Objednaná filtrační sada

V matematiky , je filtrování uspořádaná množina je uspořádaná množina (to je, ve kterém mohou být některé prvky, říká, že je větší, než ostatní), tak, že pro každou dvojici prvků existuje prvek, který je větší než každý prvek z dvojice. To na prvním místě znamená, že tento třetí prvek lze porovnat s prvními dvěma, což není automatické v uspořádané množině (implicitně částečně uspořádané, na rozdíl od plně uspořádané ).

V topologii se tento pojem používá k definování zobecněných sekvencí, kde místo indexování podle jsou indexovány uspořádanou sadou filtrování. Myšlenka spočívá v tom, že k vyjádření toho, že něco „směřuje k nekonečnu“, není nutné mít celkový řád jako on, ale jednoduše, že pro každou konečnou podmnožinu můžeme říci, že existuje prvek větší než všechny. NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}

Definice

Uspořádaná množina ( I , ≤) se říká, že filtruje (napravo), pokud

∀(i,j)∈Já2 ∃k∈Jái≤k a j≤k.{\ displaystyle \ forall (i, j) \ v I ^ {2} ~ \ existuje k \ v I \ quad i \ leq k {\ text {et}} j \ leq k.}

Říkáme, že filtrování je vlevo, pokud filtrování v opačném pořadí filtruje vpravo, to znamená pokud

∀(i,j)∈Já2 ∃k∈Ják≤i a k≤j.{\ displaystyle \ forall (i, j) \ v I ^ {2} ~ \ existuje k \ v I \ quad k \ leq i {\ text {et}} k \ leq j.}

Výše uvedené definice lze zobecnit na předobjednávky vztahů .

Příklady

• (NE,≤){\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ leq)}filtruje, obecněji filtruje jakákoli zcela uspořádaná sada .
• Pro libovolnou množinu X je filtrována množina konečných částí X (seřazená podle zahrnutí).
• Na mřížoví jsou filtrování na pravé a na levé straně.
• Tyto filtry a obecně filtry filtrování databáze jsou ponechány pro zařazení.

Propojit s filtry

Nechť je uspořádaná sada filtrování vlevo. Všechno (Já,≤){\ displaystyle (I, \ leq)}

B={[X,+∞[∣X∈Já}{\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {[x, + \ infty [\ mid x \ v I \}}je základ filtru, kde pro všechna x z I označuje část .[X,+∞[{\ displaystyle [x, + \ infty [}{y∈Já,y≥X}{\ displaystyle \ {y \ v I, y \ geq x \}}

Když jsem se připouští větší prvek , tento filtr je hlavní filtr . ω{\ displaystyle \ omega}Fω{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ omega}}

Konečné části

Je uspořádaná množina (nebo ne filtrování) a J část I . Říkáme, že J je cofinál (en) si . (Já,≤){\ displaystyle (I, \ leq)} ∀X∈Já, ∃y∈J, X≤y{\ displaystyle \ forall x \ in I, \ \ existuje y \ v J, \ x \ leq y}

V různých definicích limitu, limitu v analýze nebo indukčního nebo projektivního limitu v algebře neměníme limitu (nebo někdy) limitu (limity) nahrazením filtračního systému kofinální částí.

Říká se, že J je výsledek cofinální, pokud je izomorfní . Výhodou konečné sekvence je návrat k základní definici limitu. (J,≤){\ displaystyle (J, \ leq)}(NE,≤){\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ leq)}

Jakákoli objednaná filtrační sada, která připouští spočetnou kofinální část, připouští kofinální sekvenci. Zejména , v topologickém prostoru , pokud jakýkoli bod připouští spočetnou základnu sousedství , pak se jedná o sekvenční prostor , tj. Můžeme topologii zcela popsat pomocí sekvencí.

Podívejte se také

Související článek

Ideální (teorie objednávek)

Bibliografie

Nawfal El Hage Hassan, Obecná topologie a standardizované prostory , online prezentace a doplňky

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">