Proměnná (matematika)

Ve vyšší matematice a logice je proměnná symbol, který a priori představuje neurčitý objekt. K tomuto objektu však lze přidat podmínky, například sadu nebo kolekci, která jej obsahuje. Potom můžeme použít proměnnou k označení role v predikátu , vzorci nebo algoritmu nebo k řešení rovnic a dalších problémů. Může to být jednoduchá hodnota nebo matematický objekt, jako je vektor , matice nebo dokonce funkce . V polynomu , je racionální frakce nebo formální série , je proměnná nahrazen neurčitý označeny X .

Obvykle se používá určitý typ symbolu pro objekt, který si přejete reprezentovat, například písmena od i do n pro indexy , písmena na konci abecedy pro vektory nebo jamka ε pro přísně pozitivní real , jehož cílem je sklon k 0 ° C.

Intuitivní pojetí proměnné

Chcete-li vypočítat délku a šířku nádrže, jejíž objem, výška a rozdíl mezi délkou a šířkou jsou známy, můžeme popsat metodu výpočtu (algoritmus čísel a operací s nimi) na příkladu, poté reprodukovat několik příkladů, abychom plně popsali metoda. Toto je metoda přijatá během starověku babylonskou matematikou .

Místo dat a výsledků, které se v každém příkladu mění, můžete se rozhodnout nahradit fiktivní hodnoty - zvané proměnné - symboly. Proměnná je tedy syntaktický subjekt , který se objeví v expresi a která může být nahrazena hodnotou, například číslem.

V příkladu babylonské matematiky platí , že pokud V je objem, h je výška ad je rozdíl mezi délkou L a šířkou l , máme

L = {\ sqrt {\ left ({\ frac {d} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {V} {h}}}} + {\ frac {d} {2}} \ qquad \ qquad l = {\ sqrt {\ left ({\ frac {d} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {V} {h}}}} - {\ frac {d} {2}}

Nahrazením proměnných d 6, V 14 a h 2 získáme následující výsledky:

L = {\ sqrt {\ left ({\ frac {6} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {14} {2}}}} + {\ frac {6} {2}} \ qquad \ qquad l = {\ sqrt {\ left ({\ frac {6} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {14} {2}}}} - {\ frac {6} {2}}

tj. L = 7 (délka je 7) a l = 1 (šířka je 1).

Proměnná funkce

Nechť E a F jsou dvě sady. Zvažte funkci definovanou: $F$

${\ begin {matrix} f: & E & \ longrightarrow & F \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matrix}}.$

$x$ se nazývá proměnná výrazu $f$ ( $x$ ).

Příklady

Pro funkci definovanou: $F$

${\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & 3x + 2 \ end {matrix}}$

$x$ se nazývá proměnná $f$ ( $x$ ).

Buď . Pro funkci $g$ definovanou: $x = (x_ {1}; ...; x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}$

${\ begin {matrix} g: & \ mathbb {R} ^ {n} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}} \ end {matrix}}$

$x$ je proměnná $g$ ( $x$ ). Lze také říci, že každá složka $x i$ o $x$ je proměnná $g$ ( $x$ ). Podle hlediska má buď $g$ ( $x$ ) proměnnou, která je tedy $x$ dimenze $n$ , nebo $g$ je funkcí $n$ proměnných dimenze 1.

Volná proměnná a propojená proměnná

V matematice se říká proměnná:

zdarma, pokud jej lze nahradit jménem objektu patřícího k dané sadě; v otevřeném vzorci „4 x 2 + x - 3 = 0“ je tedy písmeno „ x “ volnou proměnnou; je-li x nahrazeno konstantou a , je výraz „4 a 2 + a - 3 = 0“ uzavřeným výrokem nebo propozicí ;
propojený nebo tichý, když vstoupí do pole operátora, takže jeho role je pouze popisná. Tak je to s x , K , i a t v jednotlivých následujících tvrzení:

$\ forall x \ in {\ mathbb N} \ quad x + 1> 0 \ quad; \ quad \ sum _ {{k = 1}} ^ {b} k = {\ frac {b (b + 1)} { 2}} \ quad; \ quad \ prod _ {{i = 1}} ^ {{10}} i = 3628800 \ quad; \ quad \ pi = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac { 2} {1 + t ^ {2}}} \, dt \,$ .

Říkáme, že operátory, respektive ∀ , ∑ , ∏ a ∫ , spojují tyto proměnné: jsou to mutující znaky .

Příklady

Příklad 1

Proměnné spojené univerzálním kvantifikátorem ∀ překládají univerzálnost vlastnosti, to znamená skutečnost, že uvedená vlastnost je uspokojena všemi objekty určité domény.

To si například všimneme

(1 + 0) ^ {2} \ geq 1

(1 + 1) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ krát 1

(1 + (- 0,5)) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ krát (-0,5)

Pak můžeme předpokládat, že:

pro libovolné číslo ,

x \ in \ mathbb R

(1 + x) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ krát x

Pokud bude toto tvrzení odůvodněno, bude možné jej použít pro jakékoli dané číslo. K prokázání této věty stačí vzít v úvahu proměnnou představující jakékoli reálné číslo a rozšířit: $X$

(1 + x) ^ {2} = 1 + 2 \ krát x + x ^ {2} \,

Na druhou stranu víme, že každé reálné číslo na druhou je tedy kladné . Navíc přidáním této poslední nerovnosti na každou stranu to přichází $x ^ {2} \ geq 0$ $1 + 2 \ krát x$

1 + 2 \ krát x + x ^ {2} \ geq 1 + 2 \ krát x

proto

(1 + x) ^ {2} \ geq 1 + 2 \ krát x

Vlastnost je tedy univerzální.

Proměnné spojené existenciálním kvantifikátorem ∃ překládají existenci objektů ověřujících určitou vlastnost.

Například následující věta:

dvě nerovnoběžné čáry roviny se protínají v bodě ,

tvrdí, že existuje bod náležející ke dvěma neparalelním přímkám, aniž by jej dal pomocí vzorce.

Jako součást důkazu, počínaje dvěma neparalelními liniemi, můžeme použít větu a potvrdit, že existuje bod společný těmto dvěma liniím. Ve skutečnosti je proměnná představující tento bod a tato definice proměnné nám umožní pracovat s tímto bodem. $M$ $M$ $M$

Příklad 2

Nechť a následující tvrzení znamenají přesně to samé: ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ $x \ in {\ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle i) \, \ forall \ epsilon> 0, \ existuje \ eta> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | xy | <\ eta \ Longrightarrow | f (x) -f (y) | <\ epsilon}$

${\ Displaystyle ii) \, \ forall \ epsilon> 0, \ existuje \ alpha> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | xy | <\ alpha \ Longrightarrow | f (x) -f (y) | <\ epsilon}$

${\ Displaystyle iii) \, \ forall \ epsilon> 0, \ existuje \ alpha> 0, \ forall \ spadesuit \ in \ mathbb {R}, | x- \ spadesuit | <\ alpha \ Longrightarrow | f (x) - f (\ padesuit) | <\ epsilon}$

${\ Displaystyle iv) \, \ forall y> 0, \ existuje \ epsilon> 0, \ forall \ alpha \ in \ mathbb {R}, | x- \ alpha | <\ epsilon \ Longrightarrow | f (x) -f (\ alpha) | <y}$

${\ displaystyle v) \, f \, je \, pokračovat \, v \, x}$

V tomto případě jsou proměnné propojeny, což je v tomto případě velmi patrné, protože prohlášení je shrnuto bez jejich použití. ${\ displaystyle \ epsilon, \, \ eta, \, \ alfa, \, y, \, \ spadesuit}$

A v tomto příkladu, a jsou to volné proměnné, je toto všechno ekvivalentní: $F$ $X$

Nechť a následující tvrzení znamenají přesně to samé: ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle i) \, \ forall \ epsilon> 0, \ existuje \ eta> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | zy | <\ eta \ Longrightarrow | g (z) -g (y) | <\ epsilon}$

${\ Displaystyle ii) \, \ forall \ epsilon> 0, \ existuje \ alpha> 0, \ forall y \ in \ mathbb {R}, | zy | <\ alpha \ Longrightarrow | g (z) -g (y) | <\ epsilon}$

${\ displaystyle iii) \, \ forall \ epsilon> 0, \ existuje \ alpha> 0, \ forall \ spadesuit \ in \ mathbb {R}, | z- \ spadesuit | <\ alpha \ Longrightarrow | g (z) - g (\ padesuit) | <\ epsilon}$

${\ Displaystyle iv) \, \ forall y> 0, \ existuje \ epsilon> 0, \ forall \ alpha \ in \ mathbb {R}, | z- \ alpha | <\ epsilon \ Longrightarrow | g (z) -g (\ alpha) | <y}$

${\ displaystyle v) \, g \, je \, pokračovat \, v \, z}$

A pokud například někdo představuje a , předchozí výroky se stávají výroky, které jsou v tomto případě pravdivé. ${\ displaystyle f = \ exp}$ $x = 0$

Matematické proměnné a počítačové proměnné

V imperativních programovacích jazycích , co počítačoví vědci nazývají proměnné, jsou měřítka hodnot, které se vyvíjejí v čase, mluvíme také o referencích . Jde tedy spíše o identifikaci míst v paměti. Pokud počítačová proměnná není inicializována, její hodnota není definována. Pokud se má ve stejném kontextu použít koncept matematické proměnné a koncept proměnných dat, jako je tomu v případě sémantiky programovacích jazyků , počítačová proměnná zvaná „location“ („ rent “ v angličtině).

Ve funkčních jazycích jsou díky referenční průhlednosti proměnné programu matematické proměnné.

Dějiny

V jeho zdánlivý logistice , François Viète otevírá cestu k formalismu pomocí písmen reprezentovat entity používané v matematickém problému. Pro proměnnou často používáme písmeno x. Pocházelo by to z řeckého písmena khi, transformace arabského chay ' (شيء), což znamená „věc“.

Matematika bez proměnných

Matematik Moses Schönfinkel měl představu, že lze matematiku založit na logice bez proměnných. Vytvořil pro to formální systém zvaný kombinatorická logika . Tento systém převzal a dokončil Haskell Curry . Takový systém nemá komplikace substituce , ale ztrácí čitelnost. Pomocí výpočtu vztahů Tarski a Givant také definovali matematiku bez proměnných. De Bruijnovy indexy jsou dalším způsobem, jak se obejít bez proměnných.

Poznámky a odkazy

V exaktních vědách je veličina spojena s proměnnou; čas je tedy velmi často spojen s trojicí a pozicí v prostoru . $t$ $(X Y Z)$
Výňatek z tabletu BM85200 a VAT6599. Tato tableta je studována z algoritmického hlediska v článku Donalda E. Knutha : Ancient Babylonian Algorithms . Běžný. ACM 15 (7): 671-677 (1972), reprodukovaný ve své knize Selected Papers on Computer Science (Stanford, Kalifornie: Centrum pro studium jazyka a informací, 1996) a ve francouzské verzi knihy Elements for a historie výpočetní techniky (překládal P. Cégielski) pod názvem Algorithmes babyloniens anciens str. 1-20.
To znamená, že obsahuje volné proměnné.
Výrok může zmást čtenáře zvyklého na obvyklou formální definici spojitosti, protože proměnné se nepoužívají podle tradičního zvyku. I když se to nedoporučuje, ukazuje, že vázané proměnné lze libovolně přejmenovat, aniž by se změnil celkový význam nabídky. ${\ displaystyle iv}$
„ Logic - Pocket “ , na edicích Le Pommier ,17. května 2016(zobrazena 1 st červenec 2019 ) , str. 16
Moses Schönfinkel, Uber die Bausteine der mathematischen Logik , Annals of Mathematics , 92, 1924, str. 305-316 . Trad. G. Vandevelde, O stavebních kamenech matematické logiky . Analýza a poznámka Jean-Pierre Ginisti , Mathematics, Informatics and Human Sciences (MISH), 112, zima 1990, s. 5-26 . Konference v Göttingenu v roce 1920.
V mnoha textech od roku Analýza logické substituce , The American Journal of Mathematics, 51, 1929, str. 363-384 . Příručky: Haskell Brooks Curry a kol. , Combinatory logic 1 , 1958 a Combinatory logic 2 , 1972, ed. North Holland. Viz také Matematická logika bez proměnných od Johna Barkley Rossera, Univ. Diss. Princeton, NJ 1934, str. 127-150 , 328-355.
Alfred Tarski & Givant, Steven, 1987. 2004, „Formalizace teorie množin bez proměnných“ Americká matematická společnost.

Podívejte se také