Kamenný prostor

V matematice , přesněji v topologii , je kámen prostor je kompaktní topologický prostor , který je „nejméně spojen možný“, v tom smyslu, že prázdná množina a jedináčci jsou jeho jediný spojené díly.

Stoneův koncept prostoru a jeho základní vlastnosti objevil a studoval Marshall Stone v roce 1936.

Definice

Každý diskrétní hotový prostor je od Stone.
Cantor prostor je kámen plocha u booleovské algebry (což je počitatelná a bez atomů ). ${\ displaystyle \ {0,1 \} ^ {\ mathbb {N}}}$
Obecněji můžeme vzít jakoukoli mohutnost namísto ( mohutnost ) (uvedeno ℵ₀ ). Jinými slovy, pro všechny kardinály κ je prostor Cantor zobecněný {0, 1} κ je prostor Stone bez algebry Boole (en) na generátory κ . $\ mathbb {N}$
Kompaktní skupina je profinována právě tehdy, pokud se jedná o kamenný prostor.

Stejně jako je tomu v případě jakékoliv topologické prostor je otevřený uzavřený algebry z Stone prostoru je logická algebry. Naopak, Stoneova reprezentační věta pro booleovské algebry uvádí, že jakákoli booleovská algebra je izomorfní s otevřenou a uzavřenou algebrou kamenného prostoru. Tím se vytváří ekvivalence mezi kategorií booleovských algeber a kategorií kamenných prostorů, což je zvláštní případ kamenné duality (in) .
Kamenný prostor booleovské algebry je metrizovatelný právě tehdy, pokud je booleovská algebra počítatelná.
Booleova algebra je úplná, právě když je její kamenný prostor extrémně diskontinuální ( tj. Pokud je otevřená adheze jakéhokoli otevřeného prostoru).

(in) Marshall H. Stone, „ Theory of Representations of Boolean Algebras “ , Trans. Hořký. Matematika. Soc. , N O 40,1936, str. 37–111 ( JSTOR 1989664 ).
(en) Roman Sikorski (en) , booleovské algebry , Springer ,1969.
Přesný popis tohoto kontravariantního funktoru najdeme v článku věnovaném teorému reprezentace .

(en) Peter T. Johnstone (en) , Stone spaces , Cambridge University Press , 1982, reed. 1986
(en) JD Monk a R. Bonnet (eds), Handbook of Boolean algebras , sv. 1-3, North-Holland, 1989