Kmitání kvantifikuje tendenci se funkce nebo více pohybuje mezi hodnotami extremální . Existuje několik pojmy kmitání: kmitání z řady reálných čísel , oscilace funkce s hodnotami v v metrickém prostoru (jako ℝ ), na místě, nebo na části své domény definice .
Oscilace ω ( a ) reálné sekvence a = ( a n ) n je rozdíl mezi její horní a dolní mezí :
Je definován, pokud tento rozdíl nemá tvar (+ ∞) - (+ ∞) nebo (–∞) - (–∞) , tj. Pokud posloupnost směřuje k + ∞ nebo k –∞ . Má hodnotu + ∞, když je sekvence neomezená . Při konvergování sekvence je nula .
Pokud f je reálná funkce definovaná na nastavené X , kmitání ω f ( U ) z f o neprázdný části U z X, je rozdíl mezi horní a dolní mezí o f o U :
Obecněji řečeno, pokud f je ceněn v nastaveném E se vzdáleností d , ω f ( U ) je průměr z obrazu o U o f :
To je vždy nastavena a je + ∞ , je-li funkce není omezená na U .
Pokud je doména X o f má topologii , definujeme kmitání ω f ( ) o f v každém bodě A z X, jako spodní hranici svých oscilací w f ( U ) při U prochází filtrační V ( k ) z okolím z , nebo dokonce jen základ W ( ) o v ( a ) :
Pokud má navíc f skutečnou hodnotu, je tato oscilace rozdílem mezi horní a dolní mezí f při a :
Vždy si můžeme vybrat pro W ( a ) množinu otvorů, které obsahují a . V případě, že topologický prostor X je metrizable , lze rovněž zvolit jako báze na rodinu z kuliček (otevřené například) B ( , e) se středovou A a poloměru ε> 0 a zkontrolovat, zda
který, pokud je měřitelný prostor X množina reálných čísel (opatřených obvyklou vzdáleností ), je přepsán:
Oscilace f v bodě A, jeho domény je nula, jestliže a pouze tehdy, pokud f je spojitá v .
Kromě toho, všechny výše uvedené rovnosti rozšířit na případ, kdy f je definován pouze na části Y z X , na které je pouze adherentní , nahrazením filtru V ( k ), z čtvrtích se tím, že, V Y ( ) , jejich průsečíky s Y . Oscilace f na a je nulová právě tehdy, když je obrazový filtr , f ( V Y ( a )) , Cauchy . Když příchod metrický prostor E je kompletní , to znamená, že opět, což odpovídá existenci limitu při pro f .
Když je X metrizovatelné a E úplné, je-li f spojité nad podprostorem Y , rozšiřuje se spojitě na G δ bodů přilnavých k Y, ve kterých je oscilace f nulová.
Pojem oscilace v adherentním bodě také zevšeobecňuje představu oscilace od sekvence v ℝ po libovolnou sekvenci v E , považovanou za funkci v diskrétním prostoru Y = considering , s ohledem na a = + ad , dodržující compact v kompaktizovaném zvuku Alexandrova X = ℕ∪ {+ ∞} .
Aplikace a ↦ ω f ( a ) umožňuje kvantifikovat diskontinuity f a klasifikovat je .
Je také nadstandardně polokontinuální , takže množina Δ ( f ) bodů diskontinuity f je F σ , protože spojení uzavřeného Δ n ( f ) = { a ∈ X | ω f ( a ) ≥ 1 / n }. Předáním na komplementární, množina bodů kontinuity f je G δ , počitatelný průnik z těch otevřených { ∈ X | ω f ( a ) , 1 / n }.
To také poskytuje velmi rychlý důkaz o jednom ze dvou směrů Lebesgueova kritéria pro Riemannovu integrovatelnost , a to: pokud Δ ( f ) není Lebesgueově zanedbatelné , pak f není Riemannovo integrovatelné, protože I + ( f ) - I - ( f ) ≥ λ (Δ n ( f )) / n .