Hausdorffova dimenze

V matematice , a přesněji v topologii je Hausdorff ze se metrického prostoru ( X , d ) je pozitivní, nebo nulové reálné číslo, případně nekonečno. Představený v roce 1918 matematikem Felixem Hausdorffem , byl vyvinut Abramem Besicovichem , a proto se mu někdy říká Hausdorff-Besicovichova dimenze .

Nejjednodušším příkladem je euklidovský prostor o rozměru (v tom smyslu, vektorových prostorů) rovná n (nebo obecněji v reálném vektorový prostor dimenze n opatřena vzdálenosti spojené s normou ): její Hausdorff rozměr d je také rovná n , rozměr vektorového prostoru. Hausdorffova dimenze jakéhokoli metrického prostoru však nemusí být přirozeným číslem .

Neformální úvod

V euklidovském prostoru dimenze d má koule o poloměru r objem úměrný . Intuitivně proto očekáváme, že počet N ( r ) koulí o poloměru r potřebný k pokrytí koule o poloměru jednotky je řádově . rd{\ displaystyle r ^ {d}}1/rd{\ displaystyle 1 / r ^ {d}}

Tuto představu zobecníme na jakýkoli kompaktní metrický prostor X následovně. Nechť N (R) minimální počet kuliček otevřený poloměr r je nutná k pokrytí X . Pokud se r přiblíží 0, zvětší se, říká se , že prostor X má rozměr d . Přesněji, d bude takové číslo, které má tendenci k 0, pokud s > d , a má tendenci k nekonečnu, pokud s < d . NE(r){\ displaystyle N (r)}1rd{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {d}}}}NE(r)rs{\ displaystyle N (r) r ^ {s}}NE(r)rs{\ displaystyle N (r) r ^ {s}}

Definice

Limity množství N ( r ) r s zavedené v předchozím odstavci bohužel ne vždy existují. Tuto obtíž lze obejít následujícím způsobem:

• Prostor X je pokryta prostřednictvím spočetně unie částí označená A i , z nichž každý má průměr menší než r . Skutečnost, že se za použití zvýšení průměru umožňuje, aby se libovolně malé části, například pokud se jedná o pokrývající spočetné část z X , a tím minimalizovat roli takové části při výpočtu rozměru X . U všech kladných nebo nulových reálných hodnot uvažujeme množství . Přesněji řečeno, chceme-li dosáhnout co nejekonomičtějšího zotavení, zavedeme množství:∑i=1∞dinam(NAi)s{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathrm {diam} (A_ {i}) ^ {s}}Hrs(X)=infdinam(NAi)<r{∑i=1∞dinam(NAi)s|X⊆⋃i=1∞NAi}.{\ displaystyle H_ {r} ^ {s} (X) = \ inf _ {\ mathrm {diam} (A_ {i}) <r} {\ left \ {\ left. \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathrm {diam} (A_ {i}) ^ {s} \ right | X \ subseteq \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right \}}.}
• Funkce je klesající , která zajišťuje existenci limit (možná nekonečná), když se jak r sklon k 0. Proto se definice:r↦Hrs{\ displaystyle r \ mapsto H_ {r} ^ {s}}Hs(X)=limr→0Hrs(X).{\ displaystyle H ^ {s} (X) = \ lim _ {r \ rightarrow 0} H_ {r} ^ {s} (X).}H s se nazývá s-rozměrná Hausdorffova míra .
• Zkontrolujeme, že pokud H s ( X ) je konečný, pak pro všechna t > s , H t ( X ) = 0 a že pokud H s ( X )> 0 pak, pro všechna t < s , H t ( X ) je nekonečný. Existuje tedy číslo oddělující čísla s, pro která H s ( X ) = 0, od těch, pro která je H s ( X ) nekonečná. Toto číslo je Hausdorff na X . Takže se ptáme slunceH⁡(X)=inf{s∣Hs(X)=0}=sup{s∣Hs(X)=∞}{\ displaystyle \ dim _ {H} (X) = \ inf \ levý \ {s \ střední H ^ {s} (X) = 0 \ pravý \} = \ sup \ levý \ {s \ střední H ^ {s } (X) = \ infty \ right \}} ;

Hausdorffova míra X pro tuto dimenzi , která sama o sobě není možná ani nulová, ani nekonečná, je často jednoduše známá a nazývá se Hausdorffova míra X bez další přesnosti; pro „poměrně jednoduché“ podmnožiny je to úměrné Lebesgueově míře . HslunceH⁡(X)(X){\ displaystyle H ^ {\ dim _ {H} (X)} (X)}H(X){\ displaystyle H (X)}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Vlastnosti

• Pokud je X zahrnuto v , pak .(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,}slunceH⁡X≤slunceH⁡Y{\ displaystyle \ dim _ {H} {X} \ leq \ dim _ {H} {Y}}
• Hausdorffova dimenze produktu metrických prostorů je větší nebo rovna součtu Hausdorffových dimenzí. Explicitně pro všechny metrické prostory a máme:(X,DX){\ displaystyle (X, D_ {X}) \,}(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,} slunceH⁡(X×Y)≥slunceH⁡X+slunceH⁡Y{\ displaystyle \ dim _ {H} {\ vlevo (X \ krát Y \ vpravo)} \ geq \ dim _ {H} {X} + \ dim _ {H} {Y}}.
• Pokud je X zahrnuto do , jeho Hausdorffova dimenze je menší nebo rovna n .Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
• Pokud X je spočetné sjednocení částí, všech dimenzí menších nebo rovných n , pak . Zejména Hausdorffova dimenze spočetného metrického prostoru je nulová.slunceH⁡X≤ne{\ displaystyle \ dim _ {H} {X} \ leq n}
• Lipschitzian aplikace snižuje Hausdorff. Obecněji, pokud je - Höldérienova funkce mezi metrickými prostory (s ), pak máme:F:X→Y{\ displaystyle f: X \ rightarrow Y \,}na{\ displaystyle a \,}0<na<1{\ displaystyle 0 <a <1 \,} slunceH⁡(F(X))≤1naslunceH⁡(X){\ displaystyle \ dim _ {H} \ vlevo (f (X) \ vpravo) \ leq {\ frac {1} {a}} \ dim _ {H} (X) \,}.

Demonstrace

Nechť je přísně pozitivní , takže existuje počitatelná otevřená pokrývka o průměru menším, než že: nas>slunceH⁡X{\ displaystyle as> \ dim _ {H} {X} \,} {NAi|∀i,NAi⊂X}{\ displaystyle \ {A_ {i} | \ forall i, A_ {i} \ podmnožina X \} \,}δ>0{\ displaystyle \ delta> 0 \,}

∑iprXnas(NAi)<ϵ{\ displaystyle \ sum _ {i} {{\ operatorname {diam} _ {X}} ^ {as} (A_ {i})} <\ epsilon}.

Jak je -Hölderian, je konstantní , takže vysílá každou část z a průměr na část z a průměru tak, že . Nechť je dostatečně malé otevřené sousedství . Můžeme předpokládat, že průměr v de je menší než . Průměr dílů se zvětší o . Podle konstrukce . Z toho vyplývá: pro . F{\ displaystyle f \,}na{\ displaystyle a \,}VS{\ displaystyle C \,}F{\ displaystyle f \,}NA{\ displaystyle A \,}(X,DX){\ displaystyle (X, D_ {X}) \,}d=prX⁡(NA){\ displaystyle d = \ operatorname {diam} _ {X} (A) \,}F(NA){\ displaystyle f (A) \,}(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,}d′=prY⁡(F(NA)){\ displaystyle d '= \ operatorname {diam} _ {Y} (f (A))}d′≤VSdna{\ displaystyle d '\ leq Cd ^ {a} \,}Bi{\ displaystyle B_ {i} \,}F(NAi){\ displaystyle f (A_ {i}) \,}(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,}Bi{\ displaystyle B_ {i} \,}VSprXna⁡(NAi){\ displaystyle C \ operatorname {diam} _ {X} ^ {a} (A_ {i}) \,}Bi{\ displaystyle B_ {i} \,}δ′=VSδna{\ displaystyle \ delta '= C \ delta ^ {a} \,}∑iprXs⁡(Bi)≤VSϵ{\ displaystyle \ sum _ {i} {\ operatorname {diam} _ {X} ^ {s} \ left (B_ {i} \ right)} \ leq C \ epsilon \,}Hs(F(X))=0{\ displaystyle H ^ {s} \ left (f (X) \ right) = 0 \,}nas>slunceH⁡(X){\ displaystyle as> \ dim _ {H} (X) \,}

• Hausdorffova dimenze není množstvím konzervovaným homeomorfismem . Například můžeme definovat Cantorovy sady , které jsou navzájem homeomorfní, ale mají různé rozměry. Pokud jsou ale homeomorphism i jeho reciproční lipský, pak je dimenze zachována (je to zjevný důsledek předchozího bodu). Podobně, pokud jsou dvě metriky Lipschitz-ekvivalentní, pak definují stejnou Hausdorffovu dimenzi.

Praktický výpočet v klasickém konkrétním případě

Dovolit být součástí reálného vektorového prostoru, který splňuje následující vlastnost: X{\ displaystyle X}

„Existují podobnosti vztahů takových, které jsou disjunktní po dvou a že jejich svazek je izometrické se . "ne{\ displaystyle n} F1,F2,...,Fne{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {n}}r1,r2,...,rne{\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n}}F1(X),F2(X),...,Fne(X){\ displaystyle f_ {1} (X), f_ {2} (X), \ ldots, f_ {n} (X)}X{\ displaystyle X}

Pak máme vztah:

r1d+r2d+...+rned=1{\ displaystyle {r_ {1}} ^ {d} + {r_ {2}} ^ {d} + \ ldots + {r_ {n}} ^ {d} = 1},

kde je rozměr . d{\ displaystyle d}X{\ displaystyle X}

To vyplývá z následující vlastnosti opatření Hausdorff:

„Za každou kladnou Á, . " Hd(λX)=λdHd(X){\ displaystyle H ^ {d} (\ lambda X) = \ lambda ^ {d} H ^ {d} (X)}

a invariance pomocí izometrie .

To poskytuje jednoduchý způsob výpočtu rozměrů klasických fraktálů, jako je sněhová vločka Koch , koberec Sierpinski atd.

Příklad

• Soubor Cantor se skládá ze dvou třikrát menších souborů Cantor; tyto dvě podobnosti jsou zde tedy homotety poměru 1/3, složené s překlady.
  Takže , co dává: .2(13)d=1{\ displaystyle 2 \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) ^ {d} = 1}d=ln⁡2ln⁡3=log3⁡2{\ displaystyle d = {\ frac {\ ln 2} {\ ln 3}} = \ log _ {3} 2}
• Asymetrická sada Cantor se skládá ze dvou sad Cantor, jedné dvakrát menší a druhé čtyřikrát menší. Dvě podobnosti jsou zde tedy homotety příslušných poměrů 1/2 a 1/4, složených s překlady.
  Takže , což vede k:, kde je zlatý řez .(12)d+(14)d=1{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {d} + \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) ^ {d} = 1}d=ln⁡(φ)ln⁡2{\ displaystyle d = {\ frac {\ ln (\ varphi)} {\ ln 2}}}φ=1+52{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}

Příklady

• Počitatelná množina má nulovou dimenzi.
• Kruh má Hausdorff rozměr 1.
• V dimenzi nenulové Lebesgueovy míry je n .Rne{\ displaystyle {\ mathbb {R} ^ {n}}}
• Graf funkce Lipschitzovské reálné proměnné má Hausdorffovu dimenzi 1. Pokud je funkce a-Hölderian, pak Hausdorffova dimenze jejího grafu je mezi 1 a 2 - a.
• Hausdorffova dimenze souboru triády Cantor je .ln⁡2ln⁡3 {\ displaystyle {\ frac {\ ln {2}} {\ ln {3}}} ~}
• Hausdorffova dimenze Sierpińského trojúhelníku je .ln⁡3ln⁡2 {\ displaystyle {\ frac {\ ln {3}} {\ ln {2}}} ~}
• Hausdorffova dimenze Sierpińského koberce je .ln⁡8ln⁡3 {\ displaystyle {\ frac {\ ln {8}} {\ ln {3}}} ~}
• Trajektorie Brownova pohybu v dimenzi 2 je téměř jistě dimenze 2.
• Hranice na sadu Mandelbrot má rozměr 2.

Dodatky

Poznámky a odkazy

1. (in) Mitsuhiro Shishikura, „  Hausdorffova dimenze hranice Mandelbrotovy množiny a Juliiny množiny  ,“ Ann. matematiky. , let. 147, 1998, s. 225-267 (původní publikace Stony Brook IMS Preprint z roku 1991 , arXiv : math.DS / 9201282 ).

Bibliografie

• (de) Felix Hausdorff, „Dimension und äusseres Mass“, matematika. Ann. , sv. 79, 1919, str.  157-179 [ číst online ]
• (en) Dierk Schleicher, „Hausdorffova dimenze, její vlastnosti a překvapení“, Amer. Matematika. Měsíčně , sv. 114, červen-červenec 2007, s.  509-528 . „  Math / 0505099  “ , volně přístupný text, na arXiv .

Související články

• Minkowského rozměr
• Fraktální rozměr
• Topologická dimenze
• Fraktál
• Lemma Frostman  (cs)
• Seznam fraktálů podle Hausdorffovy dimenze

externí odkazy

• Úvod do pojmu Hausdorffovy dimenze ve formě problému
• Licenční práce zabývající se především Hausdorffovou dimenzí
• (en) IG Koshevnikova , „Hausdorffova dimenze“ , Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , číst online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">