Malé problémy
V matematice tvoří Smaleovy problémy seznam 18 nevyřešených problémů z matematiky , které navrhl Steve Smale v roce 2000. Smale dal tento seznam v reakci na žádost Vladimíra Arnolda , tehdejšího prezidenta Mezinárodní matematické unie , který navrhl několik matematiků, aby sestavili seznam problémů pro XXI -tého století, v duchu seznamu problémů Hilberta . Některé ze Smaleových problémů jsou na seznamu problémů Millennium Prize , který byl rovněž vypracován v roce 2000 .
Seznam čísel
Následující tabulka poskytuje stručný popis problémů a současného stavu výzkumu; pro podrobnější prezentaci viz článek Smale citovaný v odkazu.
| # | Formulace | Stát |
|---|---|---|
| 1 | Riemann hypotéza ( 8 th problém Hilbert a 1 st otázka ceny tisíciletí) | Nevyřešené |
| 2 | Poincaré dohad ( 2 Emisní kurs tisíciletí) | Demonstroval Grigori Perelman v roce 2003. |
| 3 | Má P = NP? ( 3 th otázka ceny tisíciletí) | Nevyřešené |
| 4 | Počet celočíselných kořenů jedno proměnných polynomů | Nevyřešené |
| 5 | Výška řešení diofantických rovnic | Nevyřešené |
| 6 | Je v nebeské mechanice počet relativních rovnováh konečný? | V roce 2012 předvedli A. Albouy a V. Kaloshin pět těl. |
| 7 | Optimální rozložení bodů na 2 sféře | Nevyřešené |
| 8 | Využití dynamických systémů v ekonomii | Nevyřešené |
| 9 | Problém lineární optimalizace | Nevyřešené |
| 10 | „Lema uzavření“ v samostatném případě | Nevyřešené. Charles Pugh dokázal lemma v kontinuálním případě v roce 1967; viz uzavírací lemma Pugh (en) |
| 11 | Jsou jednorozměrná dynamika obecně hyperbolická? | Nevyřešené |
| 12 | Centralizátory difeomorfismů | Řešení v topologii C 1 C. Bonatti, S. Crovisier a A. Wilkinson v roce 2009. |
| 13 | Šestnáctý Hilbert problém | Nevyřešené |
| 14 | Lorenz Atraktor | Vyřešil Warwick Tucker (de) pomocí intervalové aritmetiky . |
| 15 | Stabilita řešení Navier-Stokes ( 6 th otázka ceny tisíciletí) | Nevyřešené |
| 16 | Jacobův dohad (nebo dohad o Dixmierovi (fr) , který je mu ekvivalentní) | Nevyřešené |
| 17 | Řešení polynomiálních rovnic v polynomiálním středním čase | Vyřešeno. Carlos Beltrán Alvarez a Luis Miguel Pardo vytvořili v průměru pravděpodobnostní algoritmus polynomiální složitosti . Felipe Cucker a Peter Bürgisser pomocí „ hladké analýzy “ pravděpodobnostního algoritmu analogického s předchozím algoritmem získali deterministický algoritmus v čase .
Nakonec Pierre Lairez pomocí jiné metody předvedl deterministickou verzi prvního algoritmu, přičemž tentokrát udržoval polynomiální složitost v průměru.
Všechny tyto výsledky navazují na zakládající práci Shub a Smale na sérii Bézout. |
| 18 | Meze inteligence | Nevyřešené |
Poznámky a odkazy
- (in) Steve Smale , „ Matematické problémy pro příští století “ , Matematika: hranice a perspektivy , Providence, RI, Americká matematická společnost,2000, str. 271-294 ( číst online )
- (in) A. Albouy, V. Kaloshin, „ konečnost centrálních konfigurací pěti těles v rovině “ , Annals of Mathematics , sv. 176,2012, str. 535–588
- (in) C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson, „ The C 1 -generic diffeomorphism HAS trivial centralizer “ , Publ. Matematika. IHES , sv. 109,2009, str. 185-244
- (in) Warwick Tucker, „ Rigorózní řešení ODE a 14. problém Smaleho “ , Foundations of Computational Mathematics , sv. 2, n O 1,2002, str. 53-117 ( DOI 10.1007 / s002080010018 , číst online )
- (in) Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo, „ It Smale's 17. Problem: A Probabilistic Positive Answer “ , Foundations of Computational Mathematics (časopis) , sv. 8, n o 1,2008, str. 1-43 ( DOI 10.1007 / s10208-005-0211-0 , číst online )
- (in) Felipe Cucker Peter Bürgisser, „ Řešení polynomiálních rovnic polynomu ve vyhlazeném čase a blízké řešení 17. problému Smaleho “ , Proc. 42. ACM Symposium on Theory of Computing ,2010( číst online )
- Pierre Lairez , „ Deterministický algoritmus pro výpočet přibližných kořenů polynomiálních systémů v polynomiálním průměrném čase “, Foundations of Computational Mathematics , sv. objevit se,2016
- Michael Shub a Stephen Smale , „ Složitost Bézoutovy věty. I. Geometrické aspekty “, J. Amer. Matematika. Soc. , sv. 6, n O 21993, str. 459–501 ( DOI 10.2307 / 2152805 , JSTOR 2152805 ).
Zdroje
- (fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „ Smale's problems “ ( viz seznam autorů ) .
- (en) Eric W. Weisstein , „ Smale's Problems “ , na MathWorld