Reciproční hyperbolický kosinus

Reciproční hyperbolický kosinus je v matematiky , je hyperbolická funkce .

Definice

Reciproční hyperbolická kosinová funkce nebo hyperbolický kosinový argument , označený $arcoshem$ (nebo $argchem$ ),

{\ displaystyle \ operatorname {arcosh}: \ left [1, + \ infty \ right [\ to \ mathbb {R}}

je definován pomocí hyperbolického kosinu pomocí:

{\ displaystyle y = \ operatorname {arcosh} x \ quad \ Longleftrightarrow \ quad x = \ cosh y \; {\ text {and}} \; y \ geq 0}

Je diferencovatelný na $] 1, + \infty [$ a jeho derivace je dána vztahem:

{\ displaystyle \ forall x> 1 \ quad \ operatorname {arcosh} 'x = {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}

Odvodíme primitivní z $arcosh$ které mizí v $1$ :

{\ displaystyle \ forall x \ geq 1 \ quad \ int _ {1} ^ {x} \ operatorname {arcosh} u \, \ mathrm {d} u = x \ operatorname {arcosh} x - {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}

Sloučenina z $arcosh$ podle hyperbolický sinus funkce je dána vztahem:

{\ displaystyle \ forall x \ geq 1 \ quad \ sinh \ left (\ operatorname {arcosh} x \ right) = {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}

Proto:

funkce $arcosh$ je vyjádřena pomocí přirozeného logaritmu pomocí: ${\ displaystyle \ forall x \ geq 1 \ quad \ operatorname {arcosh} x = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right)}$ ;
součet a rozdíl dvou hyperbolických kosinových argumentů jsou vyjádřeny: ${\ displaystyle \ forall u \ geq v \ geq 1 \ quad \ operatorname {arcosh} u \ pm \ operatorname {arcosh} v = \ operatorname {arcosh} \ left (uv \ pm {\ sqrt {\ left (u ^ { 2} -1 \ right) \ left (v ^ {2} -1 \ right)}} \ right)}$ .

Daniel Guinin a Bernard Joppin, MPSI analýza , Bréal ,2003( číst online ) , s. 26.
Notace doporučená normou ISO / IEC 80000-2 .