | 110 | 36 | 37 | 107 | 86 | 60 | 61 | 83 |
23 | 121 | 144 | 2 | 47 | 97 | 120 | 26 | 71 | 73 | 96 | 50 |
132 | 14 | 11 | 133 | 108 | 38 | 35 | 109 | 84 | 62 | 59 | 85 |
1 | 143 | 122 | 24 | 25 | 119 | 98 | 48 | 49 | 95 | 74 | 72 |
Tento panmagický čtverec 12. řádu publikovaný Willemem Barinkem (konstanta 870) obsahuje téměř všechny myslitelné panmagické vlastnosti, s výjimkou přímých úhlů . Čtverec se skládá z 9 4 × 4 panmagických čtverců. Počínaje lichou buňkou v řadě je součet 4 po sobě jdoucích čísel 290 (= 1/3 celkového součtu řádku). V závislosti na instalaci čísel 1, 2, 3, 4 ... 144 je symetrický obrazec tvarově shodný s tvarem 8 × 8 panmagického čtverce výše. Podle této symetrie můžeme postavit všechny čtverce řádu 4k.
2,087 | 2633 | 2 803 | 2 753 | 3 389 |
2843 | 2,729 | 3 347 | 2099 | 2647 |
3 359 | 2113 | 2687 | 2819 | 2687 |
2663 | 2777 | 2699 | 3373 | 2153 |
2713 | 3413 | 2 129 | 2621 | 2,789 |
Magické čtverce mohou být také tvořeny zcela z prvočísel, jako v předchozím příkladu, což je také ďábelský čtverec kvůli tomu, že se tam objevuje mnoho symetrií (mimo jiné plné a volné kříže, diagonálně a vertikálně, stejně jako horizontální a vertikální překlady všech z nich). Magická konstanta je 13 665.
1480 028 159 | 1480 028 153 | 1480 028 201 |
1480 028 213 | 1480 028 171 | 1480 028 129 |
1480 028 141 | 1480 028 189 | 1480 028 183 |
Před rokem 1988 se často tázalo, zda existuje dokonalý primární čtverec pro objednávku 3. Byl to Harry L. Nelson, kdo v roce 1988 našel první dokonalý primární čtverec řádu 3 pomocí počítače Cray (v roce 1988 celkem 22). Nelson možná nepostupoval vyčerpávajícím způsobem, na rozdíl od polského Arkadiusze Wesolowského, který v dubnu 2015 našel 27, včetně Nelsona 22. Wesolowski proto našel 5 nových.
Pomocí programu v MAPLE vytvořeného Claudem St-Hilaireem Claude Bégin vyčerpávajícím způsobem našel prvních 8 dokonalých prvočísel řádu 3. 3. Ukázal tak, že před nejmenšími nejsou žádné, což také ukázal Wesolowski.
Chcete-li najít nová dokonalá čtverce, musíte se podívat za 27. čtverec na seznamu 27 dokonalých čtverců Wesolowski.
Od 20. dubna 2020 do 26. července 2020 našel Claude Bégin 23 nových dokonalých čtverců prvočísel řádu 3. Použitá metoda není vyčerpávající a spočívá ve vyhledání mnoha primárních čtverců (minimálně 541) pomocí tří p-generátorů 48 je dokonalých prvenství, včetně 23 nových od Béginu. Ty pak lze poznamenat (28) až (50) a přidat je za 27 Wesolowského, zaznamenaných od (1) do (27). Máme tedy 50 dokonalých primárních čtverců řádu 3 známých k 27. červenci 2020.
P-generátor je téměř normální primární čtverec tak, že přidáním stejného celého čísla do všech jeho polí získáme nový primární čtverec. Zde jsou perfektní primární čtverce (28) a (41):
103 987 093 601 | 103 987 093 607 | 103 987 093 559 |
103 987 093 547 | 103 987 093 589 | 103 987 093 631 |
103 987 093 619 | 103 987 093 571 | 103 987 093 577 |
Získání čtverce Béginovi trvalo přibližně 245 hodin s počítačem s Windows 10 pomocí aplikace MATHEMATICA (41).
316 653 447 389 | 316 653 447 413 | 316 653 447 311 |
316 653 447 293 | 316 653 447 371 | 316 653 447 449 |
316 653 447 431 | 316 653 447 329 | 316 653 447 353 |
V mentalismu staví někteří umělci během své show magické čtverce. Divák si myslí nebo říká číslo, umělec vytvoří magický čtverec během několika sekund.
Kouzelné čtverce nacházejí uplatnění při navrhování experimentů . Jedná se například o provádění biologických experimentů na pěti odrůdách rostlin, na které se vztahuje pět různých hnojiv. Růst rostlin ovlivňuje také půda s různými vlastnostmi, ve kterých rostou. Aby se minimalizoval vliv země, musí co nejvíce zasáhnout náhoda. Kouzelný čtverec řádu 5 tento požadavek velmi usnadňuje. Každá rostlina obdrží číselný identifikátor mezi 0 a 4 ( p ), stejný pro každé hnojivo ( e ). Každá dvojice ( p , e ) je přiřazena pozemku, předem rozdělené do 5 x 5 = 25 pozemků, podle tohoto vzorce: 5 x p + e + 1 (např., Pro rostliny n O 3 a hnojiva n o 2 , máme 5 × 3 + 2 + 1 = 18). Tuto techniku lze použít například při vývoji rodiny nových vakcín .
Tato část uvádí různé definice, které vám umožní lépe porozumět vysvětlení článku:
1 | 24 | 3 | 25 | 12 |
16 | 7 | 21 | 6 | 15 |
23 | 14 | 18 | 8 | 2 |
5 | 9 | 10 | 22 | 19 |
20 | 11 | 13 | 4 | 17 |