Artinův zákon vzájemnosti

V matematice je Artinův zákon vzájemnosti důležitým výsledkem teorie čísel zavedené Emilem Artinem v řadě článků publikovaných v letech 1924 až 1930. Artinova vzájemnost je jádrem teorie třídních těl a odvozuje svůj název od příbuznosti se zavedenou kvadratickou vzájemností. podle Gauss , a dalšími zákony podobného projevu, reciprocity Eisenstein , Kummer nebo Hilbert . Jednou z počátečních motivací tohoto výsledku byl Hilbertův devátý problém , na který Artinova vzájemnost poskytuje částečnou odpověď. Artinova vzájemnost je dnes spíše považována za jedno z koncepčních výchozích bodů programu Langlands .

Konkrétně Artinova zákon reciprocity dává izomorfismus z abelianized ze skupiny Galois v globálním poli . V souvislosti s Takagiho větou proto umožňuje popsat abelianská rozšíření uvažovaného pole z aritmetiky v tomto poli.

Věta hustota Chebotarev , a charakter meromorfní L -function Artinova jsou důsledky reciproční Artin.

Státy

Abelianská konečná rozšíření globálního pole

Klademe sami zde v případě, že je celkové pole a konečný abelian rozšíření o . Nechť je prvkem prvkem , potom jsou výše uvedené skupiny rozkladu stejné , protože ta je abelianská . Pokud je nerozvětvená v , a pokud budeme označovat prvočíslo výše , pak tato skupina rozklad je isomorphic k Galois skupiny prodloužení ze zbytkových polí . Tento izomorfismus je ve skutečnosti kanonický, a proto ve skupině Galois existuje prvek Frobenius , který je označen $K.$ $L$ $K.$ ${\ mathfrak p}$ $K.$ ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (L / K)}$ ${\ mathfrak p}$ $L$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle D _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {O}} _ {L, {\ mathfrak {q}}} / {\ mathfrak {q}}) / ({\ mathcal {O}} _ {K, {\ mathfrak {p }}} / {\ mathfrak {p}})}$

(L/K.p){\ displaystyle \ left ({\ frac {L / K} {\ mathfrak {p}}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {L / K} {\ mathfrak {p}}} \ right)}

připomenout notaci symbolu Jacobiho a nazvanou „symbol Artina“. Tuto notaci rozšíříme o linearitu na všechny zlomkové ideály : ∏i=1mpinei↦∏i=1m(L/K.pi)nei.{\ displaystyle {\ prod _ {i = 1} ^ {m} {\ mathfrak {p}} _ {i} ^ {n_ {i}}} \ mapsto \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ vlevo ({\ frac {L / K} {{mathfrak {p}} _ {i}}} \ vpravo) ^ {n_ {i}}.}

{\ displaystyle {\ prod _ {i = 1} ^ {m} {\ mathfrak {p}} _ {i} ^ {n_ {i}}} \ mapsto \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ vlevo ({\ frac {L / K} {{mathfrak {p}} _ {i}}} \ vpravo) ^ {n_ {i}}.}

Artinův zákon vzájemnosti stanoví, že mezi kvocientem skupiny zlomkových ideálů a skupinou Galois existuje izomorfismus, daný mapou definovanou tímto symbolem .

{\ displaystyle \ operatorname {Gal} (L / K)}

Galoisovo rozšíření

Kompaktní způsob, jak vyjádřit Artin je reciprocity je následující: vzhledem k tomu, a výše , nerozvětvený, je jediný prvek, tak, že pro všechny , ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle \ sigma = \ left ({\ frac {L / K} {\ mathfrak {q}}} \ right) \ in \ operatorname {Gal} (L / K)}$ ${\ displaystyle \ alpha \ v L}$

σ(α)=αNE⁡(p)modq.{\ displaystyle \ sigma (\ alpha) = \ alpha ^ {\ operatorname {N} ({\ mathfrak {p}})} {\ bmod {\ mathfrak {\ mathfrak {q}}}}}}

{\ displaystyle \ sigma (\ alpha) = \ alpha ^ {\ operatorname {N} ({\ mathfrak {p}})} {\ bmod {\ mathfrak {\ mathfrak {q}}}}}}

Obecné prohlášení

Zde sledujeme prezentaci Neukirchu: je globální tělo a rozšíření o , neboť to naznačuje na třídě skupině idele části , a dokonce se odkazuje na třídu skupiny idele . Artinův zákon vzájemnosti pak stanoví, že existuje kanonický izomorfismus $K.$ $L$ $K.$ $C_ {L}$ $L$ $C_ {K}$ $K.$

θ:VSK./NEL/K.⁡(VSL) → ∼ Gal⁡(L/K.)ab{\ displaystyle \ theta: C_ {K} / \ operatorname {N} _ {L / K} (C_ {L}) \ {\ xrightarrow {\ \ sim \}} \ operatorname {Gal} (L / K) ^ {\ text {ab}}}

{\ displaystyle \ theta: C_ {K} / \ operatorname {N} _ {L / K} (C_ {L}) \ {\ xrightarrow {\ \ sim \}} \ operatorname {Gal} (L / K) ^ {\ text {ab}}}

mezi podílem na IDEL skupiny a abelianized ze skupiny Galois z sur . Aplikace se jmenuje „Global Artin Symbol“. Konstrukce je explicitní, z „(místní) symbolů Artin“ definované pro každé místo části , a které rovněž tvoří isomorphisms

K.

L

K.

\ theta

\ theta

proti

K.

θproti:K.proti×/NELproti/K.proti⁡(Lproti×) → ∼ Gal⁡(Lproti/K.proti)ab.{\ displaystyle \ theta _ {v}: K_ {v} ^ {\ times} / \ operatorname {N} _ {L_ {v} / K_ {v}} (L_ {v} ^ {\ times}) \ { \ xrightarrow {\ \ sim \}} \ operatorname {Gal} (L_ {v} / K_ {v}) ^ {\ text {ab}}.}

{\ displaystyle \ theta _ {v}: K_ {v} ^ {\ times} / \ operatorname {N} _ {L_ {v} / K_ {v}} (L_ {v} ^ {\ times}) \ { \ xrightarrow {\ \ sim \}} \ operatorname {Gal} (L_ {v} / K_ {v}) ^ {\ text {ab}}.}

Příklad

Nebo bez čtvercových faktorů . Takže . Nechť je diskriminující na (což má hodnotu nebo ). Symbol Artina je pak definován pro všechny prime pomocí ${\ displaystyle d \ neq 1}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q}, L = K ({\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (L / K) \ simeq \ {\ pm 1 \}}$ $\Delta$ $L$ $K.$ $d$ ${\ displaystyle 4d}$ ${\ displaystyle p \ nmid \ Delta}$

(L/K.p)=(Δp)={+1-li p rozkládá se v L-1-li p je inertní L{\ displaystyle \ left ({\ frac {L / K} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {\ Delta} {p}} \ right) = {\ begin {cases} +1 & { \ text {si}} p {\ text {se rozloží v}} L \\ - 1 & {\ text {si}} p {\ text {je inertní v}} L \ end {případů}}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {L / K} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {\ Delta} {p}} \ right) = {\ begin {cases} +1 & { \ text {si}} p {\ text {se rozloží v}} L \\ - 1 & {\ text {si}} p {\ text {je inertní v}} L \ end {případů}}}

kde notace napravo od znaménka rovnosti je symbol Kronecker .

Poznámky a odkazy

(in) Günther Frei (de) , O dějinách Artinova zákona o vzájemnosti v Abelianových rozšířeních algebraických číselných polí: Jak bylo vedeno před synem Artinovým zákonem o vzájemnosti , Berlín, Heidelberg, Springer,2004( ISBN 978-3-642-62350-9 a 9783642189081 , DOI 10.1007 / 978-3-642-18908-1_8 ) , s. 267-294.
(in) Serge Lang , Algebraic Theory Number , New York, NY, Springer al. „ GTM “,1986( ISBN 978-1-4684-0298-8 a 9781468402964 , DOI 10.1007 / 978-1-4684-0296-4_10 ) , s. 197-212.
(in) David A. Cox , prvočísla formy p = x ² + ny ²: Terénní teorie pole Fermatovy třídy a komplexní multiplikace , Wiley ,2013, 384 s. ( ISBN 978-1-118-39018-4 , OCLC 829937241 ) , kap. 5.
(in) JS Milne , teorie pole ,2013, 281 + viii str. ( číst online ) , s. 105.
(in) Jürgen Neukirch ( překlad z němčiny), Algebraická teorie čísel , Berlín / New York / Barcelona atd. Springer1999, 571 s. ( ISBN 3-540-65399-6 , OCLC 41039802 ) , s. 391.

Bibliografie

(de) Emil Artin, „Über eine neue Art von L-Reihen“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , sv. 3, 1924, str. 89-108; Collected Papers , Addison Wesley, 1965, str. 105-124
(de) Emil Artin, „Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes“, Abh. matematika. Týden Univ. Hamburg , sv. 5, 1927, str. 353-363; Shromážděné papíry , str. 131-141
(de) Emil Artin, „Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes“, Abh. matematika. Týden Univ. Hamburg , sv. 7, 1930, s. 46-51; Shromážděné papíry , str. 159-164