Okamžitá osa otáčení

Okamžitá osa otáčení je termín používaný v klasické mechanice a zejména v kinematice jmenovat osu, kolem níž se pevná látka se otáčí v daném okamžiku vzhledem k referenční rámec.

Pokud lze použít zjednodušení problémů s rovinou , hovoří se o okamžitém středu otáčení (CIR) .

Problém roviny: okamžitý střed otáčení

Definice

Když je pohyb izolované pevné látky v mechanickém smyslu tohoto pojmu takový, že rychlosti každého z jejích bodů zůstávají rovnoběžné s danou rovinou, můžeme tento pohyb studovat tak, že se omezíme na tuto rovinu. Mluvíme pak o pohybu v rovině , nebo dokonce o pohybu v rovině, jedné z rovin označujících těleso a druhé rovině referenční rovinu. Pokud označíme O xy tuto referenční rovinu, je vhodné ponechat osu O z kolmou k rovině, aby bylo možné nadále používat součin . Okamžitý střed otáčení (obvyklá zkratka CIR ) je definován jako bod, kde je vektor rychlosti nulový.

V referenční rovině je okamžitý střed otáčení umístěn kolmo ke každému rychlostnímu vektoru izolované pevné látky, která prochází bodem jeho aplikace.

Když se izolované těleso pohybuje pouze v translaci v rovině, okamžitý střed otáčení se promítne do nekonečna.

Kinematický torsor sníží na okamžitého středu otáčení je:

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {V}} _ {\ mathrm {S / R}} \} = {\ begin {matrix} \\\ \ end {matrix}} _ {\ mathrm {CIR}} {\ začátek {Bmatrix} \ {\ vec {\ Omega}} _ {\ mathrm {S / R}} \\\ {\ vec {0}} \ konec {Bmatrix}} _ {\ mathrm {O}, x, y , z}}

Příklad kankánových tanečníků

Na obrázku jsou kankánové tanečnice při pohledu shora. Uvažujme o celkovém pohybu pěti tanečníků v řadě, to znamená, že zůstávají navzájem ve pevné poloze; soubor těchto pěti tanečníků lze poté považovat za součást tělesa v mechanickém smyslu tohoto pojmu. Představme si nyní choreografii, kde se točí kolem centrální tanečnice (zatímco zůstávají v souladu s pevnou interdistance ...): můžeme říci, že okamžitý střed otáčení je v poloze centrální tanečnice, protože nemá žádnou rychlost vzhledem k místnosti (je obsah se sama zapnout), na rozdíl od jejích společníků, kteří mají rychlost úměrnou jejich vzdálenosti od středu.

Odůvodnění

Zvažte část, která má jakýkoli rovinný pohyb, například pohyb ojnice. Pokud pořídíme fotografii, dojde k rozmazání způsobenému pohybem: body se „točí“ a úsečky generované body jsou obrazem vektorů rychlosti.

Pokud by se ojnice otáčela kolem svého okamžitého středu otáčení, získali bychom podobnou fotografii se stejným rozostřením. Ve velmi krátké době - expoziční době fotografie - jsou oba pohyby ekvivalentní.

Přísněji : kinematický torzor tělesa v rovinném pohybu v rovině (O xy ) redukovaný na libovolný bod A je zapsán:

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {V}} _ {\ mathrm {S / R}} \} = {\ begin {matrix} \\\ \ end {matrix}} _ {\ mathrm {A}} {\ začít {Bmatrix} 0 & v_ {x} (\ mathrm {A}) \\ 0 & v_ {y} (\ mathrm {A}) \\\ omega _ {z} & 0 \ end {Bmatrix}} _ { \ mathrm {O}, X Y Z}}

je to posuvník a jsou ortogonální. Existuje tedy bod B takový, že . Podle vlastnosti ekviprojektivity máme ${\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {A}})$ ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {B}}) = {\ vec {0}}$

{\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {B}}) = {\ vec {0}} = {\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {A }}) + \ overrightarrow {{\ mathrm {BA}}} \ klín {\ vec {\ Omega}}

Pokud označíme (X, Y, 0) komponenty , pak máme $\ overrightarrow {{\ mathrm {BA}}}$

\ left \ {{\ begin {matrix} {\ mathrm {X}} = v_ {y} / \ omega _ {z} \\ {\ mathrm {Y}} = - v_ {x} / \ omega _ {z } \ end {matrix}} \ vpravo.

pokud ω z není nula, pak bod B existuje a je jedinečný a nezávisí na bodě A; nazývá se to okamžitým středem otáčení.

Využití okamžitého středu otáčení v rovinné kinematické úloze

Zvažte pohyb v rovině, který není translačním pohybem. Na krátkou dobu se všechno stane, jako by těleso bylo v rotačním pohybu kolem svého okamžitého středu otáčení. Poté můžeme použít vztahy vytvořené v případě rotačních pohybů, zejména pojem rychlostního trojúhelníku . To umožňuje určit vektor rychlosti v kterémkoli bodě tělesa za předpokladu, že:

vektor rychlosti v bodě;
poloha okamžitého středu otáčení.

Metoda je alternativou k metodě ekviprojektivity .

Vezměme si příklad automobilu v zatáčce, jehož známe směr, směr, bod aplikace a intenzitu (5 m / s) vektoru rychlosti předního kola. Směr, bod aplikace a směr zadního kola jsou také známé. Body A a B jsou středy kol, respektive body použití jejich vektoru rychlosti.

Cílem je určit intenzitu vektoru rychlosti zadního kola.

Grafické rozlišení díky okamžitému středu otáčení:

Je zvolena rychlostní stupnice, například 10 mm pro 1 m / s ;
Umístíme vektor rychlosti předního kola do bodu A;
Sledujeme (červeně) směr vektoru rychlosti zadního kola v bodě B;
Okamžitý střed otáčení je umístěn na přímce procházející bodem aplikace vektorů rychlosti a kolmo k nim: zelené čáry jsou proto nakresleny a je odvozen okamžitý střed otáčení;
Změří se segment [CIR B] a měření se přenese do segmentu [CIR A] modrá čára;
Nakreslíme přímku procházející okamžitým středem otáčení a koncem vektoru rychlosti spojeného s bodem A;
Nakreslíme segment kolmý na [CIR A] procházející měřením hlášeným na [CIR A] a řezáním segmentu procházejícího CIR a na konec ; ${\ vec V} _ {{{\ mathrm {A}}}}$
Změříme tento poslední segment a jako funkci stupnice zjistíme intenzitu vektoru rychlosti . ${\ vec V} _ {{{\ mathrm {B}}}}$

Základna a válcování

V průběhu času se okamžitý střed otáčení pohybuje. V referenční rovině popisuje křivku zvanou základna . V rovině související s pohybujícím se tělesem popisuje křivku zvanou válcování . Během pohybu se kolo odvaluje, aniž by sklouzlo po základně.

Prostorový problém: okamžitá osa otáčení

V případě nedeformovatelného tělesa je rychlostní pole bodů tělesa ekviprojektivní , jedná se tedy o torzor : kinematický torzor . Pokud těleso není v překladu ve srovnání s referenčním rámcem, pak výslednice není nula. Můžeme tedy najít středovou osu (Δ), to znamená přímku, na které je moment rovnoběžný s touto osou. Tato osa je rovnoběžná s . ${\ vec {\ Omega}}$ ${\ vec {{\ mathrm {V}}}}$ ${\ vec {\ Omega}}$

Tato osa je okamžitá osa otáčení.

Tato představa se stává zajímavou, když je vektor rychlosti na této ose nulový, to znamená v případě rotace kolem pevné osy v referenčním rámci, nebo když je střed setrvačnosti zapnutý (Δ). Vztah mezi momentem hybnosti a dynamickým momentem se stává: ${\ vec {\ sigma}}$ ${\ vec {\ delta}}$

\ forall {\ mathrm {A}} \ in (\ Delta), {\ vec {\ delta}} ({\ mathrm {A}}) = {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ vec {\ sigma}} ({\ mathrm {A}})

a tak

{\ displaystyle {\ vec {\ delta}} (\ mathrm {A}) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} \ klín m {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {G}) + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ([\ mathrm {I_ {G}} ] \ cdot {\ vec {\ Omega}})}

kde [ IG ] je matice setrvačnosti pevné látky; a pokud je tato matice setrvačnosti konstantní (například pokud je těleso nedeformovatelné):

{\ displaystyle {\ vec {\ delta}} (\ mathrm {A}) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} \ klín m {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {G}) + [\ mathrm {I_ {G}}] \ cdot {\ vec {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}}} {\ vec {\ Omega}}}

Pokud je G zapnuto (Δ), je to dále zjednodušeno: a jsou kolineární, protože obě kolineární s (Δ), tedy $\ overrightarrow {{\ mathrm {AG}}}$ ${\ vec {{\ mathrm {V}}}} ({\ mathrm {G}})$

{\ vec {\ delta}} ({\ mathrm {A}}) = [{\ mathrm {I_ {G}}}] {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {\ Omega}}} {{\ mathrm {d}} t}}.

Tuto rovnici můžeme dále zjednodušit ve formě

{\ vec {\ delta}} ({\ mathrm {A}}) = {\ mathrm {I}} _ {{(\ Delta)}} {\ vec {\ alpha}}

kde I (Δ) je moment setrvačnosti kolem osy otáčení a je vektorem úhlového zrychlení . $\ vec {\ alpha}$

Bibliografie

Michel Combarnous , Didier Desjardins a Christophe Bacon , Mechanika pevných látek a systémy pevných látek , Dunod , kol. "Vyšší vědy",2004, 3 e ed. ( ISBN 978-2-10-048501-7 ) , str. 20-21, 30-31, 50-54,
J. Lelong-Ferrand a JM Arnaudiès , Geometry and kinematics , Dunod University,1977, 2 nd ed. ( ISBN 2-04-003080-8 )

Podívejte se také

Související články