Circle of Euler

V geometrii je Eulerova kruh z trojúhelníku (také nazývaný devíti bod kruh , kruh Feuerbach , kruh Terquem , prostřední kruh ) je unikátní kruh přes devět těchto významných bodů:

Tři středy tří stran trojúhelníku; $I_ {i}$
Patka každé ze tří výšek trojúhelníku; $Ahoj$
Střed každého ze tří segmentů spojujících ortocentrum H s vrcholem trojúhelníku. $J_ {i}$

Objev

V roce 1821 francouzští matematici Brianchon a Poncelet společně prokázali, že středy po stranách a nohy výšek trojúhelníku jsou cyklické: zdůrazňují tak existenci kruhu procházejícího těmito šesti pozoruhodnými body. Následující rok výsledek znovu objevil německý zeměměřič Feuerbach . Eulerův kruh se také nazývá Feuerbachův kruh. Navíc ještě v roce 1822 demonstroval, že kružnice devíti bodů je tečná externě k excipovaným kruhům a interně tečná k vepsané kružnici trojúhelníku. Tento výsledek se nazývá Feuerbachova věta a přidává čtyři nové pozoruhodné body: kontaktní body, nazývané Feuerbachovy body .

Poté Terquem prokázal, že do tohoto kruhu patří další tři body: středy segmentů tvořené vrcholy trojúhelníku a orthocentrem. V roce 1842 poskytl Terquem druhý důkaz Feuerbachovy věty. Třetí geometrický důkaz byl poskytnut v roce 1854.

Od té doby bylo do seznamu bodů v kruhu přidáno několik desítek dalších významných bodů trojúhelníku.

Geometrická demonstrace

Čtyřúhelník je lichoběžník, protože je rovnoběžný s . Tato lichoběžník je rovnoramenný, protože podle Thales teorému v trojúhelníku , je polovina . Nyní je to stejné s mediánem pravého trojúhelníku . Nyní lze rovnoramenný lichoběžník psát do kruhu. Z toho vyplývá, že body , , a jsou cyklické. Totéž platí o ostatních bodech . ${\ displaystyle I_ {1} I_ {3} I_ {2} H_ {1}}$ ${\ displaystyle (I_ {2} I_ {3})}$ ${\ displaystyle (BC) = (I_ {1} H_ {1})}$ $(ABC)$ ${\ displaystyle I_ {1} I_ {2}}$ $AB$ ${\ displaystyle H_ {1} I_ {3}}$ ${\ displaystyle ABH_ {1}}$ $I_1$ $I_ {2}$ $I_ {3}$ $H_ {1}$ $Ahoj$
Úhel je pravý. Totéž platí pro úhel , protože je rovnoběžná s , a, v souladu s Thales teorém v trojúhelníku , je rovnoběžná s , která je kolmá k . Výsledkem je, že tyto dva trojúhelníky a jsou obdélníky, tak pojmenované v průměru kruhu a tedy body , , a jsou cyklické. První tři jsou prvky Eulerova kruhu, je to stejné s . Stejná úvaha platí i pro ostatní body . ${\ displaystyle I_ {1} H_ {1} J_ {1}}$ ${\ displaystyle I_ {1} I_ {3} J_ {1}}$ ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {3})}$ $(AC)$ ${\ displaystyle ABH}$ ${\ displaystyle I_ {3} J_ {1}}$ ${\ displaystyle (BH)}$ $(AC)$ ${\ displaystyle I_ {1} H_ {1} J_ {1}}$ ${\ displaystyle I_ {1} I_ {3} J_ {1}}$ ${\ displaystyle [I_ {1} J_ {1}]}$ $I_1$ $I_ {3}$ $H_ {1}$ $J_ {1}$ $J_ {1}$ $J_ {i}$

Důkaz homothety

Kružnice devíti bodů Eulera je homotetická z kruhu ohraničeného na trojúhelník ve dvou homothetych:

homothety centra G a poměr $- 1 / 2$ : umožňuje nastavit linii a kruh Eulera.

homothety centra H a poměr $1 / 2$ : umožňuje najít devět bodů Eulerovy kružnice jako odpovídající body popsané kružnice.

Homothety centra G

Označme I 1 střed [ BC ], I 2 střed [ AC ] a I 3 střed [ AB ]. Homothety středu G a poměr $- 1 / 2$ transformuje trojúhelník na střední trojúhelník a kruh ohraničený na kruh ohraničený : tento poslední kruh je přesně Eulerův kruh . $(ABC)$ ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {2} I_ {3})}$ $(ABC)$ ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {2} I_ {3})}$

Nechť H je bod zarovnaný s G a O , homothety se středem G a poměrem $- 1 / 2$ transformuje do O : pak H je ortocentrum trojúhelníku ABC . Nechť A 1 je symetrický k A vzhledem k O a vezměme si trojúhelník AHA 1 : G je jeho těžiště, protože v $2 / 3$ od přímky spojující vrchol H s bodem O , středem strany AA 1 ; AG je další medián; I 1 je tedy střed HA 1 , řádky ( OI 1 ) a ( AH ), jsou tedy rovnoběžné, a . Protože ( OI 1 ) je kolmý k ( BC ) konstrukcí kruhu ohraničeného trojúhelníkem ABC , přímka ( AH ) je jeho výška, stejně jako ( BH ) a ( CH ) ze stejného uvažování. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OI_ {1}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ overrightarrow {AH}}}$

H- střed homothety

Homothety středu H a poměr $1 / 2$ , transformuje A 1 na I 1 , stejným způsobem jsou body I 2 a I 3 obrazy dvou bodů ohraničené kružnice. Eulerova kružnice ohraničená na trojúhelník je obrazem kružnice ohraničené v homotety středu H a poměru ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {2} I_ {3})}$ $(ABC)$ $1 / 2$ .

Označíme K 1 , průsečík výšky ( AH 1 ) s ohraničenou kružnicí (jiný než A ) . Segment [ AA 1 ], který je průměrem, je trojúhelník AK 1 A 1 vepsaný do půlkruhu obdélníkem. Přímky ( BC ) a ( K 1 A 1 ), kolmé na výšku ( AH 1 ), jsou rovnoběžné. Přímka ( I 1 H 1 ) prochází středem I 1 [ HA 1 ], je to čára středů HA 1 K 1 , H 1 je tedy středem [ HK 1 ]. Přímka ( HK 1 ) je kolmá na ( BC ), K 1 je symetrická k H vzhledem k ( BC ).

Symetrické linie orthocentra vzhledem ke stranám trojúhelníku jsou umístěny na kružnici ohraničené trojúhelníkem.

Bod H 1 je střed [ HK 1 ], takže obraz K 1 u centra stejnolehlost H . Jelikož K 1 se nachází na opsané kružnici, H 1 je na Eulerově kružnici.

Nohy výšek jsou umístěny na Eulerově kruhu.

Homothety se středem H transformuje vrcholy trojúhelníku do středů segmentů [ AH ], [ BH ] a [ CH ], což jsou tři Eulerovy body K 1 , K 2 , K 3 umístěné na kružnici.

Byl to matematik Leonhard Euler, který si poprvé všiml, že v libovolném trojúhelníku ( ABC ) je těžiště G , střed ohraničené kružnice Ω a ortocentrum H vyrovnány. (Přesně homothety středu G a poměr $- 1 / 2$ transformuje H na O. )

Některé vlastnosti

Pomocí homothety uvedené v prvním odstavci ukážeme, že:

Poloměr Eulerovy kružnice je polovina poloměru popsané kružnice.

Jeho střed, to znamená, že je na pravé straně Euler , máme: $\ Omega$

${\ displaystyle {\ overline {GH}} = - 2 {\ overline {GO}}}$ a ${\ displaystyle {\ overline {G \ Omega}} = - {1 \ nad 2} {\ overline {GO}}}$

co se usuzovat, že v trojúhelníku, střed kruhu Euler , je na střed [ HO ], úsečky spojující orthocenter H na circumcenter O . $\ Omega$

Z těchto vztahů odvodíme, že body jsou v harmonickém dělení : ${\ displaystyle (O, \ Omega, G, H)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ overline {GO}} {\ overline {G \ Omega}}} = - {\ frac {\ overline {HO}} {\ overline {H \ Omega}}}}$

Eulerův kruh je kruh ohraničený středním trojúhelníkem (tvořeným středovými body po stranách) a ortickým trojúhelníkem (tvořeným nohama výšek).
jakákoli rovnostranná hyperbola procházející třemi vrcholy má střed na Eulerově kruhu, zejména hyperbola Kieperta , Jeřábka a Feuerbacha . Toto je Feuerbachova kónická věta .
Eulerova kružnice je tečná interně ke kružnici vepsané pomocí ABC a tečná externě k jejím exkripčním kružnicím. Toto je Feuerbachova věta .

Pascalův hexagram

Věta - V zapisovatelný šesticípé hvězdy protilehlé strany protínají v P , Q a R . Body P , Q a R jsou zarovnány na Pascalově linii ( PQ ).

Protilehlé strany šestiúhelníku přes H 1 I 2 H 2 I 3 H 3 I 2 H 1 , vepsaný do kruhu Eulerovy protínají v P , Q a R .

Projektivní vlastnost, kterou Euler neviděl:

Pascal právo hexagramu je Euler linie trojúhelníku.

Zobecnění

Eulerovy kruh je zvláštní případ kuželovité části , kde to bylo považováno za tři vrcholy , B a C a její orthocenter H . Tyto čtyři body tvoří úplný čtyřúhelník, ale především ortocentrický systém . Pokud vezmeme v úvahu úplný čtyřúhelník, který není ortocentrický, najdeme podobnou vlastnost tím, že ukážeme, že křižovatka prochází průsečíky úhlopříček a středů šesti stran čtyřúhelníku. Křivka je elipsa, pokud H je uvnitř ABC , a hyperbola, pokud ne (je dokonce rovnostranná, pokud H je na ohraničené kružnici ABC ).

Podívejte se také

Bibliografie

Jean-Denis Eiden, Classical analytical geometry, Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 )

Poznámky a odkazy

Tento pravý trojúhelník je vepsán do kruhu se středem a poloměrem . $I_ {3}$ ${\ displaystyle I_ {3} A = I_ {3} B = I_ {3} H_ {1}}$
Trajan Lalesco, Geometrie trojúhelníku , Paříž, Gabay,1987( 1 st ed. Vuibert - 1952), 120 str. ( ISBN 2-87647-007-1 )