Iterovaná derivace
V matematiky , pojem iterativní odvození rozšiřuje pojem derivát podle opakujících se to několikrát.
Definice
Nechť je funkce z červů definovaných na intervalu (není prázdný a neredukuje do bodu). Tento článek nás zajímá o následných derivátech této funkce.
F{\ displaystyle f}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}} Já⊂R{\ displaystyle I \ podmnožina \ mathbb {R}}
První derivace v intervalu
Když derivace existuje pro všechno , říkáme, že je „diferencovatelná “.
F′(X){\ displaystyle f '(x)}X∈Já{\ displaystyle x \ v I}F{\ displaystyle f}Já{\ displaystyle I}
V tomto případě definujeme funkci :
F′{\ displaystyle f '}
Já→R, X↦F′(X){\ displaystyle I \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto f '(x)}.
Tato funkce se nazývá „derivační funkce on “ nebo „první derivační funkce on “ a je také uvedena .
F′{\ displaystyle f '}F{\ displaystyle f}Já{\ displaystyle I}F{\ displaystyle f}Já{\ displaystyle I}F(1){\ displaystyle f ^ {(1)}}
Druhá derivace v intervalu
Když je diferencovatelná na a funkce sám je diferencovatelná na , jeho derivát funkce na , se nazývá " druhá derivace z o ‚a poznámky nebo . Potom říkáme, že je „rozlišitelné dvakrát “.
F{\ displaystyle f}Já{\ displaystyle I}F′{\ displaystyle f '}Já{\ displaystyle I}Já{\ displaystyle I}(F′)′{\ displaystyle (f ')'}F{\ displaystyle f}Já{\ displaystyle I}F„{\ displaystyle f ''}F(2){\ displaystyle f ^ {(2)}}F{\ displaystyle f}Já{\ displaystyle I}
Derivace n th v intervalu
Definujeme (s výhradou existence) „postupné deriváty on “ inicializací a vzorcem opakováníF{\ displaystyle f}Já{\ displaystyle I}F(0)=F{\ displaystyle f ^ {(0)} = f}
∀ne∈NEF(ne+1)=(F(ne))′.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad f ^ {(n + 1)} = {\ bigl (} \, f ^ {(n)} \, {\ bigr)} '.}Pro jakékoli přirozené číslo n se funkce nazývá „ n -tá (nebo n- objednávka ) derivace funkce on “.
F(ne){\ displaystyle f ^ {(n)}}F{\ displaystyle f}Já{\ displaystyle I}
Pokud existuje, říkáme, že je „diferencovatelný n krát “. V tomto případě jsou všechny po sobě následující deriváty , jak má být přísně méně než n jsou spojité na , protože jsou diferencovatelné tam; ale nemusí být nutně kontinuální : právě to motivuje definici funkcí třídy C n uvedenou níže .
F(ne){\ displaystyle f ^ {(n)}}F{\ displaystyle f}Já{\ displaystyle I}F{\ displaystyle f}Já{\ displaystyle I}F(ne){\ displaystyle f ^ {(n)}}Já{\ displaystyle I}
Třída C č
Dovolit být nenulové přirozené číslo. Říkáme, že funkce je třídy (nebo časy nepřetržitě differentiable) v případě, že je doba diferencovatelná v a, pokud tato funkce je spojitá na .
ne{\ displaystyle n}F{\ displaystyle f}VSne{\ displaystyle \ mathrm {C} ^ {n}}ne{\ displaystyle n}Já{\ displaystyle I}ne{\ displaystyle n}Já{\ displaystyle I}F(ne){\ displaystyle f ^ {(n)}}Já{\ displaystyle I}
V souladu s výše uvedenou konvencí se říká , že funkce je třídy on, pokud je spojitá on .
F{\ displaystyle f}VS0{\ displaystyle \ mathrm {C} ^ {0}}Já{\ displaystyle I}Já{\ displaystyle I}
Budeme-li nesprávně označují množinu tříd funkcí na , můžeme všimnout, že jsou vnořené sady.
VSne{\ displaystyle \ mathrm {C} ^ {n}}VSne{\ displaystyle \ mathrm {C} ^ {n}}Já{\ displaystyle I}VSne{\ displaystyle \ mathrm {C} ^ {n}}
Tato funkce se říká, že třídy (nebo na dobu neurčitou diferencovatelná) v případě, za všechno , je ve třídě na . Ve skutečnosti :
F{\ displaystyle f}VS∞{\ displaystyle \ mathrm {C} ^ {\ infty}}Já{\ displaystyle I}ne∈NE⋆{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {\ star}}F{\ displaystyle f}VSne{\ displaystyle \ mathrm {C} ^ {n}}Já{\ displaystyle I}
VS∞=⋂ne>0VSne.{\ displaystyle \ mathrm {C} ^ {\ infty} = \ bigcap _ {n> 0} \ mathrm {C} ^ {n}.}
Derivát nečíselného řádu
Všechny výše uvedené definice se týkají derivace úplného řádu . Může být zajímavé prostudovat případ derivací s nečíselnými příkazy. Toto je předmětem disciplíny zvané frakční analýza a nachází mnoho aplikací v určitých oblastech fyziky zahrnujících difúzní jevy, jako je akustika , termodynamika nebo elektromagnetismus .
ne{\ displaystyle n}
Leibnizův vzorec
Produkt dvou funkcí reálné proměnné a definované a diferencovatelné podle pořadí v intervalu je diferencovatelné podle pořadí . Leibnizův vzorec poskytuje derivát řádu daný:
F{\ displaystyle f}G{\ displaystyle g}ne{\ displaystyle n}Já{\ displaystyle I}ne{\ displaystyle n}ne{\ displaystyle n}
(FG)(ne)=∑k=0ne(nek) F(k) G(ne-k){\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ součet _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ f ^ {(k)} \ g ^ {(nk) }}kde celá čísla jsou binomické koeficienty .
(nek){\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}
Vzorec Faà di Bruno
Sloučenina dvou funkcí a příslušně definovaných a diferencovatelných až do řádu v intervalu pro g a g (I) pro f je diferencovatelná až do řádu nad I ; Vzorec Faà di Bruno poskytuje derivát řádu daný:
F∘G:X↦F(G(X)){\ Displaystyle f \ circ g: x \ mapsto f (g (x))}F{\ displaystyle f}G{\ displaystyle g}ne{\ displaystyle n}Já{\ displaystyle I}ne{\ displaystyle n}ne{\ displaystyle n}
dnedXneF(G(X))=∑ne!m1!1!m1m2!2!m2⋯mne!ne!mneF(m1+⋯+mne)(G(X))∏j=1ne(G(j)(X))mj,{\ displaystyle {d ^ {n} \ nad dx ^ {n}} f (g (x)) = \ součet {\ frac {n!} {m_ {1}! \, 1! ^ {m_ {1} } \, m_ {2}! \, 2! ^ {m_ {2}} \, \ cdots \, m_ {n}! \, n! ^ {m_ {n}}}} f ^ {(m_ {1 } + \ cdots + m_ {n})} (g (x)) \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left (g ^ {(j)} (x) \ right) ^ {m_ {j }},}kde součet prochází všemi n -uples ( m 1 , ..., m n ) splňující omezení:1m1+2m2+3m3+⋯+nemne=ne.{\ displaystyle 1m_ {1} + 2m_ {2} + 3m_ {3} + \ cdots + nm_ {n} = n. \,}
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">