Kompaktní podpora funkce C ∞
V matematiky , je funkce C ∞ s kompaktním nosičem je nekonečně diferencovatelná funkce , jehož podpora je kompaktní . Když funkce přejde z ℝ n do ℝ, prostor těchto funkcí je označen C∞
c(ℝ n ), C∞
0(ℝ n ) nebo ? (ℝ n ).
Příklady
Funkce proměnné definovány
je kompaktní podpora. Důkaz, že je nekonečně diferencovatelný, lze provést indukcí . Na funkci lze navíc pohlížet jako na Gaussovu funkci e - y 2 , kterou jsme „vytvořili tak, aby se vešla do jednotkového disku“ změnou proměnných y 2 = 1 / (1 - x 2 ), která posílá x = ± 1 na y = ∞ .
Jednoduchý příklad funkce C ∞ s kompaktní podporou s n proměnnými získáme součinem n kopií funkce s jednou proměnnou výše:
Vlastnosti a aplikace
Funkce C ∞ s kompaktní podporou nemůže být analytická , pokud není identicky nulová. Toto je přímý důsledek věty o identitě . Prostor funkcí C ∞ s kompaktní podporou je stabilní mnoha operacemi. Například součet, produkt, produkt konvoluce dvou funkcí C ∞ s kompaktní podporou je stále funkcí C ∞ s kompaktní podporou.
Kompaktně podporované funkce C ∞ se používají ke konstrukci regularizujících sekvencí a oddílů třídní jednotky C ∞ .
Jsou také jádrem teorie distribuce .
Podívejte se také
Související článek
Pravidelná neanalytická funkce