Omezený vývoj

Ve fyzice a matematice je omezená expanze (označená DL ) funkce v bodě polynomiální aproximací této funkce v sousedství tohoto bodu, to znamená psaní této funkce ve formě součtu:

z polynomické funkce , a
zanedbatelný zbytek v blízkosti uvažovaného bodu.

Ve fyzice je běžné zaměňovat funkci s omezeným vývojem za předpokladu, že takto vytvořená chyba (tj. Zbytek) je menší než povolená chyba. Pokud jsme spokojeni s rozšířením prvního řádu, mluvíme o lineární aproximaci.

V matematice omezený vývoj umožňuje jednodušeji najít limity funkcí, vypočítat derivace , dokázat, že je funkce integrovatelná nebo ne, nebo studovat polohy křivek s ohledem na tečny .

Definice

Nechť $f$ je reálná funkce definované v intervalu $I$ , a $x 0 \in I$ . Řekneme, že $f$ připouští omezené rozšíření řádu n (zkráceně DL n ) v $x 0$ , pokud existuje $n + 1$ reálných čísel $a 0 , a 1 , ..., a n$ takové, že funkce definovaná: ${\ displaystyle R: I \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle f (x) = a_ {0} + a_ {1} (x-x_ {0}) + a_ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + ... + a_ {n } (x-x_ {0}) ^ {n} + R (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + R ( X)}

kontroly:

R ( x )

má tendenci k

0,

když

x

má tendenci k

x 0

, a to "rychleji" než poslední člen součtu, to znamená, že:

\ lim _ {{x \ rightarrow x_ {0}}} {\ frac {R (x)} {(x-x_ {0}) ^ {n}}} = 0.

Funkce $R, které to$ ověřují, jsou označeny $o (( x - x 0 ) n )$ (viz článek „ Asymptotické srovnání “, přesněji rodina Landauových notací ). Píšeme tedy:

f (x) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n} ).

Je běžné psát omezenou expanzi nastavením $x = x 0 + h$ :

f (x_ {0} + h) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} h ^ {i} + o (h ^ {n}).

Okamžité důsledky

Pokud $f$ připouští DL 0 na $x 0$ , pak $je 0 = f ( x 0 )$ .
Pokud $f$ připustí DL n při $x 0$ , pak připustí DL k při $x 0$ pro jakékoli celé číslo k < n .
Nutné a postačující podmínkou pro $F$ připustit DL n u $x 0$ , je existence polynomu $P$ tak, že $f ( x ) = P ( x ) + O (( x - x 0 ) n )$ . Je-li takový polynom $P$ , pak je nekonečně mnoho dalších, ale pouze jeden z nich je o řád nižší než nebo rovno $n$ : zbytek euklidovské rozdělení z $P ( X )$ u $( x - x 0 ) n +1$ . To se nazývá pravidelnou část , nebo hlavní část , DL n o $f$ u $x 0$ . Někdy zneužíváním jazyka identifikujeme DL n s jeho pravidelnou částí.

Operace s omezeným vývojem

Součet Pokud f a g připustit dvě DL n u

x 0

, pak f + g připustit DL n u

x 0

, pravidelné část, která se získá přidáním dvou pravidelných části DL n o f a g . Násobení skalárem Pokud f připouští DL n u

x 0

, pak λ f připouští DL n u

x 0

, pravidelné část, která se získá vynásobením pravidelných část DL n o f u lambda. Produkt Pokud f a g připustí dva DL n v

x 0

, příslušných regulárních částí P a Q , pak fg a PQ připustí DL n v

x 0

, stejné regulární části. Pokud

x 0

= 0, to pravidelnou součástí je zbytek euklidovské rozdělení PQ o X n + 1 . Zvrátit Pokud u (

x 0

) = 0 a pokud u připouští DL n při

x 0

, pak

1 / 1 - u

připouští DL n . Pravidelné část této omezené rozšíření je, že DL n o u

x

0

\ sum _ {{k = 0}} ^ {n} u ^ {k}

Kvocient Můžeme zkombinovat součin a obrácenou část nebo ji rozdělit podle zvyšujících se mocností pravidelné části čitatele výkonem jmenovatele. Složení Pokud u připustí DL n v

x 0

pravidelné části P a pokud v připustí DL n v u (

x 0

) pravidelné části Q , pak v ∘ u a Q ∘ P mají DL n v

x 0

, stejné část pravidelná. "Integrace" Pokud f připustí DL n při

x 0

, pak jakýkoli primitivní F z f připustí DL n + 1 při

x

0,

což je

{\ displaystyle f (x) = \ součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x-x_ {0}) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n })}

{\ displaystyle F (x) = F (x_ {0}) + \ součet _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {i + 1}} (x-x_ {0} ) ^ {i + 1} + o ((x-x_ {0}) ^ {n + 1}).}

Derivace Neexistuje obecná věta o existenci DL n při

x 0

pro derivaci funkce přijímající DL n + 1 při

x 0

. Například v

0

funkce x ↦ x 3 sin (1 / x ) - rozšířená o

0 \mapsto 0

- připouští DL 2 (je to

0 + o ( x 2 )

), ale její derivace nepřipouští z DL 1 . Na druhé straně, jak již bylo řečeno, v případě,

F '

připouští DL n u

x 0

, pak je běžnou součástí tohoto DL je derivát pravidelné části DL n + 1 z F na

x 0

Omezený vývoj a odvozitelné funkce

Věta Taylor - Young zajišťuje, že funkce $f$ diferencovatelná $n-$ krát v bodě $x 0$ (s ) připouští DL n v tomto bodě: ${\ displaystyle ne \ geq 1}$ ${\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + {\ frac {f' (x_ {0})} {2! }} (x-x_ {0}) ^ {2} + \ dots + {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0}) ^ {n} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})}$ buď zkráceně $f (x) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} {\ frac {f ^ {{(i)}} (x_ {0})} {i!}} (x-x_ {0 }) ^ {i} + o ((x-x_ {0}) ^ {n})$ .

Dokážeme to indukcí podle n , díky výše uvedené věty o termín ku pojmu „integrace“ z DL.

Existence DL 0 v $x 0 je$ ekvivalentní kontinuitě v $x 0$ a existence DL 1 v $x 0 je$ ekvivalentní diferencovatelnosti v $x 0$ . Na druhou stranu, pro , existence DL n v $x$ $0$ neznamená, že funkce je časově diferencovatelná v $x$ $0$ (například x ↦ x 3 sin (1 / x ) - prodlouženo o kontinuitu v $0$ - připustit, v $0$ , DL 2, ale žádná druhá derivace). $n \ geq 2$ $ne$

Některá použití

Vývoj pořadí $0$ v $x 0 se$ rovná zápisu, že $f$ je spojité v $x 0$ : ${\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + o ((x-x_ {0}) ^ {0}) = f (x_ {0}) + o (1)}$

Omezená expanze řádu $1$ v $x 0 se$ rovná přiblížení ke křivce jeho tečnou v $x 0$ ; mluvíme také o afinní aproximaci : $f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) + o (x-x_ {0})$ . Jeho existence je ekvivalentní derivovatelnosti funkce při $x 0$ .

Omezené rozšíření řádu $2$ v $x 0 se$ rovná přiblížení ke křivce pomocí paraboly nebo kvadratického zákona v $x 0$ . Umožňuje specifikovat polohu křivky vzhledem k její tečně v blízkosti $x 0$ za předpokladu, že koeficient termínu stupně 2 není nula: znaménko tohoto koeficientu ve skutečnosti dává tuto polohu (viz také článek funkce konvexní ).

Změna proměnné $h = 1 / X$ umožňuje pomocí DL 0 v $0$ najít limit v nekonečnu a od DL 1 v $0$ určit rovnici asymptoty (pokud jde o tečnu, DL 2 umožňuje určit polohu křivka ve vztahu k asymptotu).

Nějaké příklady

Následující funkce mají DL n v $0$ pro jakékoli celé číslo n .

${\ frac 1 {1-x}} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} x ^ {i} + {\ frac {x ^ {{n + 1}}} {1-x} } = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} x ^ {i} + o (x ^ {n})$ (důsledkem je součet geometrické řady ).
$ln (1 + x )$ integrací předchozího vzorce pro n = m - 1, změna x na –x a změna indexu k = i + 1 ${\ displaystyle = \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k}} x ^ {k} + o (x ^ {m})}$
$e x$ (pomocí Taylorova vzorce) ${\ displaystyle = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} x ^ {i} + o (x ^ {n})}$
$hřích$ k řádu 2 n + 2. Hlavní část DL k řádu 2 n + 1 je stejná, protože člen v $x$ $2$ $n$ $+2$ je nula (jako všechny členy se sudými exponenty) a $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $+2$ $) =$ $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $+1$ $)$ . ${\ displaystyle x = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i}} {(2i + 1)!}} x ^ {2i + 1} + o (x ^ {2n + 2})}$
$cos$ v pořadí 2 n + 1. Hlavní část DL v řádu 2 n je stejná, protože člen v $x$ $2$ $n$ $+1$ je nula (jako všechny členy s lichým exponentem) a $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $+1$ $) =$ $o$ $($ $x$ $2$ $n$ $)$ . ${\ displaystyle x = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i}} {(2i)!}} x ^ {2i} + o (x ^ {2n + 1})}$
$(1 + x ) a$ ${\ displaystyle = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} \ left (\ prod \ limits _ {j = 0} ^ {i-1} (aj ) \ vpravo) x ^ {i} + o (x ^ {n}).}$

Tyto příklady lze také vyvinout v celé sérii .

Formulář

Několik obvyklých funkcí připouští expanzi omezenou na $0$ , kterou lze použít k rozšíření speciálních funkcí:

$(1 + x) ^ {a} = 1 + sekera + {\ frac {a (a-1)} {2!}} X ^ {2} + {\ frac {a (a-1) (a-2 )} {3!}} X ^ {3} + \ cdots + {\ frac {a (a-1) (a-2) ... (a- (n-1))} {n!}} X ^ {n} + o (x ^ {n})$
${\ frac 1 {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ cdots + x ^ {n} + o (x ^ {n})$
${\ frac 1 {1 + x}} = 1-x + x ^ {2} -x ^ {3} + \ cdots + (- 1) ^ {n} x ^ {n} + o (x ^ {n })$
${\ displaystyle \ ln {(1-x)} = - x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {3}} {3}} - \ cdots - { \ frac {x ^ {n}} {n}} + o (x ^ {n})}$
${\ displaystyle \ ln {(1 + x)} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - \ cdots + (- 1) ^ {n-1} {\ frac {x ^ {n}} {n}} + o (x ^ {n})}$
${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {x} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {n}} {n!}} + o (x ^ {n})}$
${\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ cdots + (- 1) ^ { n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}} + o (x ^ {2n + 1})}$
${\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ cdots + (- 1) ^ { n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$tan$ , kdejsou čísla Bernoulli . ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} {315} } + \ cdots + {\ frac {B_ {2n} (- 4) ^ {n} (1-4 ^ {n})} {(2n)!}} x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}$ $B_ {n}$
$hovadina$ ${\ displaystyle x = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n }} {(2n)!}} + O (x ^ {2n + 1})}$
$sinh$ ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} + O (x ^ {2n + 2})}$
$tanh$ ${\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} - {\ frac {17x ^ {7}} {315} } + \ cdots + {\ frac {B_ {2n} 4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {(2n)!}} x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n} )}$
$arcsin$ ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot x ^ {5}} {2 \ cdot 4 \ cdot 5} } + \ cdots + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1 )}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arccos$ ${\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}} - x - {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} - {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot x ^ { 5}} {2 \ cdot 4 \ cdot 5}} - \ cdots - {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1)}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arktan$ ${\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} - \ cdots + (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$arsinh$ ${\ displaystyle x = x - {\ frac {x ^ {3}} {2 \ cdot 3}} + \ cdots + (- 1) ^ {n} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots ( 2n-1) x ^ {2n + 1}} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 1)}} + o (x ^ {2n + 2})}$
$Artanh$ ${\ displaystyle x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} + o (x ^ {2n + 2})}$

Afinní aproximace: omezené rozšíření objednávky 1

Jeden často používá omezené expanze řádu 1 (také nazývané „afinní aproximace“ nebo „tangentní afinní aproximace“ ), které umožňují usnadnit výpočty, když není vyžadována příliš velká přesnost; v bodě $x 0$ jsou dány:

{\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + (x-x_ {0}) f '(x_ {0}) + o (x-x_ {0})}

(najdeme rovnici tečny ke grafu $f$ ).

V bodě $0$ máme zejména :

(1+X)na=1+naX+Ó(X){\ displaystyle (1 + x) ^ {a} = 1 + sekera + o (x)} ${\ displaystyle (1 + x) ^ {a} = 1 + sekera + o (x)}$ a tak
- ${\ frac 1 {1 + x}} = 1-x + o (x)$ a
- ${\ displaystyle {\ sqrt {1 + x}} = 1 + {\ frac {x} {2}} + o (x) ~;}$
${\ displaystyle \ ln {(1 + x)} = x + o (x) ~;}$
${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {x} = 1 + x + o (x).}$

Obvyklé vývoj $0$ z goniometrických funkcí

Chcete-li objednat 2:
- ${\ displaystyle \ sin x = x + o (x ^ {2})}$ ` ` ${\ displaystyle \ arcsin x = x + o (x ^ {2})}$
- ${\ displaystyle \ tan x = x + o (x ^ {2})}$ ` ` ${\ displaystyle \ arctan x = x + o (x ^ {2})}$ tyto vzorce jsou často známé jako aproximace malého úhlu a
na objednávku 3: ${\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + o (x ^ {3})}$ .

Poznámky a odkazy

Pojem omezeného vývoje lze zobecnit v případě, že funkce má komplexní nebo vektorové hodnoty , ale tento případ není v tomto článku přiblížen; pro další zobecnění viz článek asymptotický vývoj .
Jacqueline Lelong-Ferrand a Jean-Marie Arnaudiès , kurz matematiky , t. 2: Analýza , Bordas,1977, 4 th ed. , str. 148, definice IV.7.2; polynom samotný (který je jedinečný, pokud existuje) se nazývá jimi omezené vyvinut z $f$ , a označil $DL n ( f )$ nebo, pokud je to nutné, přesné $DL n ( f , x 0 )$ .
Pro demonstraci viz například § „Definice“ kapitoly „Omezený vývoj“ na Wikiversity .
Pro ukázku viz například § „Součet a produkt“ kapitoly „Omezený vývoj“ na Wikiversity .
Příklad je uveden v části „Složení“ kapitoly „Omezený vývoj“ na Wikiversity .
Toto je aplikace pravidla L'Hôpital . Pro demonstraci viz například § „Odvození a integrace pojem od termínu“ kapitoly „Omezený vývoj“ na Wikiversity .
Viz například § „Taylorovy vzorce“ kapitoly „Omezený vývoj“ na Wikiversity .

Související články