Od prospectiva pingendi

Autor: Prospectica pingendi
První stránka kodexu v Bordeaux
Autor	Piero della Francesca
Země	Itálie
Druh	kodex
Originální verze
Jazyk	Toskánský a latinský
Titul	Prospectiva Pingendi
Datum vydání	kolem 1475

De Prospectiva pingendi („Z pohledu v malbě“) je pojednání o teorii perspektivy, které napsal Piero della Francesca . Datování je nejisté, ale je mezi lety 1460 a 1480. Toto dílo, jedno ze zakládajících pojednání o renesančním umění, má mnohem praktičtější tón a méně konkrétní než pojednání De pictura (1435) od Leona Battisty Albertiho . Text, bez filozofických a teologických ozdůbek, se zaměřuje na matematické a geometrické aspekty, se specifickými praktickými aplikacemi, střízlivým a jasným stylem.

Důležitost knihy

Svým pojednáním De Prospectiva pingendi změnil Piero della Francesca směr uměleckých technik pro reprezentaci trojrozměrných objektů na dvojrozměrném povrchu. Před ním předchůdci jako Filippo Brunelleschi , Cennino Cennini a Leon Battista Alberti předali počátky technik pro reprezentaci trojrozměrných objektů. Vztah mezi Piero della Francesca a Alberti analyzuje JV Field.

Navzdory názvu jeho díla, Piero se zabývá nejen perspektivním znázornění trojrozměrných objektů ( lineární perspektiva ), ale také s ortogonální reprezentace , a on může být považován za zakladatele deskriptivní geometrie vyvinutá Gaspard Monge na počátku XIX th  století a technické kreslení .

Pojednání Piero della Francesca je jedinečné v tom smyslu, že představuje jak teoretické základy, tak matematické postupy k dokončení správného zmenšení prostorových projekcí a řadu cvičení se vzrůstající obtížností, která mají instruovat řemeslníka-malíře. Pro řemeslníky existuje slovní vysvětlení, grafické znázornění metod a původní jazyk prvního kodexu napsaného v mateřštině ( toskánštině ). Ostatní kodexy určené elitám byly psány latinsky .

De Prospectiva pingendi se rozšířila do různých uměleckých dílen prostřednictvím řady ručně psaných kodexů a její obsah byl začleněn do téměř všech pozdějších prací zabývajících se reprezentací trojrozměrných předmětů v malbě a architektuře.

Rukopisy a překlady

Pojednání bylo s největší pravděpodobností napsáno v letech 1474-1475, ačkoli několik drobných modifikací zachovaných v postupných kodexech naznačuje pravděpodobné těhotenství od poloviny šedesátých let.

Piero della Francesca napsal v mateřštině, toskánští a Maestro Matteo di Ser Paolo přeložili kodex do latiny „  de verbo ad verbum  “.

Smlouva přežila v sedmi kodexech , z nichž všechny byly digitalizovány a jsou k dispozici online.

Tři v italštině (toskánština):

• Parma, Biblioteca Palatina , ms. Parmense 1576;
• Reggio Emilia , Biblioteca Panizzi, ms. Reggiani A 41/2 (dříve A 44);
• Milan, Biblioteca Ambrosiana , ms. D 200 inf.

Čtyři v latině:

• Milan, Biblioteca Ambrosiana, ms. SP 6 bis (dříve C 307 inf.);
• Bordeaux, Městská knihovna , ms. 616;
• London, British Library cod. Dalších 10366;
• Paříž, Francouzská národní knihovna , Lat. 9337 (dříve latinský dodatek 16).

Italský kodex Reggio Emilia a latinské kodexy v Miláně a Bordeaux jsou pravděpodobně současné (ve skutečnosti zde nacházíme ruku stejného opisovatele). Italská verze, která je nejblíže originálu, je verze Reggio Emilia (bez dodatků).

Kritická a faksimilní vydání

• Německé vydání kodexu: (de) Piero della Francesca ( překlad  Constantin Winterberg), Petrus pictor Burgensis de prospectiva pingendi , Heitz & Mündel,1899, 396  s. ( k dispozici v internetovém archivu ).

• Francouzské vydání kodexu Parma: Piero della Francesca (  z italštiny přeložili Jean-Pierre Le Goff a Jean-Pierre Néraudau, pref.  Hubert Damisch, postface Daniel Arasse), Malířská perspektiva: Parmensis, 1576 [„  De prospectiva pingendi  ”], Paříž, Éditions In Medias Res,1998( 1 st  ed. 1576), 351  str. ( ISBN  2-9511719-0-0 ).

• (it) Piero della Francesca , A. Menghini ( ed. ) a D. Contin ( ed. ), De prospectiva pingendi ( fax původního rukopisu), Aboca Edizioni,2009, 225  s. ( ISBN  978-88-95642-30-7 ).

• Italské vydání Chiary Gizziho v jazyce MS: (it) Chiara Gizzi, „  Piero Della Francesca - De Prospectiva pingendi  “ [PDF] , Edizioni Ca'Foscari,2016(zpřístupněno 9. září 2018 ) .

Obsah knihy

De Prospectiva pingendi je první pojednání o matematice technik trojrozměrného znázornění objektů na dvojrozměrném povrchu. Piero měl dva cíle: reprezentace objektu tak, jak to „ve skutečnosti je“, a reprezentace objektu tak, jak jej „skutečně vidí“.

V prvním případě se například paralelní čáry nikdy nesetkají, a ve druhém případě na linii obzoru v úběžníku . První metody tvoří základ technického výkresu a jsou ilustrovány znázorněním lidské hlavy níže.

Lineární perspektiva je jednou z metod reprezentace jedné reality z mnoha, s výhodami i nevýhodami. Zejména je zde vidět omezení pole . Osoba, která se dívá na obraz, musí stát v umělcově pozici a pokud je viděné pole široké, obraz při pohledu z jiné polohy bude mít značné zkreslení.

Využití perspektivy velmi zkušeným umělcem může u obrazu vyvolat dojem „nereálnosti“. Například Piero ve své fresce Vzkříšení používá dva úběžníky: s prvním se divák dívá na vojáky zespodu a druhým se dívá na Krista seshora. Výsledek přispívá k nadpřirozenému aspektu díla.

Základní princip popsal Leon Battista Alberti  : světelné paprsky vycházející ze scény tvoří přímé linie od bodů scény k oku umělce. Tvoří určitou pyramidu s okem umístěným na vrcholu. Umělcova malba musí představovat část této pyramidy řezanou rovinou. Uplatňování této zásady tvoří hlavní část smlouvy.

Tato myšlenka je jednoduchá, ale nenaznačuje „jak“ reprezentovat tuto část pyramidy na desce. Piero pojednání je první, kdo dává přesné geometrické konstrukce k dokončení této práce.

Práce je rozdělena do tří knih:

• I: popis, jak kreslit objekty jednotlivě,
• II: popis, jak je umístit do vesmíru,
• III: reprezentace složitých objektů.

Titulky ilustrací jsou stejně důležité jako psaný text a problémy sledují rostoucí postup, který jde od nejjednoduššího po nejsložitější velmi metodickým způsobem. Pojednání je zamýšleno jako praktický manuál pro výuku malířů a architektů, jak kreslit v perspektivě, s desítkami cvičení, ilustrovanými diagramy.

Pro Piero je znázornění objektů založeno na teorii vidění stanovené v Euclidově optice .

V první knize začíná vysvětlením Euklidových myšlenek. Poté přejde k reprezentaci jednoduchých postav:

• Náměstí na zemi; pozorovatel v dané výšce a vzdálenosti; jakou postavu by měl umělec kreslit na svůj obraz?
• Stejná otázka pro řadu čtverců, které tvoří obklady místnosti, nebo pro jakýkoli mnohoúhelník na zemi.

Druhá kniha je krokem ke komplikovanějším objektům.

• Jakmile víme, jak nakreslit mnohoúhelníky na zem, postavíme je na kostky, hranoly atd.
• Když zvládneme reprezentaci hranolů, přejdeme k budovám na čtvercovém, obdélníkovém, kruhovém půdorysu, kupolách atd.

Třetí kniha je věnována složitým objektům: hlavní města, lidská těla atd. s reprezentacemi v ortogonální projekci a v perspektivě.

Pojednání je primárně určeno pro malíře a architekty, nikoli pro matematiky. Takže pro první představuje Piero řadu „receptů“: „Chcete-li nakreslit čtverec v perspektivě, udělejte to, to a tamto ... abyste dosáhli výsledku“. Piero je však matematik a demonstrace jeho konstrukcí je pro něj zásadní a dává je, ale někdy lakonicky.

Jeho základní konstrukce pro kreslení čtverce je uvedena a předvedena v Proposition 13. Když člověk tomuto důkazu dobře porozuměl, je relativně snadné dokončit ukázky následujících konstrukcí.

Typickým příkladem uplatnění teorie uvedené v De Prospectiva pingendi je obraz Ideální město , který si objednal vévoda z Urbina kolem roku 1480. Autor je neznámý, ale pravděpodobně architekt. Velmi dobře asimiloval metody Piero vystavené v De Prospectiva pingendi .

Matematika knihy

Ve své době byl Piero uznáván jako velmi schopný matematik. Giorgio Vasari v The Lives of the Best Painters, Sculptors and Architects říká, že Piero od dětství projevuje nadání pro matematiku a že napsal „hodně“ matematických pojednání. Z jeho pojednání k nám sestoupili jen dva další: Trattato d'Abaco a Libellus de quinque corporibus regularibus (viz matematik Piero ).

De Prospectiva pingendi by neměla být považována pouze za příručku pro cvičení kreslení. Zahrnuje také velmi originální matematiku:

• „Základní věta“ (jediné cvičení, které nemá žádnou ilustraci), ale která je pro předmět ústřední.
• Demonstrace Piero její výstavby do perspektivního pohledu na náměstí na zemi je první nový přírůstek do geometrie Euclid Fibonacci již od XII -tého  století a na počátku projektivní geometrie .

V knize I, po několika základních konstrukcích, které zavedly myšlenku, že zdánlivá dimenze objektu se měří úhlem zasunutým do oka as referencí Euclid, I až VI a v jeho knize Optics , se dostáváme k Pierovu problému 13: „Jak reprezentovat čtverec na zemi před pozorovatelem? "

"Co přesně musí umělec nebo architekt nakreslit?" "

Jakmile je řešení této základní otázky dobře asimilováno, Piero přechází k reprezentaci dalších polygonů umístěných na zemi, s libovolnou orientací.

Základní technikou je perspektivní znázornění čtverce, od něj jsou odvozeny všechny ostatní reprezentace.

Pierova konstrukce pro sedan v perspektivě

Základní situace je znázorněna na následujícím obrázku:

• Na zemi je vodorovně umístěn čtverec (černý);
• Oko umělce , umístěné trochu napravo od náměstí, ho pozoruje z určité vzdálenosti a z určité výšky;NA{\ displaystyle A}
• Jeho plátno je svislé, před čtvercem.

Co by měl nakreslit na plátno, aby představoval to, co vidí na náměstí?

Princip perspektivního kreslení spočívá v kreslení přímek mezi každým bodem čtverce a umělcovým okem. Průsečíky těchto linií s rovinou plátna dávají reprezentaci čtverce , viděného umělcem. BVSE′D′{\ displaystyle BCE'D '}

Perspektivní kresba není kresba „od ruky“, jedná se o velmi přesnou geometrickou konstrukci, zejména pro architektonická znázornění. Zdánlivé délky čar musí být reprodukovány přesně.

Konstrukce, kterou umělec musí udělat, je v plánu jeho malby. Pomocné čáry potřebné k určení reprezentace budou vymazány, nebo pokud se jedná o předběžný výkres, bude výsledek zkopírován na finální stůl. Ve všech případech musí umělec ve svém výkresu představovat všechny rozměry (strana čtverce, vzdálenost od umělce, výška umělce) v měřítku. Níže je uveden Pierův algoritmus; můžeme to sledovat, získat čtverec v perspektivě, aniž bychom pochopili „proč“ jeho účinnosti.

Pierův algoritmus

V rovině stolu nakreslete:

1. náměstí , které chceme reprezentovat v perspektivě;BVSGF{\ displaystyle BCGF}
2. čára , jako je vzdálenost mezi umělcem a stranou čtverce na zemi;DBVS{\ displaystyle DBC}BD{\ displaystyle BD}
3. svislá čára , například výška umělcova oka nad zemí;DNA{\ displaystyle DA}DNA{\ displaystyle DA}
4. čára rovnoběžná s kterou prochází  ; na této čáře označte bod , který představuje boční polohu umělce ve vztahu ke čtverci na zemi;DBVS{\ displaystyle DBC}NA{\ displaystyle A}NA′{\ displaystyle A '}
5. linka , která snižuje v  ;NAVS{\ displaystyle AC}BF{\ displaystyle BF}E{\ displaystyle E}
6. linie , která protíná ve  ;NAG{\ displaystyle AG}BF{\ displaystyle BF}H{\ displaystyle H}
7. řádky a  ;NA′B{\ displaystyle A'B}NA′VS{\ displaystyle A'C}
8. čára rovnoběžná s kterou prochází a protíná se dovnitř a dovnitř .VSBD{\ displaystyle CBD}E{\ displaystyle E}NA′B{\ displaystyle A'B}D′{\ displaystyle D '}NA′VS{\ displaystyle A'C}E′{\ displaystyle E '}

Čtyřúhelník je perspektivní znázornění čtverce na zemi před umělcem. BVSE′D′{\ displaystyle BCE'D '}

Pierova konstrukce je jednoduchá, stručná, důmyslná a především elegantní. Byl navržen velmi talentovaným matematikem.

Konstrukci lze snadno opakovat, aby reprezentovala například obklad místnosti v perspektivě. Není nutné demonstraci rozumět, protože konstrukce poskytuje očekávaný výsledek pouhým dodržením „receptu“.

Vzhled „čtverce v perspektivě“ po těchto operacích je trochu překvapivý. Jak se ujistit, že toto zobrazení je správné?

Abyste pochopili Pierovu konstrukci, musíte dělat stejnou intelektuální gymnastiku jako on.

Nejprve si musíme uvědomit, že Obr. B je součet dvou ortogonálních pohledů na situaci znázorněnou na obr. A a obraz viděný umělcem:

• Ortogonální pohled, rovnoběžný s rovinou obrazu, který bude použit k určení výšky čtverce v perspektivním zobrazení.
• Ortogonální půdorys, který bude použit k určení délky strany čtverce, která je od umělce nejdále.
• Konečný pohled na obraz se znázorněním čtverce v perspektivě.

Ve stavebnictví existují tři důležité otázky:

• Proč se délka segmentu rovná výšce zastoupení čtverce v tabulce?BE{\ displaystyle BE}
• Proč se délka segmentu rovná délce strany čtverce nejvzdálenější od umělce?EH{\ displaystyle EH}
• Proč dvě délky a jsou stejné?EH{\ displaystyle EH}D′E′{\ displaystyle D'E '}

Pierovy demonstrace jsou založeny na sérii velmi důmyslných vztahů mezi podobnými trojúhelníky. Používá Thalesovu větu , která uvádí, že poměry mezi odpovídajícími stranami dvou podobných trojúhelníků jsou konstantní.

Ukázka, která představuje výšku čtverce v perspektivěBE{\ displaystyle BE}

Na obrázku naproti:

Pokud umístíme takové, které je kolmé na rovinu pole, nacházíme se v situaci kroku 5 algoritmu, kde se čára protíná v . X{\ displaystyle X}DX{\ displaystyle DX}NAVS{\ displaystyle AC}BF{\ displaystyle BF}E{\ displaystyle E}

Výška čtverce v perspektivě v rovině obrazu je  ; to prokazujeme . Korespondence s výstavbou Piero je, že trojúhelník odpovídá trojúhelníku a na . YZ{\ displaystyle YZ}YZ=UPROTI{\ displaystyle YZ = UV}NADX{\ displaystyle ADX}NADVS{\ displaystyle ADC}UPROTI{\ displaystyle UV}BE{\ displaystyle BE}

• Trojúhelníky a jsou podobné. Podle Thalesovy věty .NADF{\ displaystyle ADF}ZYF{\ displaystyle ZYF}ZYNAD=DYDF{\ displaystyle {\ frac {ZY} {AD}} = {\ frac {DY} {DF}}}
• Trojúhelníky a jsou podobné. Podle Thalesovy věty .DFX{\ displaystyle DFX}DYU{\ displaystyle DYU}DYDF=DUDX{\ displaystyle {\ frac {DY} {DF}} = {\ frac {DU} {DX}}}
• Trojúhelníky a jsou podobné. Podle Thalesovy věty .NADX{\ displaystyle ADX}PROTIUX{\ displaystyle VUX}UPROTINAD=DUDX{\ displaystyle {\ frac {UV} {AD}} = {\ frac {DU} {DX}}}

Takže a . UPROTINAD=YZNAD{\ displaystyle {\ frac {UV} {AD}} = {\ frac {YZ} {AD}}}UPROTI=YZ{\ displaystyle UV = YZ}

QED   Ukázka, která je délkou strany čtverce nejdále od umělceEH{\ displaystyle EH}

V kroku 6 své konstrukce se Piero dívá na postavu v rovině obrazu, jak je vidět svisle, a použije výše uvedenou metodu k vytvoření segmentu, který má požadovanou délku. EH{\ displaystyle EH}

Na protějším obrázku je ortogonální půdorys situace zobrazené na OBR. NA.

Poloha strany čtverce v rovině tabulky je dána průsečíkem přímek a rovinou tabulky, tj. Segmentem (tučné černé čáry). Trvá to . FG{\ displaystyle FG}NAG{\ displaystyle AG}NAF{\ displaystyle AF}E′D′{\ displaystyle E'D '}E′D′{\ displaystyle E'D '}

Piero ví, že když klouže kopii ( ) na náměstí proti rovině stolu a kreslí čáry a poté segment má stejnou délku jako segmentu . Čtverec odpovídá čtverci na obr. NA. ŽXYZ{\ displaystyle WXYZ}NAY{\ displaystyle AY}NAZ{\ displaystyle AZ}UPROTI{\ displaystyle UV}E′D′{\ displaystyle E'D '}ŽXYZ{\ displaystyle WXYZ}BVSFG{\ displaystyle BCFG}

Demonstrace:

• Trojúhelníky a jsou podobné. Podle Thalesovy věty .NAFG{\ displaystyle AFG}NAŽD′{\ displaystyle AWD '}E′D′GF=NAD′NAF{\ displaystyle {\ frac {E'D '} {GF}} = {\ frac {AD'} {AF}}}
• Trojúhelníky a jsou podobné. Podle Thalesovy věty .NAZF{\ displaystyle AZF}NAD′E′{\ displaystyle AD'E '}NAD′NAF=NAŽNAZ{\ displaystyle {\ frac {AD '} {AF}} = {\ frac {AW} {AZ}}}
• Trojúhelníky a jsou podobné. Podle Thalesovy věty .NAYZ{\ displaystyle AYZ}NAPROTIU{\ displaystyle AVU}NAŽNAZ=UPROTIYZ{\ displaystyle {\ frac {AW} {AZ}} = {\ frac {UV} {YZ}}}

Takže, ale z čehož vyplýváD′E′GF=UPROTIYZ{\ displaystyle {\ frac {D'E '} {GF}} = {\ frac {UV} {YZ}}}GF=YZ{\ displaystyle GF = YZ}D′E′=UPROTI{\ displaystyle D'E '= UV}

QED   Demonstrace, že EH=D′E′{\ displaystyle EH = D'E '}

Demonstrace  :

Podobné použité trojúhelníky jsou:

• Trojúhelníky a jsou podobné, takžeNA′BVS{\ displaystyle A'BC}NA′D′E′{\ displaystyle A'D'E '}D′E′BVS=NA′E′NA′VS{\ displaystyle {\ frac {D'E '} {BC}} = {\ frac {A'E'} {A'C}}}
• Trojúhelníky a jsou podobné, takžeNANA′VS{\ displaystyle AA'C}EE′VS{\ displaystyle EE'C}NA′E′NA′VS=NAENAVS{\ displaystyle {\ frac {A'E '} {A'C}} = {\ frac {AE} {AC}}}
• Trojúhelníky a jsou podobné, takžeNAHE{\ displaystyle AHE}NAVSG{\ displaystyle ACG}NAENAVS=EHVSG{\ displaystyle {\ frac {AE} {AC}} = {\ frac {EH} {CG}}}

Takže a protože máme . D′E′BVS=NA′E′NA′VS=NAENAVS=EHVSG{\ displaystyle {\ frac {D'E '} {BC}} = {\ frac {A'E'} {A'C}} = {\ frac {AE} {AC}} = {\ frac {EH} {CG}}}BVS=VSG{\ displaystyle BC = CG}D′E′=EH{\ displaystyle D'E '= EH}

QED    

Bibliografie

 : dokument použitý jako zdroj pro tento článek.

• Lucien Vinciguerra, Archeologie pohledu: Na Piero della Francesca, Vinci a Dürer , Paříž, Presses Universitaires de France, kol.  "Art lines",2007, 163  s. ( ISBN  978-2-13-056000-5 ).
• (en) The Cambridge Companion to Piero della Francesca ( ed. ), The Cambridge Companion to Piero della Francesca , Cambridge University Press, coll.  "Cambridge Companions to the History of Art",2002, 310  s. ( ISBN  978-0-521-65472-2 ).

• (en) Kirsti Andersen , „Matematické zpracování anamorfóz od Piero della Francesca po Niceron“ , v History of Mathematics: States of the Art. Flores Quadrivii - Studie na počest Christopha J. Scriby , Academic Press,1996.

• (en) Kirsti Andersen , The Geometry of an Art: The history of the matematic theory of perspective from Alberti to Monge , Berlin, Springer,2008, 814  str. ( ISBN  978-0-387-25961-1 , online prezentace ).

• (en) Marco Bussagli ( překlad  z italštiny), Piero Della Francesca , Giunti Editore, kol.  "Art Dossier Series",1998, 60  s. ( ISBN  978-88-09-21559-7 , online prezentace ).

• (en) Judith Veronica Field ( dir. ), „Matematika a malířské řemeslo: Piero della Francesca a perspektiva“ , JV Field a Frank AJL James, Renaissance et Revolution: Humanisté, vědci, řemeslníci a přírodní filozofové v raně novověké Evropě , Cambridge University Press,1997, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1993) ( ISBN  0-521-43427-0 , on-line prezentace ).

• (en) Judith Veronica Field, „Mathematician's Art“ , v MA Lavin, Piero della Francesca and His Legacy , Washington, National Gallery of Art,1995, 328  s. ( ISBN  9780894682032 ) , str.  177-198.

• (en) Martin Kemp, „Piero and the Idiots: The Early Fortuna of his Theories of Perspective“ , MA Lavin, Piero della Francesca and His Legacy , Washington, National Gallery of Art,1995, 328  s. ( ISBN  9780894682032 ) , str.  199-212.

• (en) Judith Veronica Field, Vynález nekonečna: Matematika a umění v renesanci , Oxford University Press,1997, 262  s. ( ISBN  978-0-19-852394-9 , online prezentace ).
• (en) Mark A. Peterson, „  The Geometry of Piero della Francesca  “ , na Mount Holyoke College a (en) Mark A. Peterson, „  The Geometry of Piero della Francesca  “ , The Mathematical Intelligencer , sv.  19, n o  3,Červen 1997, str.  33-40 ( DOI  10.1007 / BF03025346 , online prezentace ).
• (en) Judith Veronica Field, Piero Della Francesca: Mathematician's Art , Yale University Press,2005, 420  s. ( ISBN  978-0-300-10342-7 , online prezentace ).
• (en) Larry Witham, Piero's Light: Při hledání Piero della Francesca, renesančního malíře a revoluce v umění, vědě a náboženství , Open Road Media,2014, 400  s. ( ISBN  978-1-60598-494-0 , online prezentace ).

• Jean-Pierre Crettre, Podpora vnitřní geometrie malířů: Od Cambue po Georges de La Tour , ISTE éditions, kol.  "Umění a znalosti",2017, 536  s. ( ISBN  978-1-78405-223-2 , online prezentace ) , s.  319-384 - Kapitola 7: Tři díla Piera della Francesca.

Reference

1. (en) JV Field, „  Alberti, důkaz abakusu a Piero della Francesca jako důkaz perspektivy  “ , Renaissance Studies , Wiley, sv.  11, n O  21997, str.  61-88 ( JSTOR : 24412596 ).
2. (in) Riccardo Migliari Salvatore a Marta, „  Základní věta“ De Prospectiva Pingendi  “ na ResearchGate ,dubna 2015(zpřístupněno 9. září 2018 ) .
3. Luca Pacioli , Summa de aritmetica , 1494
4. Kodex (ms. Parmese 1576) v Parmě: (it) „  De prospectiva pingendi  “ , v muzeu Galileo (přístup k 8. září 2018 )
5. „  Biblioteca Panizzi - domovská stránka  “ , na Biblioteca Panizzi
6. Kodex Reggio Emilia (ms. Reggiani A 41/2): (it) „  De prospectiva pingendi  “ , o muzeu Galileo (konzultováno 8. září 2018 ) a (it) „  De prospectiva pingendi  “ , o Biblioteca Panizzi
7. Kodex (ms. D 200) Biblioteca Ambrosiana: (it) „  De prospectiva pingendi  “ , v muzeu Galileo (přístup k 8. září 2018 )
8. Kodex (ms. SP 6 bis) Biblioteca Ambrosiana: (it) „  De prospectiva pingendi  “ , v muzeu Galileo (přístup k 8. září 2018 )
9. Kodex (ms. 616) Bordeaux: (la) „  De prospectiva pingendi  “ , o Bibliothèque municipale de Bordeaux (konzultováno 8. září 2018 )
10. Kodex (cod. 10366) Britské knihovny: (it) „  De prospectiva pingendi  “ , v muzeu Galileo (přístup k 8. září 2018 )
11. Kodex (lat. 9337 latinský dodatek 16) BNF: (it) „  De prospectiva pingendi  “ , v muzeu Galileo (přístup k 8. září 2018 )
12. Kritická analýza vydání Chiary Gizzi Giovanniho Mazzaferra: (en) Giovanni Mazzaferro, „  Piero della Francesca. Z prospectiva pingendi. Edited by Chiara Gizzi, Venice, 2016  ” , on Letteratura artistica Cross-cultural Studies in Art History Sources (přístup 9. září 2018 ) .
13. JV Field, „  Využití perspektivy v umění Piera Della Francesca,  “ na Institutu Maxe Plancka pro dějiny vědy .

Podívejte se také

Související články

• Libro dell'arte
• John Peckham
• Trattato della pittura
• Seznam matematických umělců  (in)
• Umění a matematika
• Matematická krása
• Euklid
• Euklidovská geometrie
• Projektivní geometrie
• Deskriptivní geometrie
• Lineární perspektiva

externí odkazy

• (en) James Banker, „  Tři géniové a františkánský mnich  “ , The Frick Collection (konzultováno 9. září 2018 ) , video z konference odélce 60 mArchimedes, Piero della Francesca, Leonardo da Vinci a Luca Pacioli.

• JJ O'Connor, EF Robertson a JV Field, „  Piero della Francesca  “ , v archivu MacTutor History of Mathematics - University of Saint-Andrews, Scotland (přístup 9. září 2018 ) .

• (en) [video] Od Prospectiva Pingendi na YouTube
• (it) [video] Piero della Francesca: vita e opere v 10 bodech na YouTube
• (it) [video] Muzeum Aboca - DE PROSPECTIVA PINGENDI - UFFIZI (prezentace faksimile) I na YouTube
• (it) [video] Muzeum Aboca - DE PROSPECTIVA PINGENDI - UFFIZI (prezentace faksimile) II na YouTube
• (en) [video] Flagellation of Christ, Composition and Geometry on YouTube