Zcela diskontinuální prostor

V matematice , přesněji v topologii , je naprosto nespojitý prostor je topologický prostor , který je „nejméně spojen možný“ v tom smyslu, že nemá netriviální připojenou část: v jakékoliv topologické prostor, do prázdné množiny a . Singletons jsou příbuzný; ve zcela diskontinuálním prostoru jsou to jediné spojené části.

Populárním příkladem zcela diskontinuálního prostoru je sada Cantor . Další příklad, důležitý v algebraické teorii čísel , je pole Q p o p-adic čísla .

Definice

Topological prostor X je zcela nesouvislý v případě, že připojené zařízení libovolného bodu X z X je Singleton { x }.

Příklady

Následující prostory jsou zcela diskontinuální:

• zejména všechny zcela oddělené prostory (tj. ve kterých lze vždy oddělit dva odlišné body otevřenou a uzavřenou )
  • všechny prostory T 0 dimenze nula (tedy pravidelné ), jako:
    • že jednotlivé prostory  ;
    • neprázdné části R s prázdným vnitřkem ;
    • kruh Z p o p -adic celá čísla , nebo obecněji jakákoli Profine skupina  ;
    • právo Sorgenfrey (tento prostor, na rozdíl od těch předchozích, není lokálně kompaktní ).
  • následující dvě mezery (zcela oddělené, ale nikoli nulové);
    • Prostor Erdős ze čtvercových summable apartmánů v racionální a jeho zobecnění (jejichž rozměr je 1);
    • Royova mříž byla připravena o vrchol.
• Cantor teepee zbavena svého vrcholu (zcela odpojen, ale ne zcela odděleny).

Vlastnosti

• Podprostory, produktové prostory a vedlejší produkty zcela diskontinuálních prostorů jsou zcela diskontinuální.
• Totálně diskontinuální prostor je vždy T 1 , protože jeho singletony jsou uzavřeny.
• Kontinuální obraz zcela diskontinuálního prostoru nemusí být nutně zcela diskontinuální (například: jakýkoli metrizovatelný kompakt je spojitým obrazem Cantorova prostoru).
• Lokálně kompaktní prostor je zcela diskontinuální, právě když má nulovou dimenzi.
• Kompaktní prostor je zcela diskontinuální tehdy a jen tehdy, pokud je zcela oddělen, a pouze v případě, že je kámen prostor S ( B ) z booleovské algebry B (body S ( B ) jsou Ultrafiltry na B neobsahující 0 , a otevřený základ se skládá z { x ∈ S ( B ) | b ∈ x }, pro b prvek B ); S ( B ) je extrémně diskontinuální  ( tj. Adheze jakéhokoli otevřeného je otevřená), právě když je B úplné  ;
• Jakýkoli zcela diskontinuální měřitelný prostor je homeomorfní s podprostorem spočetného produktu diskrétních prostorů.
• Pro jakýkoli topologický prostor X je prostor spojených složek X „největším“ kvocientem X, který je zcela diskontinuální, v tom smyslu, že je mezi takovými kvocienty počáteční .

Poznámky a odkazy

• (fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „  Totally odpojený prostor  “ ( viz seznam autorů ) .
• (en) Stephen Willard , obecná topologie , Dover ,2012( 1 st  ed. 1970), 384  str. ( ISBN  978-0-486-13178-8 , číst online )

1. (en) Lynn Arthur Steen a J. Arthur Seebach, Jr. , Counterexamples in Topology , Dover ,1995( 1 st  ed. Springer , 1978) ( číst on-line ) , str.  32-33.
2. (in) P. Erdős, „  Dimenze racionálního bodu v Hilbertově prostoru  “ , Ann. Matematika. , 2 nd série, vol.  41,1940, str.  734-736 ( číst online ).
3. (in) Michel Coornaert, Topologická dimenze a dynamické systémy , Springer,2015( DOI  10.1007 / 978-3-319-19794-4 , číst online ) , kap.  5.1.
4. (in) Jan J. Dijkstra, „  Kritérium pro Erdőovy prostory  “ , Proc. Edinb. Matematika. Soc. , 2 nd série, vol.  48, n o  3,2005, str.  595-601 ( číst online ).
5. Steen a Seebach , protiklady 127 (Royův mřížový podprostor) .
6. (in) Andrew M. Gleason , „  Projektivní topologické prostory  “ , Illinois J. Math. , sv.  2, n O  4A,1958, str.  482-489 ( číst online ).

Související článek

Úplně odpojená skupina  (en)