V matematice , a přesněji v algebraické geometrii se Jacobian hypotéza je domněnka týkající se polynomů s několika proměnných . To bylo navrženo v roce 1939 Ott-Heinrichem Kellerem (in) a Shreeram Abhyankar mu dal po svém současném jménu, popularizovaném jako příklad otázky algebraické geometrie vyžadující jen málo znalostí.
Jacobian dohad je také známý pro velké množství pokusů o důkazy, které vyvolal, které obsahovaly jemné chyby. V roce 2015 nebyla žádná demonstrace uznána jako platná.
Pro N > 1 nechme N polynomy F i (pro 1 ≤ i ≤ N ) v proměnných X 1 ,…, X N a jejichž koeficienty patří do algebraicky uzavřeného pole k (můžeme ve skutečnosti předpokládat, že k = C , pole komplexních čísel). Zvažte tuto posloupnost polynomů jako vektorovou funkci F : k N → k N, jejíž komponenty jsou F i . Jakobián J z F je podle definice determinant z Jacobian matice N x N , vytvořené z parciálních derivací z F i , pokud jde o X j : J je sama funkcí N proměnných X 1 , ..., X N ; a dokonce i polynomiální funkce.
Podmínka J ≠ 0 zajišťuje (pro běžné funkce, a tedy zejména pro polynomy) existenci lokální inverze pro F (toto je věta implicitních funkcí ) v každém bodě, kde je ověřena. Protože k je algebraicky uzavřeno a J je polynom, J pro některé hodnoty X 1 ,…, X N zmizí , pokud J není konstantní. Můžeme snadno odvodit, že:
Jestliže F má (globální) funkce, tj inverzní jestliže existuje G : K N → k, N tak, že G ∘ F = F ∘ G = identita (z k N ), pak J je konstanta není nula.Jakobián domněnka tvrdí, že na každém poli s charakteristickou hodnotu 0, se doplňuje (poněkud zesílené) hovořit platí:
Pokud J je nenulová konstanta a pokud k je pole charakteristiky 0, pak F připouští inverzní G : k N → k N a G je pravidelné , tj. Jeho složky jsou dány polynomy.V roce 1980 Wang demonstroval Jacobian dohad pro polynomy stupně 2 a v roce 1982 Bass , Connell a Wright prokázali, že obecný případ je důsledkem zvláštního případu polynomů stupně 3. Domněnku ověřil Moh pro polynomy se dvěma proměnnými stupně nejvýše 100.
Jacobian domněnka je ekvivalentní k domněnce Dixmier (in) .