Klasifikace diskontinuit
V matematice mají spojité funkce primární význam. Ne všechny funkce jsou však spojité. Jeden volá diskontinuitu jakýkoli bod pole funkce, kde tento není spojitý. Sada nespojitostí funkce může být diskrétní , hustá nebo dokonce celá doména .
V tomto článku budou studovány pouze diskontinuity reálných funkcí se skutečnými hodnotami .
Definice
Uvažujeme funkci se skutečnými hodnotami reálné proměnné , definovanou v sousedství bodu, kde je diskontinuální. Pak máme tři možnosti:
F{\ displaystyle f}X{\ displaystyle x}X0{\ displaystyle x_ {0}}F{\ displaystyle f}
- levá hranice a omezení práva na existují a jsou konečné a rovné.L-=limX→X0-F(X){\ displaystyle L ^ {-} = \ lim _ {x \ až x_ {0} ^ {-}} f (x)}L+=limX→X0+F(X){\ displaystyle L ^ {+} = \ lim _ {x \ až x_ {0} ^ {+}} f (x)}X0{\ displaystyle x_ {0}}Pak, pokud není rovno , se x 0 nazývá zdánlivá diskontinuita . Nespojitost lze vymazat ve smyslu funkceF(X0){\ displaystyle f (x_ {0})}L: =L-=L+{\ displaystyle L: = L ^ {-} = L ^ {+}}X↦{F(X)X≠X0LX=X0{\ displaystyle x \ mapsto {\ begin {cases} f (x) & x \ neq x_ {0} \\ L & x = x_ {0} \ end {cases}}}je spojitá při x = x 0 ;
- limity a existují a jsou konečné, ale nejsou si rovny.L-{\ displaystyle L ^ {-}}L+{\ displaystyle L ^ {+}}Pak se x 0 nazývá diskontinuita skoku . V tomto případě nezáleží na hodnotě ƒ při x 0 ;
- alespoň jeden ze dvou limitů a neexistuje nebo je nekonečný.L-{\ displaystyle L ^ {-}}L+{\ displaystyle L ^ {+}}Mluvíme pak o zásadní diskontinuitě nebo diskontinuitě druhého druhu , na rozdíl od dvou předchozích případů, které seskupujeme pod názvem diskontinuity prvního druhu . (Podstatné nespojitosti je třeba odlišit od podstatných singularit jednoho funkce komplexní proměnné ).
Výraz „zdánlivá diskontinuita“ se někdy používá místo „ zdánlivé singularity “ pro bod, kde funkce není definována, ale má konečnou hranici. Toto je zneužití jazyka, protože (ne) kontinuita má význam pouze v jednom okamžiku v doméně funkce.
Příklady
Jediné diskontinuity monotónní funkce ve skutečném intervalu jsou skoky podle monotónní limitní věty .
Funkce
X↦{X2 -li X<10 -li X=12-X -li X>1{\ displaystyle x \ mapsto {\ begin {cases} x ^ {2} & {\ mbox {si}} x <1 \\ 0 & {\ mbox {si}} x = 1 \\ 2-x & {\ mbox {if}} x> 1 \ end {cases}}}je diskontinuální a jedná se o zjevnou diskontinuitu. Limity nalevo i napravo v 1 mají hodnotu 1.
X0=1{\ displaystyle x_ {0} = 1}
Funkce
X↦{X2 -li X<10 -li X=12-(X-1)2 -li X>1{\ displaystyle x \ mapsto {\ begin {cases} x ^ {2} & {\ mbox {si}} x <1 \\ 0 & {\ mbox {si}} x = 1 \\ 2- (x-1 ) ^ {2} & {\ mbox {si}} x> 1 \ end {cases}}}je diskontinuální a je to diskontinuita skoku.
X0=1{\ displaystyle x_ {0} = 1}
Funkce
X↦{hřích5X-1 -li X<10 -li X=11X-1 -li X>1{\ displaystyle x \ mapsto {\ begin {cases} \ sin {\ frac {5} {x-1}} & {\ mbox {si}} x <1 \\ 0 & {\ mbox {si}} x = 1 \\ {\ frac {1} {x-1}} a {\ mbox {si}} x> 1 \ end {případů}}}je diskontinuální a je zásadní diskontinuitou. Stačilo by, že jeden ze dvou limitů (nalevo nebo napravo) neexistuje nebo je nekonečný. Tento příklad však umožňuje ukázat zásadní diskontinuitu i pro rozšíření do komplexní domény.
X0=1{\ displaystyle x_ {0} = 1}
Klasifikace oscilací
Kmitání z funkce v bodě kvantifikuje diskontinuitu, jako je tento:
- pro zjevnou diskontinuitu je vzdálenost mezi limity a hodnotou funkce v bodě jeho oscilací;
- pro skok je velikost skoku jeho oscilací (za předpokladu, že bodová hodnota je mezi dvěma limity);
- v zásadní diskontinuitě oscilace měří neschopnost limitu existovat.
Sada nespojitostí funkce
Množina bodů, kde mapa od ℝ do ℝ je spojitá, je vždy množina G δ . Ekvivalentně je množinou jejích diskontinuit množina F σ . Naopak jakékoli F σ z ℝ je množina diskontinuit mapy od ℝ do ℝ.
Teorém Froda řekl, že všechny první druh nespojitosti reálné funkce je spočetná .
Funkce Thomae je přerušovaný ve všech racionální a nepřetržitý ve všech iracionální .
Funkce racionálního indikátoru nebo Dirichletova funkce je ve všech bodech nespojitá .
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v
angličtině s názvem
„ Klasifikace diskontinuit “ ( viz seznam autorů )
, jehož odkaz byl: (en) SC Malik a Savita Arora , Mathematical Analysis , New York, Wiley,1992, 2 nd ed. , 903 s. ( ISBN 0-470-21858-4 ).
-
To platí obecněji pro aplikaci topologického prostoru v metrickém prostoru . Pro ukázku viz například část „Diskontinuity“ článku „Oscilace (matematika)“ .
-
In (in) „ Je každá množina množinou bodu spojitosti nějaké funkce ? Gδ{\ displaystyle G _ {\ delta}}F{\ displaystyle f} » , Na Mathematics Stack Exchange , Dave L. Renfro dává odkaz, který poskytuje mimo jiné jako reference, pro tuto větu, kterou čísluje :
2′{\ displaystyle 2 '}
- [8] (en) Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner a Andrew M. Bruckner (en) , Elementary Real Analysis , sv. 1, www.classicalrealanalysis.com,2008, 2 nd ed. ( 1 st ed. , 2001, Prentice Hall) ( číst on-line ) , str. 261 ;
- [16] (en) Bernard R. Gelbaum a John MH Olmsted, Counterexamples in Analysis , Dover,2003( 1 st ed. 1964) ( číst čára ) , str. 30-31, příklad 23;
- [20] (cs) MG Goluzina, AA Lodkin, BM Makarov a AN Podkorytov, Vybrané problémy v reálné analýze , AMS ,1992( číst online ) , s. 168 (řešení úlohy 1.8.b);
- [22] (de) Hans Hahn , Theorie der reellen Funktionen , Julius Springer ,1921( číst online ) , s. 201 ;
- [25] (de) Ernest W. Hobson , Theory of Functions of a Real Variable and Theory of Fourier's Series , sv. 1, POHÁR ,1921, 2 nd ed. ( číst online ) , s. 297-298, § 237 (velmi blízký původnímu dokladu Williama H. Younga , 1903);
- [28] (de) Wieslawa J. Kaczor a Maria T. Nowak, Problémy v matematické analýze , sv. 2: Kontinuita a diferenciace , AMS,2001( 1 st ed. , 1998) ( číst on-line ) , str. 203, řešení úlohy 1.7.16;
- [38] (en) Themis Mitsis, „ Cvičení v analýze klasického reálu “ , s. 24-25, cvičení 3.11b;
- [40] (en) John C. Oxtoby (de) , Measure and Category , coll. " GTM " ( n o 2)1980, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1971) ( číst on-line ) , str. 31-32Věta 7,2;
- [41] (en) James Pierpont , Přednášky o teorii funkcí reálných proměnných , sv. 2, Ginn and Company,1912, 2 nd ed. ( číst online ) , s. 467, § 472;
- [44] (en) Arnoud CM Van Rooij a Wilhelmus H. Schikhof, Druhý kurz skutečných funkcí , CUP,1982( číst online ) , s. 45, cvičení 7.G a 7.H
a poukazuje na zobecnění, včetně
Podívejte se také
Související články
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">