Pokračování (matematika)
V matematiky , je sekvencí je rodina prvků - tzv jeho „podmínky“ - indexované přirozených čísel . Konečná posloupnost je rodina indexovány přísně kladná celá čísla menší než nebo rovnající se určité celé číslo, přičemž druhý s názvem „délka“ sekvence.
Když jsou všechny prvky dané (nekonečná) sekvence patří do stejné sady , tato sekvence může být přirovnán k aplikaci z v . Typicky existuje pokračování nebo zkrácené .
E{\ displaystyle E}NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}E{\ displaystyle E}(une)ne∈NE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(une){\ displaystyle (u_ {n})}
Zejména mluvíme o „celé“ sekvence, „skutečný“ sekvence a „komplexní“ sekvence, když je podmnožina , a , v tomto pořadí.
E{\ displaystyle E}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
Fragmenty historie
Tyto číselné sekvence se vztahují k matematické měření (měření jevu v pravidelných intervalech) a analýzy (číselný výsledek je diskrétní ekvivalent digitální funkce ). Pojem posloupnost existuje, jakmile se objeví neomezené výpočtové procesy. Lze je najít například v Archimédovi , specialistovi na neomezené aproximační procesy ( geometrické řady poměru 1/4) pro výpočty ploch a objemů, nebo v Egyptě kolem roku 1700 před naším letopočtem. AD a nejnověji jsem st century AD. AD v procesu extrakce druhé odmocniny metodou Herona Alexandrijského:
Chcete-li extrahovat druhou odmocninu , vyberte libovolný výraz a vezměte průměr mezi a a začněte znovu, pokud chcete předchozí proces
NA{\ displaystyle A}Na{\ displaystyle a}Na{\ displaystyle a}NANa{\ displaystyle A \ přes a}V moderní notaci to definuje posloupnost čísel taková
(une){\ displaystyle (u_ {n})}
u0=Na{\ displaystyle u_ {0} = a}a pro libovolné celé číslo , .
ne{\ displaystyle n \;}une+1=12(une+NAune){\ displaystyle u_ {n + 1} = {1 \ nad 2} \ vlevo (u_ {n} + {A \ přes u_ {n}} \ vpravo)}Pak zjistíme, že tato starost o několik století později (od XVII th století ) s nedělitelnou metodou ( Cavalieri , Torricelli , Pascal , Roberval ). V Encyclopedia Reasoned of d'Alembert and Diderot (1751) je mnoho ponecháno na sekvence a série, jejichž hlavním zájmem se zdá být konvergence:
Posloupnost a řada : říká se o pořadí nebo postupu veličin, které se zvyšují nebo snižují podle určitých zákonů. Když posloupnost vždy jde blíž a blíže k nějaké konečné veličině […], říká se jí konvergentní posloupnost a pokud ji budeme pokračovat do nekonečna, stane se rovnou této veličině.
Takto vidíme Bernoulliho , Newtona , Moivreho , Stirlinga a Wallise , kteří se zajímají o sekvence, aby se přiblížili číselné hodnoty. Právě Lagrangeovi dlužíme, jak se zdá, indexovou notaci. Studium sekvencí otevírá dveře k celé sérii, jejímž cílem je přiblížit se, už ne čísla, ale funkce. Ve druhé polovině XX -tého století, vývoj kalkulaček a počítačů dává nový život studiu apartmá v numerické analýzy pomocí metody konečných prvků . Používá se také ve finanční matematice .
Současně s těmito studiemi sekvencí pro jejich konvergenci se vyvíjí určitá chuť pro studium sekvence, ani ne tak pro její konvergenci, ale pro její obecný pojem. To je případ například u velkého počtu sekvencí celých čísel , jako je Fibonacci , že Lucas , nebo, v poslední době, to Syracuse . Zvláště studována je také řada koeficientů v celé řadě nebo řada čísel objevená během výčtu .
Zápisy
Sada sekvencí prvků indexovaný o část z je známý nebo .
E{\ displaystyle E} NA{\ displaystyle A}NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}F(NA,E){\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ vlevo (A, E \ vpravo)}ENA{\ displaystyle E ^ {A}}
Buď část . Dovolit být posloupnost prvků . Obrázek celého čísla označíme jako .
NA{\ displaystyle A}NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}u∈ENA{\ displaystyle u \ v E ^ {A}}E{\ displaystyle E}une{\ displaystyle u_ {n}}u(ne){\ displaystyle u (n)}ne{\ displaystyle n}u{\ displaystyle u}
To znamená, že obrazy jsou zaznamenány .
0,1,2,...,ne{\ displaystyle 0,1,2, \ tečky, n}u0,u1,u2,...,une{\ displaystyle u_ {0}, u_ {1}, u_ {2}, \ tečky, u_ {n}}
Říkáme, že to je pojem pořadí nebo indexu posloupnosti .
une{\ displaystyle u_ {n}}ne{\ displaystyle n}ne{\ displaystyle n}u{\ displaystyle u}
Obecně si povšimneme následujícího : což je tedy aplikace.
u{\ displaystyle u}(une)ne∈NA{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ v A}}
Když to prostě bere na vědomí následující: .
NA=NE{\ displaystyle A = \ mathbb {N}}(une){\ displaystyle (u_ {n})}
Kdy , jeden může zaznamenat pokračování nebo ještě .
NA=NEne: =[1,ne]∩NE={1,2,...,ne}{\ displaystyle A = \ mathbb {N} _ {n}: = [1, n] \ cap \ mathbb {N} = \ {1,2, \ tečky, n \}}(uk)1≤k≤ne{\ displaystyle (u_ {k}) _ {1 \ leq k \ leq n}}(u1,u2,...,une){\ displaystyle (u_ {1}, u_ {2}, \ tečky, u_ {n})}
Poznámka
Sekvence by neměla být zaměňována s sadě hodnot sekvence , která je přímá obraz z par . Zvažte například posloupnost , sada hodnot posloupnosti je .
u=(une)ne∈NE{\ displaystyle u = (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}{une∣ne∈NE}{\ displaystyle \ {u_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}u{\ displaystyle u}((-1)ne){\ displaystyle \ left ((- 1) ^ {n} \ right)}{-1,1}{\ displaystyle \ {- 1,1 \}}
Příklady
Null sekvence je sekvence, jejíž všechny termíny jsou null:
(0,0,0,0,...){\ displaystyle \ left (0,0,0,0, \ dots \ right)}.
Obecněji, pokud je sekvence a to , pak říkáme, že jde o „téměř nulovou“ sekvenci nebo „nulu z určité pozice“.
(une){\ displaystyle (u_ {n})}∃NE∈NE∀ne≥NEune=0{\ displaystyle \ existuje N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ geq N \ quad u_ {n} = 0}(une){\ displaystyle (u_ {n})}
Z důvodu pohodlí, pro libovolný prvek z lze identifikovat a více:
k{\ displaystyle k}E{\ displaystyle E}k{\ displaystyle k}
(k,k,k,...){\ displaystyle \ left (k, k, k, \ dots \ right)}Pojďme pózovat ; je posloupnost inverzí celých čísel. To může být reprezentováno:
∀ne∈NE,une=1ne+1{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, u_ {n} = {1 \ over {n + 1}}}u=(une)ne∈NE{\ displaystyle u = (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
(1,12,13,14,15,16,⋯){\ displaystyle \ left (1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {5} }, {\ frac {1} {6}}, \ cdots \ right)}.
Obecný termín a opakování
Sada je aplikace A (část ) do E , to je zajímavé a důležité vědět, obraz n pro každou n o A . Pokud je uveden jako výraz n a umožňuje přímý výpočet počtu říkáme, že víme, že obecný pojem o .
NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}une{\ displaystyle u_ {n}}une{\ displaystyle u_ {n}}
Nicméně, pokud je povaha výchozího souboru umožňuje definovat sekvence o vztah opakování : termín s indexem n je dána jako funkce n a termíny s indexy k , k ≤ n . Princip definice indukcí umožňuje potvrdit, že poté stačí odvodit všechny pojmy (posloupnost je dobře definována). V praxi bude stanovení vůle vyžadovat výpočet všech termínů od do . V programování toto opakování vedlo k vytvoření rekurzivních funkcí . Část výzkumu sekvencí bude spočívat ve stanovení obecného termínu sekvence se znalostí jejího relace opakování.
NA={ne∈NE∣ne≥ne0}{\ displaystyle A = \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid n \ geq n_ {0} \}}une0{\ displaystyle u_ {n_ {0}}}(une)ne≥ne0{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geq n_ {0}}}une{\ displaystyle u_ {n}}une0{\ displaystyle u_ {n_ {0}}}une-1{\ displaystyle u_ {n-1}}
Příklad
Po definované a pro jakékoliv celé číslo n , je výsledkem faktoru: .
(une){\ displaystyle (u_ {n})}u0=1{\ displaystyle u_ {0} = 1}une+1=(ne+1)une{\ displaystyle u_ {n + 1} = (n + 1) u_ {n}}une=ne!{\ displaystyle u_ {n} = n!}
Součet podmínek posloupnosti
Pokud je to skupina přísad, označujeme: nebo součet:
E{\ displaystyle E}∑ne=pqune{\ displaystyle \ sum _ {n = p} ^ {q} u_ {n}}∑p≤ne≤qune{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq n \ leq q} u_ {n}}
up+up+1+⋯+uq.{\ displaystyle u_ {p} + u_ {p + 1} + \ cdots + u_ {q}.}
Příklady apartmá
Aritmetický postup
Je to posloupnost hodnot ve skupině aditiv, definovaná indukcí:{une0=Na∀ne≥ne0une+1=une+r{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {n_ {0}} = a \\\ forall n \ geq n_ {0} \ quad u_ {n + 1} = u_ {n} + r \ end {cases}} }
kde je konstanta. Jeho obecný termín je pak:
r{\ displaystyle r}
une=Na+(ne-ne0)r.{\ displaystyle u_ {n} = a + (n-n_ {0}) r.}
Geometrická posloupnost
Jedná se o posloupnost hodnot v monoidu , definovanou indukcí:{une0=Na∀ne≥ne0,une+1=qune{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {n_ {0}} = a \\\ forall n \ geq n_ {0}, \ quad u_ {n + 1} = qu_ {n} \ end {cases}}}
kde je konstanta. Jeho obecný termín je pak:
q{\ displaystyle q}
une=Naqne-ne0.{\ displaystyle u_ {n} = aq ^ {n-n_ {0}}.}
Aritmeticko-geometrické posloupnosti
Jedná se o posloupnost hodnot v komutativním poli definovaných indukcí:{une0=U∀ne≥ne0,une+1=Naune+b.{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {n_ {0}} = U \\\ for all n \ geq n_ {0}, \ quad u_ {n + 1} = au_ {n} + b. \ end {cases }}}
- Pokud je posloupnost aritmetickou posloupností .Na=1{\ displaystyle a = 1}
- Pokud je jeho obecný termín pak:Na≠1{\ displaystyle a \ neq 1}
une=b1-Na+Nane-ne0(U-b1-Na).{\ displaystyle u_ {n} = {\ frac {b} {1-a}} + a ^ {n-n_ {0}} \ vlevo (U - {\ frac {b} {1-a}} \ vpravo ).}
Lineární rekurentní sekvence s konstantními koeficienty
Lineární opakující se sekvence je definována relací opakování:
une+p=Na0une+Na1une+1+⋯+Nap-1une+p-1{\ displaystyle u_ {n + p} = a_ {0} u_ {n} + a_ {1} u_ {n + 1} + \ cdots + a_ {p-1} u_ {n + p-1}}
kde , ... jsou skalární ( ).
Na0{\ displaystyle a_ {0}}Na1{\ displaystyle a_ {1}}Nap-1{\ displaystyle a_ {p-1}}p{\ displaystyle p} Na0≠0{\ displaystyle a_ {0} \ neq 0}
Celé číslo p se nazývá pořadí opakování. Sekvence s lineárním opakováním řádu 1 jsou geometrické sekvence ; slavná lineární rekurentní sekvence druhého řádu je Fibonacciho sekvence . Studium lineárních rekurentních sekvencí řádu p vyžaduje pojem vektorového prostoru a maticového počtu a máme metody umožňující výpočet obecného termínu libovolné sekvence tohoto typu.
Některé notoricky známé důsledky
Ve vesmíru sekvencí celých čísel najdeme nejznámější sekvence:
- Fibonacci sekvenci , kde každý člen je součtem dvou podmínek, které ji předcházejí a jehož známe obecný výraz a jeho vztah k zlatého řezu ;
- sekvence Conway , kde každý člen je nahlas popis předchozího období;
- sekvence Syracuse nebo Collatz definován jednoduchým recidivy vztahu: tímto pojmem se získá tím, že se buď polovinu předchozího výrazu, pokud je vůbec, nebo trojnásobek předchozího termínu zvýší o 1, je-li to je lichý. Matematici ještě v roce 2020 nejsou schopni ji modelovat pomocí funkce nebo určit, zda se tam číslo 1 objeví alespoň jednou, bez ohledu na počáteční výraz.
Limit jedné sady
Konvergentní apartmá
Definice limitu posloupnosti je v topologii klasická . Konvergence sekvencí v nebo v je zvláštním případem této definice: je formulována pomocí vzdálenosti (na které je postavena topologie těchto prostorů).
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
Intuitivně má sekvence limit (hodnoty), pokud jsou její body vždy blíže tomuto limitu, když se index zvyšuje na neurčito.
Obecná definice:
Nechť je topologický prostor a posloupnost hodnot v . My říkáme, že prvek ze je limit sekvence , pokud
E{\ displaystyle E}(une){\ displaystyle (u_ {n})}E{\ displaystyle E}ℓ{\ displaystyle \ ell}E{\ displaystyle E}(une){\ displaystyle (u_ {n})}
pro jakýkoli
otevřený kontejner je takový .
Ó{\ displaystyle O}ℓ{\ displaystyle \ ell}NE∈NE{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}∀ne>NEune∈Ó{\ displaystyle \ forall n> N \ quad u_ {n} \ v O}Skutečné konvergentní apartmá
Říkáme, že skutečná sekvence konverguje k tomu, že pro všechny existuje taková, že pro všechny :
(une){\ displaystyle (u_ {n})}ℓ{\ displaystyle \ ell}ε∈R+∗{\ displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}NE∈NE{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}ne>NE{\ displaystyle n> N}
|une-ℓ|≤ε.{\ displaystyle | u_ {n} - \ ell | \ leq \ varepsilon.}
Říkáme, že se blíží , a je třeba poznamenat: .
(une){\ displaystyle (u_ {n})}ℓ{\ displaystyle \ ell}limne→+∞une=ℓ{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} u_ {n} = \ ell}Konvergentní komplexní sada
Definice v ℝ platí v ℂ nahrazením absolutní hodnoty modulem .
Nekonečné limity
Pro skutečné sekvence jeden rozšíří pole možných limitů na dva nekonečné limity + ∞ a –∞ :
Vlastnosti
Vlastnosti limitů:
bude záviset na prostoru, na kterém pracujete, a jsou podrobně popsány v článku „ Limit sady “.
Skutečné posloupnosti a relační řád
Monotónní apartmá
Definice
Skutečná monotónní sekvence je monotónní (tj. Rostoucí nebo klesající) funkce ℕ v ℝ. Stejně tak se o skutečné posloupnosti říká, že je přísně monotónní, když se přísně zvyšuje nebo přísně snižuje.
Vlastnosti
Dokazujeme, že skutečná sekvence je:
(une){\ displaystyle (u_ {n})}
-
zvýšení if (a pouze pokud) ;∀ne∈NEune+1≥une{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n + 1} \ geq u_ {n}}
-
přísné zvyšování if (a pouze pokud) ;∀ne∈NEune+1>une{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n + 1}> u_ {n}}
-
klesající if (a pouze pokud) ;∀ne∈NEune+1≤une{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n + 1} \ leq u_ {n}}
-
přísně klesá, pokud (a pouze pokud) .∀ne∈NEune+1<une{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n + 1} <u_ {n}}
Příklady
Pořadí definované pomocí se přísně zvyšuje. Vskutku,(une){\ displaystyle (u_ {n})}∀ne∈NEune=2ne+1{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n} = 2n + 1}∀ne∈NEune+1-une=[2(ne+1)+1]-(2ne+1)=2>0.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n + 1} -u_ {n} = [2 (n + 1) +1] - (2n + 1) = 2> 0.}
Kritéria monotónnosti
Limity monotónních sekvencí
Ohraničené monotónní apartmá
Podle monotónní věty o limitu :
Pokud skutečná posloupnost roste (resp. Klesá) a je ohraničena (resp. Ohraničena ), pak je konvergentní a (resp. ).
(une){\ displaystyle (u_ {n})}M{\ displaystyle M}m{\ displaystyle m}limne→+∞une≤M{\ displaystyle \ lim _ {n \ až + \ infty} u_ {n} \ leq M}limne→+∞une≥m{\ displaystyle \ lim _ {n \ až + \ infty} u_ {n} \ geq m}
Z této vlastnosti vyplývá následující poznámka:
Dovolit a být dvě skutečné sekvence. Ano :
(une){\ displaystyle (u_ {n})}(protine){\ displaystyle (v_ {n})}
-
(une){\ displaystyle (u_ {n})} stoupá;
-
(protine){\ displaystyle (v_ {n})} klesá;
-
∃NE∈NE∀ne>NEune≤protine{\ displaystyle \ existuje N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n> N \ quad u_ {n} \ leq v_ {n}} ;
Tak :
(une){\ displaystyle (u_ {n})}a jsou konvergentní a .
(protine){\ displaystyle (v_ {n})}limne→+∞une≤limne→+∞protine{\ displaystyle \ lim _ {n \ až + \ infty} u_ {n} \ leq \ lim _ {n \ až + \ infty} v_ {n}}Neomezená monotónní sekvence
Opět podle monotónní limitní věty:
Pokud skutečná sekvence roste (resp. Klesá) a nezvyšuje se (resp. Není redukována), má tendenci k (resp. ).
(une){\ displaystyle (u_ {n})}+∞{\ displaystyle + \ infty}-∞{\ displaystyle - \ infty}
Sousední apartmá
Dvě skutečná apartmá a říká se, že sousedí, když:
(Nane){\ displaystyle (a_ {n})}(bne){\ displaystyle (b_ {n})}
- jeden se zvyšuje;
- druhá klesá;
- zbytek konverguje k .(Nane-bne){\ displaystyle (a_ {n} -b_ {n})}0{\ displaystyle 0}
Výhodou sousedních sekvencí je to, že na jedné straně umožňují dokázat existenci limitu, na druhé straně zajistit tak jemné rámování podle potřeby. To je díky následujícím dvěma vlastnostem:
- Pokud jsou dvě reálné sekvence a sousedí, pak konvergují a mají stejný limit .(Nane){\ displaystyle (a_ {n})}(bne){\ displaystyle (b_ {n})}ℓ{\ displaystyle \ ell}
- Navíc, za předpokladu, že rosteme a klesá, máme:(Nane){\ displaystyle (a_ {n})}(bne){\ displaystyle (b_ {n})}∀ne∈NENane≤Nane+1≤ℓ≤bne+1≤bne.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad a_ {n} \ leq a_ {n + 1} \ leq \ ell \ leq b_ {n + 1} \ leq b_ {n}.}
Soukromé apartmány
Cauchy apartmány
V tomto odstavci mluvíme o posloupnostech hodnot v metrickém prostoru .
(E,d){\ displaystyle (E, d)}
Sekvence se nazývá Cauchy, když: a .
(une){\ displaystyle (u_ {n})}∀η∈R+∗∃NE∈NE∀p∈NE∀q∈NE(p≥NE{\ displaystyle \ forall \ eta \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ existuje N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall q \ in \ mathbb {N} \ quad (p \ geq N}q≥NE)⇒d(up,uq)≤η{\ displaystyle q \ geq N) \ Rightarrow d (u_ {p}, u_ {q}) \ leq \ eta}
Ukazujeme, že:
- každá konvergentní sekvence je Cauchy;
- každá Cauchyova sekvence je omezena.
Celý prostor nazýváme prostorem, kde konverguje libovolná Cauchyova posloupnost.
Buď pokračování.
(une){\ displaystyle (u_ {n})}
Pokud se jedná o přísně rostoucí funkci (taková funkce se nazývá extraktor ), říkáme, že sekvence je sekvence extrahovaná (nebo subsekvence ) ze sekvence .
σ:NE→NE{\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {N} \ až \ mathbb {N}}(uσ(ne))ne∈NE{\ displaystyle (u _ {\ sigma (n)}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(une)ne∈NE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
Zhruba řečeno, je to pokračování, pro které jsme ponechali pouze určité termíny (každopádně nekonečno).
(une){\ displaystyle (u_ {n})}
Tyto extrahované sekvence se ukáží jako zajímavé, když se člověk snaží určit hodnoty adheze .
Ekvivalentní sady a zanedbatelné sady
Definice
Dovolit a být dvě skutečné sekvence. Říkáme, že je to vpředu zanedbatelné , a upozorňujeme , pokud:
(une){\ displaystyle (u_ {n})}(protine){\ displaystyle (v_ {n})}(une){\ displaystyle (u_ {n})}(protine){\ displaystyle (v_ {n})}une=Ó(protine){\ displaystyle u_ {n} = o (v_ {n})}
∃(εne)limne→∞εne=0{\ displaystyle \ existuje ({\ varepsilon} _ {n}) \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} {\ varepsilon} _ {n} = 0}a .
une=εneprotine{\ displaystyle u_ {n} = \ varepsilon _ {n} v_ {n}}Poznámka
Pokud z určité hodnosti, tak tehdy a jen tehdy .
protine≠0{\ displaystyle v_ {n} \ neq 0}une=Ó(protine){\ displaystyle u_ {n} = o (v_ {n})}limne→∞uneprotine=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {{u_ {n}} \ nad {v_ {n}}} = 0}
Příklad
Zvažte a .
une=1ne2{\ displaystyle u_ {n} = {1 \ nad n ^ {2}}}protine=1ne{\ displaystyle v_ {n} = {1 \ nad n}}
Pojďme pózovat . Pak máme:
εne=1ne{\ displaystyle {\ varepsilon} _ {n} = {1 \ nad n}}
-
une=εneprotine{\ displaystyle u_ {n} = {\ varepsilon} _ {n} v_ {n}} ;
-
limne→∞1ne=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {1 \ nad n} = 0}.
Odkud a .
1ne2=Ó(1ne){\ displaystyle {1 \ over n ^ {2}} = o \ left ({1 \ over n} \ right)}1ne2+1ne∼1ne{\ displaystyle {1 \ over n ^ {2}} + {1 \ over n} \ sim {1 \ over n}}
Definice
Dvě skutečné sekvence a říká se, že jsou ekvivalentní, pokud . Pak si všimneme .
(une){\ displaystyle (u_ {n})}(protine){\ displaystyle (v_ {n})}une-protine=Ó(protine){\ displaystyle u_ {n} -v_ {n} = o (v_ {n})}une∼protine{\ displaystyle u_ {n} \ sim v_ {n}}
Poznámka
Pokud z určité hodnosti, tak tehdy a jen tehdy .
protine≠0{\ displaystyle v_ {n} \ neq 0}une∼protine{\ displaystyle u_ {n} \ sim v_ {n}}limne→∞uneprotine=1{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {{u_ {n}} \ nad {v_ {n}}} = 1}
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
Slovo sekvence je anglicismem.
-
Nicméně, Euler a jeho následovníci ukáže, že je také možné použít sekvence a zejména rozdílné série; podrobnosti viz „ Divergentní série “.
-
Nebo obecněji v komutativním kruhu .
-
Nebo obecněji, pokud je invertibilní .Na-1{\ displaystyle a-1}
Reference
Podívejte se také
Bibliografie
Související články
externí odkazy