Čočkový prostor

Lentikulární prostor je potrubí o rozměru 3, vytvořen jako kvocient prostor o koule S 3 ze strany volného působením jednoho cyklické skupiny z prvního pořadí . Čočkové prostory tvoří rodinu , jejíž členové jsou označeni L ( p , q ). Adjektivum „lentikulární“ pochází z určité reprezentace základní domény cyklické skupiny, která vypadá jako průnik dvou kruhů. Jejich relativní jednoduchost z nich dělá objekty studované v algebraické topologii , zejména v teorii uzlů , v K-teorii a v teorii cobordismu .

Lentikulární prostory jsou zajímavé tím, že je obtížné je klasifikovat: dva takové prostory mohou mít stejnou homotopii nebo dokonce homologii, ale nemusí být homotopicky ekvivalentní; nebo mohou být homotopicky ekvivalentní, aniž by však byly homeomorfní .

Otázka, jak rozlišit lentikulární prostory, je původem několika vývojů v algebraické topologii. Nakonec je pro tento problém zaveden twist Reidemeister (in) , který poskytuje první uspokojivou odpověď. Rozdíl lze obecně chápat mezi těmito prostory jako vyjádření torzní Whitehead (in) . Invariantní rho je jiný způsob rozlišování lentikulární mezery, což ze studia cobordisms.

Lentikulární prostory mají Heegaardův diagram (en) rodu 1. Jsou to zejména Seifertovy rozdělovače , i když vláknitá struktura není jedinečná.

Definice

Nechť p je prvočíslo a q číslo prvočíslo na p . Označíme $ζ = e 2iπ / p$ . The (zdarma) působení ℤ / p ℤ na oblast S 3 ≃ S (ℂ 2 ) je dána vztahem:

(z_ {1}, z_ {2}) \ mapsto \ left (\ zeta \ cdot z_ {1}, \ zeta ^ {q} \ cdot z_ {2} \ right).

Odpovídající kvocientový prostor je lentikulární prostor L ( p , q ).

Klasifikace

Nechť p a q jsou dvě celá čísla mezi sebou. Obvyklé invarianty nerozlišují čočkovité prostory:

Základní skupiny nezávisí na q : $π$ 1 ( L ( p , q )) = ℤ / p ℤ.
Tyto vyšší homotopy skupiny jsou ty, které koule: $π$ i ( L ( p , q )) = $π$ i ( S 3 ) pro všechny i > 1.
Tyto homologie skupiny nezávisí na q .

Pokud však označíme L = L ( p , q ) a L '= L ( p , q' ),

L je homotopicky ekvivalentní k L 'právě tehdy, když q = ± k 2 q' s k ∈ ℤ / p ℤ;
L je homeomorfní s L 'právě tehdy, když q = ± q' ± 1 ;
L a L ' jsou h -cobordant právě tehdy, pokud jsou homeomorfní.

Reference

(en) EJ Brody , „ Topologická klasifikace prostorů čoček “ , Annals of Mathematics , sv. 71, n o 1,1960, str. 163–184 ( DOI 10.2307 / 1969884 , JSTOR 1969884 )
(en) Allen Hatcher , algebraická topologie , New York, CUP ,2001, 544 s. ( ISBN 978-0-521-79540-1 , číst online )
(en) Allen Hatcher , Poznámky k základní topologii se třemi potrubími ,2007( číst online ) , s. 37-42