Lévyho křivka

V matematice je Lévyho křivka nebo křivka C fraktální křivkou .

Poprvé popsal Ernesto Cesàro v roce 1906 a Georg Faber v roce 1910, nyní nese jméno francouzského matematika Paula Lévyho, který v roce 1938 jako první popsal své vlastnosti podobnosti sebe sama a poskytl jednu z nich geometrická konstrukce.

Vlastnosti

Hausdorff z křivky Lévy se rovná 2 (obsahuje otevřené soubory). Výsledek odvozený přímo z jeho konstrukce dvěma dilatacemi poměru 1 / √ 2 .
Jeho hranice má odhadovaný rozměr kolem 1,9340.
Lévyho křivka připravuje plán.
Pokud má původní segment délku 1, plocha pokrytá Lévyho křivkou se rovná 1/4.
Lévyho křivka je jedním ze šesti běžných dlaždic pro dvě auta (lze ji vydláždit dvěma kopiemi stejné velikosti).
Jedná se o speciální případ De Rhamovy křivky (en) .

Konstrukce systémem Lindenmayer ( L-systém )

Konstrukce Lévyho křivky začíná od přímého segmentu. Tento segment je nahrazen dvěma stranami rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku, který má původní segment pro přeponu. V kroku 2 je proto křivka reprezentována dvěma segmenty v pravých úhlech. Ve srovnání s původním segmentem jsou tyto dva segmenty sníženy o faktor 1 / √ 2 .

Toto pravidlo se iterativně použije pro každý nový vytvořený segment.

Po n krocích se křivka skládá z délkových segmentů zmenšených o faktor ve srovnání s původním segmentem. $2 ^ {n}$ $2 ^ {{n / 2}}$

Spojený systém Lindenmayerovy tak může být popsán následujícím způsobem:

Proměnné :	F
Konstanty :	+ -
Axiom :	F
Pravidla :	F → + F −− F +

Kde „ F “ znamená „jeďte rovně“, „+“ znamená „odbočte vpravo o 45 °“ a „-“ znamená „odbočte vlevo o 45 °“.

Limitní sadou tohoto L-systému je Lévyho křivka.

Varianty

Standardní křivka je konstruována s použitím úhlu 45 stupňů. Varianty této křivky lze vypočítat pomocí různých úhlů. Dokud úhel zůstane menší než 60 stupňů, zůstanou nové segmenty vytvořené v každém kroku menší než původní segment a celek konverguje k mezní křivce.

Konstrukce systémem iterovaných funkcí

Konstrukce Lévyho křivky systémem iterovaných funkcí je založena na souboru dvou lineárních kontrakčních funkcí v poměru 1 / √ 2 . První zavádí rotaci o 45 °, druhý o -45 ° rotaci.

Lévyho křivku C ve složité rovině lze tedy definovat jako přitahovač dvou podobností:

$h$ středu 0 definováno ${\ displaystyle h (z) = {\ frac {1} {2}} (1+ \ mathrm {i}) z}$
$l$ středu 1 definováno . ${\ displaystyle l (z) = {\ frac {1} {2}} \ vlevo ((1- \ mathrm {i}) z + (1+ \ mathrm {i}) \ vpravo)}$

Poznámky a odkazy

Poznámky

E. Cesaro, Spojité funkce bez derivace , Archiv der Math. und Phys. 10 (1906) str. 57-63
G. Farber, Über stetige Funktionen II , Mathematische Annalen , 69 (1910), str. 372-443.
Paul Lévy, Rovinné nebo vesmírné křivky a povrchy skládající se z částí podobných celé (1938), přetištěno v Classics on Fractals Gerald A. Edgar ed. (1993) Addison - Wesley , ( ISBN 0-201-58701-7 )
Duvall, P. a Keesling, J., The Hausdorff Dimension of the Boundary of the Lévy Dragon , 22. července 1999
Dlažba letadla podle Lévyho křivky, Dubuc Serge & Li Jun
Na 2 plazech v letadle, Ngai, 1999

Reference

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Lévy C curve “ ( viz seznam autorů ) .
(en) S. Bailey, T. Kim, RS Strichartz, „ Inside the Lévy dragon “ , American Mathematical Monthly , sv. 109, n o 8,2002, str. 689–703

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

(en) Eric W. Weisstein , „ Lévy Fractal “ , na MathWorld