David Hilbert

David Hilbert , narozen v roce 1862 v Königsbergu a zemřel v roce 1943 v Göttingenu , je německý matematik . To je často považován za jeden z největších matematiků XX th  století. Vytvořil nebo vyvinul širokou škálu základních myšlenek, ať už jde o teorii invariantů , axiomatizaci geometrie nebo základy funkční analýzy (s Hilbertovými prostory ).

Jeden známé příklady svého nejlepšího vědomí a vedoucí pozice je jeho prezentace v roce 1900 ze svých známých problémů , které mají trvalý vliv matematiku výzkum XX th  století. Hilbert a jeho studenti poskytli významnou část matematické infrastruktury nezbytné pro vznik kvantové mechaniky a obecné relativity .

Přijala a důrazně hájila myšlenky Georga Cantora na teorii množin a na transfinitní čísla . On je také známý jako jeden ze zakladatelů teorie důkazů , matematické logiky a jasně odlišil matematiku od metamathematics .

Životopis

David Hilbert se narodil dne 23. ledna 1862v Königsbergu uprostřed protestantské rodiny střední třídy, která se již dvě generace usadila v hlavním městě východního Pruska . Hilbertův otec, který zastával soudní funkci ve svém městě, vštěpoval svým dětem přísné pruské hodnoty. Matka je naopak nadšená filozofií, astronomií a prvočísly. Hilbert navštěvuje střední školu a již během školní docházky vykazuje energický, tvrdohlavý a rozhodný charakter. Velmi brzy si však vybudoval vášeň pro umění a literaturu, přičemž se velmi zajímal o matematiku - aniž by byl předčasným matematikem.

V roce 1880 složil zkoušku ke vstupu na univerzitu v Königsbergu a vybral si kurz matematiky. Tam získal doktorát pod dohledem Ferdinanda von Lindemanna . V roce 1885 předložil diplomovou práci s názvem Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen ( O invariantních vlastnostech speciálních binárních forem, zejména kruhových funkcí ). Ve stejné době Hermann Minkowski navštěvoval stejnou univerzitu. Oba studenti se stali dobrými přáteli a od té doby měl každý, v té či oné době, značný vliv na vědeckou kariéru toho druhého.

S titulem doktor v ruce se Hilbert připravuje na získání akreditace za účelem získání statutu soukromého investora . Aby toho dosáhl, musel inovativním způsobem představit svůj příspěvek k výzkumu a vydal se na setkání s Felixem Kleinem , jedním z předních matematiků té doby. Na jeho radu odešel Hilbert do Paříže, kde se setkal s Henri Poincaré , hlavním představitelem francouzské matematiky, který se snažil nahradit brilantní německou matematiku. Z tohoto důvodu Poincaré a Hilbert nesympatizovali a je jasné, že Poincaré a Klein spolu nevycházejí. Během cesty zpět do Königsbergu se Hilbert zastaví na univerzitě v Göttingenu, kde se Klein právě usadil. Jeho prostřednictvím se dostal do kontaktu s Paulem Gordanem , jedním z největších odborníků na teorii invarianty , což je obor, ve kterém Hilbert zažije svůj první velký úspěch.

Od roku 1886 Hilbert učil na univerzitě v Königsbergu jako soukromý podnikatel a v roce 1892 tam byl jmenován řádným profesorem. Přestože je vynikajícím učitelem, navštěvuje jeho kurzy jen málo studentů. Zdaleka se nedal odradit, považuje toto období za proces pomalého, ale nepřetržitého zrání. Ve stejném roce se oženil s Käthe Jerosch (1864-1945) a následující rok se jim narodil syn Franz. V roce 1895 byl na návrh Felixe Kleina jmenován předsedou matematiky na prestižní univerzitě v Göttingenu , považované za nejlepší středisko pro výzkum matematiky na světě. Navzdory dalším nabídkám tam Hilbert zůstal až do svého odchodu do důchodu v roce 1930.

8. září 1930 na projev Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte  (de) na konci projevu prohlásil: „Sláva lidského ducha,“ řekl slavný matematik Königsberg Jacobi, je jediný cíl celé vědy. Nesmíme věřit těm, kteří dnes s filozofickým postojem a tónem nadřazenosti prorokují úpadek kultury a přijímají nevědomost. „ Odkazuje zde na latinskou frázi Ignoramus et ignorabimus, což znamená „ Nevíme a nikdy nebudeme vědět “ , dále říká, že pro něj neexistuje žádný ignorabimus . Ve svém závěru navrhuje slogan, který zůstal slavný (a který je vyryt na jeho hrobě): „  Wir müssen wissen, wir werden wissen  “ nebo „Musíme vědět, budeme vědět. „ Den předtím, než řekl tuto větu, Kurt Gödel představuje svou tezi, která obsahuje teorém o úplnosti , který se týká logiky prvního řádu . Zdá se tedy, že společnost je na správné cestě. Je ironií, že o rok později ten samý Gödel demonstruje svou slavnou větu o neúplnosti , což je výsledek, který nás nutí relativizovat nebo dokonce opustit Hilbertův program .

S nástupem Hitlera k moci v roce 1933 byl Ludwig Bieberbach , přidružený k nacistické straně , poháněn na vrchol německé matematiky a podporoval matematiku „árijskou nebo německou“ (Deutsche Mathematik) . Židovští učitelé, kteří jsou nyní z výuky vyloučeni, postupně přicházejí o svá místa. Matematický institut v Göttingenu byl brzy demontován a jeho mezinárodní prestiž byla naštvaná Hilbertově zlosti. Hermann Weyl , který byl nakonec vybrán jako jeho nástupce, musí zemi opustit, Emmy Noether , Richard Courant , Edmund Landau a Otto Blumenthal . Paul Bernays , Hilbertův spolupracovník v matematické logice a spoluautor s ním Grundlagen der Mathematik , důležité dvoudílné knihy z let 1934 a 1939, opustil Německo na nátlak nacistů. Jejich práce byla pokračováním knihy vydané Hilbertem a Ackermannem  : Grundzüge der teoretischen Logik (1928).

Asi o rok později sedí Hilbert pozvaný na banket vedle nacistického ministra školství Bernharda Rusta . Na Rustovu otázku: „Jak je na tom matematika v Göttingenu, když je bez židovského vlivu?“ " , Hilbert odpovídá: " Matematika v Göttingenu? Sotva už jsou. "

Když Hilbert zemřel v roce 1943, nacisté univerzitu úplně restrukturalizovali, všichni Židé a židovští manželé byli nuceni odejít, některým se podařilo uprchnout z Německa, jiní byli deportováni . Na jeho pohřbu se zúčastnilo asi tucet lidí, pouze dva byli bývalí kolegové. Na jeho hrobě v Göttingenu si můžeme přečíst tento epitaf  : „  Wir müssen wissen, wir werden wissen.  „ Buď:

"Musíme to vědět, budeme to vědět." "

Pán a jeho učedníci

Otto Blumenthal , první ze 69 studentů, kteří dokončili doktorát pod jeho dohledem, si o 40 let později vzpomíná na dojem, který Hilbert udělal při svém příjezdu do Göttingenu: „Ve srovnání s ostatními profesory je tento živý tlustý muž s červeným vousem a docela běžné oblečení, vypadalo to velmi málo jako akademik. Jeho lekce byly velmi stručné. Učil poněkud nudným způsobem, ale bohatost obsahu a jasnost prezentace způsobily, že zapomněla na formu. Často představoval nové věci, které sám objevil, ale vzal si tu námahu, aby se ujistil, že ho všichni sledují. Dával své lekce pro studenty, ne pro sebe “ .

Mezi další učedníky Hilberta patří Hermann Weyl , Max Dehn , Erhard Schmidt , Richard Courant , Ernst Zermelo , slavný mistr světa v šachu Emmanuel Lasker , Carl Gustav Hempel , Klara Löbenstein , John von Neumann, který mu byl asistentem. Hermann Weyl vynikal zejména tím, že dokončil doktorát u Hilberta v roce 1908 a vystřídal jej, když v roce 1930 odešel do důchodu.

Hilbert byl se svými studenty vždy velmi poučný a pomáhal jim, kdykoli mohl. Například, když se ozvaly hlasy proti jmenování mladé a významné matematičky Emmy Noetherové profesorem v Göttingenu, Hilbert povstal proti svým reakčnějším kolegům a ironicky prohlásil: „Nechápu, jak by pohlaví kandidáta bylo důvodem postavit se proti jeho přijetí. Koneckonců, jsme na univerzitě, ne ve veřejné lázni “ .

Na univerzitě v Göttingenu, v kruhu přátel Hilbert byl složen z nejlepších matematiků XX tého  století, jako Emmy Noether a Alonzo Church .

Věda a velká válka

V roce 1914 uvítala velká část Evropanů první světovou válku s obrovským nadšením. Hilbert trval od prvních okamžiků na absurditě tohoto konfliktu. vSrpna 1914„93 renomovaných intelektuálů píše manifest„ adresovaný civilizovaným národům “v reakci na rostoucí rozhořčení vyvolané akcemi německé armády.

Ponořen do této jasně nacionalistické atmosféry, Felix Klein podepisuje prohlášení o podpoře Kaiserovy politiky. Hilbert se rovněž doporučuje, aby se přihlásil k odběru, ale odmítá, jednoduše tvrdí, že neví, zda jsou obvinění proti Německu pravdivá nebo nepravdivá. Tato pozice je blízká pozici Einsteina, který se, věrný svému pacifismu, zdrží podpisu manifestu. V roce 1917 navíc Hilbert uprostřed konfliktu vydal pochvalný nekrolog Gastona Darbouxe , slavného francouzského matematika, který právě zemřel. Když studenti obléhají jeho dům a žádají ho, aby opravil tuto poznámku na památku nepřátelského matematika, Hilbert na to odpoví požadováním formální omluvy - kterou získá -.

Ze všech těchto důvodů ho jeho evropští kolegové považují za svobodného ducha, který si nedělá starosti s vymoženostmi a zvyky. Na konci války, s nespornou oponou Německa, nebyla jeho pověst pošramocená. Na prvním mezinárodním kongresu matematiků meziválečného období - na osmém kongresu v Bologni v roce 1928 - trval na univerzálnosti matematiky a zdůraznil, že všechny hranice jsou nepřirozené.

Funguje

Uchováváme si od něj zejména jeho seznam 23 problémů , z nichž některé dodnes nejsou vyřešeny, což představil8. srpna 1900na Sorbonně, na druhém mezinárodním kongresu matematiků v Paříži .

Jeho příspěvky k matematice jsou četné:

• Konsolidace teorie invarianty , která byla předmětem jeho práce.
• Axiomatizace euklidovské geometrie , aby byla koherentní , publikovaná v jeho (de) Grundlagen der Geometrie ( Base of geometry ).
• Práce na algebraické teorii čísel , převzetí a zjednodušení, pomocí Minkowského , práce Kummera , Kroneckera , Dirichleta a Dedekinda a jejich zveřejnění v jeho Zahlbericht  (en) ( Zpráva o číslech ).
• Přínos z Hilbertových prostorů , při jeho práci v analýze na integrálních rovnic .
• Prvky na matematické základy obecné teorie relativity z Einsteina , včetně odvození jeho rovnice z práce Einstein-Hilbert .

Věta o základech

Hilbertova první práce o invariantních funkcích ho vedla k tomu, aby v roce 1888 demonstroval svou teorém o konečném základu . Před dvaceti lety Paul Gordan pomocí složité metody výpočtu demonstroval teorém o konečnosti generátorů binárních forem. Pokusy zobecnit jeho metodu na funkce s několika proměnnými selžou kvůli složitosti výpočtů. Hilbert se rozhodne jít jinou cestou. Dokazuje tak teorém o konečné bázi , který tvrdí existenci konečné množiny generátorů pro invarianty algebraických forem pro libovolný počet proměnných. Ve skutečnosti takovou základnu nevytváří ani nenaznačuje způsob, jak ji postavit. Formálně dokazuje existenci tím, že ukazuje, že odmítnutí této existence vede k rozporu.

Hilbert zasílá své výsledky Mathematische Annalen . Gordan, domácí expert na invariantní teorii , nedokáže ocenit revoluční povahu Hilbertovy práce. Odmítá článek a říká, že je nepochopitelný: „Toto je teologie, ne matematika! "

Felix Klein na druhé straně uznává důležitost díla a zaručuje, že bude vydáno beze změn, navzdory jeho přátelství s Gordanem. Stimulován Kleinem a komentáři Gordana, Hilbert ve druhém článku rozšiřuje své výsledky a poskytuje odhad maximálního stupně minimální sady generátorů. Po přečtení mu Klein napsal: „Není pochyb o tom, že jde o nejdůležitější dílo o obecné algebře, jaké kdy Annalens publikovali  “.

Později, jakmile byly Hilbertovy metody široce uznávány, sám Gordan řekl: „Musím uznat, že i teologie má své opodstatnění. "

Axiomatizace geometrie

Hilbert publikoval Grundlagen der Geometrie ( Základy geometrie ) v roce 1899. Nahradil pět obvyklých axiomů euklidovské geometrie dvaceti axiomy. Jeho systém eliminuje slabiny Euklidovy geometrie, do té doby jediný učil.

Jeho přístup je rozhodující při přijímání axiomatických metod . Axiomy již nejsou neměnné. Geometrie může kodifikovat intuici, kterou máme o „objektech“, ale není nutné kodifikovat vše. "Musíme být vždy schopni nahradit"  body , čáry , letadla  "slovy" stoly, židle, sklenice piva ". „ Místo toho by se to mělo zaměřit na jejich vztahy.

Hilbert axiomatizuje rovinnou geometrii podle pěti velkých skupin:

1. Axiomy sounáležitosti nebo dopadu: osm axiomů vyjadřuje vazbu mezi pojmy bod, přímka a rovina;
2. Pořadí axiomů: čtyři axiomy definují pojem „mezi“ a umožňují definovat pořadí zarovnaných, koplanárních nebo prostorových bodů ;
3. Axiomy kongruence: pět axiomů definuje pojem kongruence a posunutí  ;
4. Axiom paralel: toto je v podstatě Euclidův pátý axiom ;
5. Axiomy kontinuity: obsahuje axiom Archimeda a lineární integrity.

Tyto axiomy se sjednocují do jediné geometrie roviny systému a geometrie v prostoru , obě euklidovské.

23 problémů

U příležitosti druhého mezinárodního kongresu matematiků konaného v Srpna 1900v Paříži nabízí svůj slavný seznam 23 problémů . Dokonce iv XXI th  století, je považován problémy kompilace měly největší vliv v matematice, v návaznosti na tři velké problémy starověku .

Poté, co Hilbert navrhl nové základy pro klasickou geometrii, mohl se pokusit extrapolovat na zbytek matematiky. Spíše se rozhodne určit základní problémy, které musí matematici řešit, aby byla matematika soudržnější. Jeho přístup je na rozdíl od logiků Russella a Whiteheada , „encyklopedistů“ Bourbakiho a metamatematika Giuseppe Peana . Jeho seznam zpochybňuje celou matematickou komunitu bez ohledu na jejich zájmy.

Na kongresu jeho projev začíná následovně:

"Kdo by z nás nechtěl zvednout závoj, který skrývá budoucnost, aby se podíval na pokrok naší Vědy a tajemství jejího dalšího vývoje v budoucích stoletích?" Jaké budou v této tak úrodné a rozsáhlé oblasti matematické vědy konkrétní cíle, kterých se budou snažit dosáhnout průvodci matematickým myšlením budoucích generací? Co budou v této oblasti nové pravdy a nové metody objevené stoletím, které začíná? "

Na Minkowského návrh představuje místnosti asi deset problémů. Celý seznam bude zveřejněn ve sborníku z kongresu. V jiném příspěvku nabízí rozšířenou a konečnou verzi svého seznamu čísel.

Několik problémů bylo rychle vyřešeno. Ostatní byly projednány v průběhu XX -tého  století; některé jsou nyní považovány za příliš vágní na to, aby bylo možné dát definitivní odpověď. I dnes zůstává několik dobře definovaných problémů, které matematiky napadají.

Formalismus

Problémy Hilbertovy jsou také jakýmsi manifestem , který umožňuje vznik školní formalist , jednoho ze tří hlavních škol v XX tého  matematiky století. Podle této školy existuje matematika mimo veškerý záměr a veškeré myšlení. Jsou to symboly, s nimiž je třeba zacházet podle formálních pravidel. Není však jisté, že Hilbert měl na matematiku tak jednoduchý a mechanický pohled.

V roce 1920 výslovně navrhl výzkumný program v metamatematice, který by později byl známý jako program Hilbert . Chce, aby matematika byla pevně a kompletně formulována na základě logiky. Hilbert věří, že je to možné, protože:

1. veškerá matematika vyplývá z konečné sady správně zvolených axiomů ;
2. lze ukázat, že tento celek je soudržný.

Zdá se, že Hilbert při navrhování takového programu spoléhá na technické i filozofické argumenty. Tvrdí, že nenávidí ignorabimus relativně běžný v německém myšlení času (jehož formulaci lze vysledovat k Emilovi du Bois-Reymondovi ).

Tento program je nyní součástí formalismu . Bourbaki přijal pro své projekty prořezanou a méně formální verzi:

1. napsat encyklopedický základ;
2. podporovat axiomatickou metodu jako výzkumný nástroj.

Ačkoli byl tento přístup plodný v algebře a funkční analýze , jinde měl malý úspěch.